Астахов Основные разделы механики 2011

сил (или равнодействующей силе):

Если равнодействующая сила постоянна (Fp = const) на промежутке времени t, то приращение импульса м.т. равно импульсу равнодействующей силы:

Импульс системы материальных точек равен сумме импуль-

сов всех м.т., принадлежащих данной системе:

где pi — импульс i-й м.т. массой mi, движущейся со скоростью vi.

Центр масс (центр инерции) системы м.т. rц.м — точка, ради-

ус-вектор которой определяется равенством:

n ∑miri

rц.м = i=1mc , (13.9)

где mi, ri — масса и радиус-вектор i-й м.т. соответственно, mс — масса системы материальных точек:

i=1

Скорость центра масс системы материальных точек

Импульс системы м.т. может быть найден через произведение скорости центра масс и массы системы:

41

Если система м.т. незамкнута, то скорость изменения импульса системы относительно ИСО равна равнодействующей всех внешних сил:

i=1

где Fp.внеш i — равнодействующая внешних сил, действующих на i-ю материальную точку системы.

Если равнодействующая внешних сил постоянна (Fр.внеш = const) на промежутке времени t, то приращение импульса системы м.т. равно импульсу равнодействующей внешних сил:

Равенству (13.15) эквивалентна система уравнений для проекций приращения импульса системы м.т. (при движении материальных точек в плоскости хОу):

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Относительно инерциальной системе отсчета (ИСО) импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется:

при этом взаимодействие между материальными точками системы может приводить к изменению их импульсов.

Равенству (13.17) эквивалентно равенство:

42

Скорость центра масс замкнутой системы относительно ИСО с течением времени не изменяется:

Условие сохранения импульса незамкнутой системы материальных точек

Импульс незамкнутой системы м.т. pс с течением времени не изменяется, если сумма всех внешних сил, приложенных к материальным точкам системы, равна нулю:

Условие сохранения проекции импульса незамкнутой системы материальных точек

Проекция импульса незамкнутой системы м.т. на какую-либо ось не изменяется, если проекция суммы всех внешних сил на эту ось равна нулю, например:

если приращением импульса системы, по сравнению с начальным значением, можно пренебречь:

вследствие малых значений равнодействующей внешних сил и/или промежутка времени действия внешних тел, приводящих к малой величине импульса равнодействующей внешних сил.

43

§14. Работа и мощность

Работа постоянной силы при прямолинейном движении А — СФВ, равная скалярному произведению постоянной силы F на перемещение м.т. r, на котором действует эта сила:

Работа постоянной силы может быть выражена также через

Работа постоянной силы при прямолинейном движении вдоль

44

Мощность (мгновенная) Р — СФВ, равная пределу отношения элементарной работы δA к промежутку времени t, за который совершена эта работа, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

Единица мощности — ватт: [Р] = Вт = кг м2/с3.

Мощность P может быть выражена через скорость v и силу F, приложенную к материальной точке. Она равна их скалярному произведению:

где α — угол между силой F и скоростью v материальной точки. Мощность также может быть выражена через Fv — проекцию

силы на ось Ov, совпадающую по направлению со скоростью v, или через vF — проекцию скорости на ось OF, совпадающую по направлению с силой F:

либо через проекции силы и скорости на координатные оси (при движении м.т. в плоскости хОу):

Работа упругой силы может быть определена из следующих равенств:

где хн и xк — начальное и конечное смещения незакрепленного конца пружины, к которому приложена внешняя сила Fвнеш (рис. 14.5а), к — жесткость пружины.

46

где hн и hк — начальная и конечная высоты (рис. 14.7) материальной точки массой m, g — модуль ускорения свободного падения.

47

48

§15. Механическая энергия

Кинетическая энергия материальной точки K — СФВ, равная половине произведения массы м.т. на квадрат модуля ее скорости:

Кинетическая энергия, обусловленная движением тела, зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:

Единица кинетической энергии — джоуль: [К] = Дж.

Теорема о кинетической энергии — приращение кинетической энергии м.т. равно работе Aр равнодействующей силы:

Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ Аi всех сил Fi (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:

i=1

Модуль скорости материальной точки: при Aр > 0 — увеличивается; при Aр < 0 — уменьшается; при Aр = 0 — не изменяется.

Кинетическая энергия системы материальных точек Kс рав-

на сумме кинетических энергий Ki всех n м.т., принадлежащих данной системе:

где mi и vi — масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.

Приращение кинетической энергии системы м.т. Kс равно сумме работ Арi всех n равнодействующих сил, приложенных к i-м материальным точкам системы:

i=1

49

Поле сил — область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил — поле, силы которого не изменяются с течением времени.

Однородное поле сил — поле, силы которого во всех его точках одинаковы.

Центральное поле сил — поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния до этого центра.

Неконсервативные силы (нк.сл) — силы, работа которых зави-

сит от траектории между начальным и конечным положениями тела.

Пример неконсервативных сил — силы трения. Работа сил трения по замкнутой траектории в общем случае не равна нулю.

Консервативные силы (к.сл) — силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется потенциальным.

Пример консервативных сил — силы тяжести и упругости. Потенциальная энергия П — СФВ, являющаяся функцией вза-

имного расположения частей системы (тела).

Единица потенциальной энергии — джоуль: [П] = Дж. Теорема о потенциальной энергии — убыль потенциальной

энергии системы материальных точек равна работе консервативных сил:

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Потенциальная энергия материальной точки в какой-либо точке потенциального поля может быть определена через работу консервативных сил при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:

50