Астахов Основные разделы механики 2011

воздушного шара предмет упадет на землю?

5.13.Воздушный шар поднимается с постоянной скоростью

v= 2 м/с. Когда шар находился на высоте h = 150 м, из его корзины

бросили вертикально вниз небольшой предмет со скоростью u = 6 м/с относительно шара. На какой высоте H будет находиться шар в момент падения предмета на землю?

5.14.Из точки, находящейся на достаточно большой высоте над землей, одновременно бросили два камня: первый вертикально

вверх с начальной скоростью v0 = 10 м/с, а второй — вертикально вниз с начальной скоростью 2v0. Определите расстояние между камнями в тот момент времени, когда первый камень поднялся до максимальной высоты.

5.15.Из точек А и В, расположенных по вертикали (т.А выше) на расстоянии L = 300 м друг от друга, бросают одновременно два

тела: из т.А вертикально вниз со скоростью v1 = 20 м/с, из т.В вертикально вверх со скоростью v2 = 40 м/с. Через сколько времени tВ

ина каком расстоянии d от т.В они встретятся?

5.16.Тело свободно падает с высоты h = 10 м. В тот же момент другое тело брошено с высоты H = 20 м вертикально вниз. Оба тела

упали на землю одновременно. Определить начальную скорость v0 второго тела.

5.17.С каким промежутком времени τ оторвались от карниза

крыши две капли, если спустя t2 = 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями было d = 25 м? Трением о воздух пренебречь.

5.18.Из точки, находящейся на высоте H = 12 м над землёй, с нулевой начальной скоростью и с равными промежутками времени падают маленькие шарики. К тому моменту, когда седьмой шарик начнёт падение, первый падает на землю. Найти расстояние h между третьим и шестым шариками в этот момент.

5.19.Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

v0 = 10 м/с. Когда его скорость уменьшилась в три раза, из того же начального пункта со скоростью 2v0 брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся?

5.20.Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью v0 = 20 м/с с промежут-

81

ком времени τ = 1 с. Через какое время t1 после бросания второго тела и на какой высоте h1 встретятся тела?

5.21.Парашютист, опускающийся равномерно со скоростью u = 5 м/c, бросает вертикально вверх небольшое тело со скоростью

v0 = 2 м/с относительно себя. Через какое время t1 от момента броска тело и парашютист вновь окажутся на одной высоте? Чему будет равна скорость тела v1 в этот момент?

5.22.Летящая вертикально вверх граната разрывается в наивысшей точке траектории на множество одинаковых осколков, летящих сразу после разрыва с одинаковыми по модулю начальными скоростями. Известно, что промежуток времени между

падением на землю первого и последнего осколков t1 = 10 с. Определите модуль начальной скорости осколков v0.

5.23.Лифт начинает подниматься с ускорением a1 = −0,5g. Человек, находящийся в лифте, роняет мячик с высоты h = 1,5 м через

время τ = 1 c после начала подъема. Через какое время t1 после начала подъема мячик упадет на пол?

§6. Движение под углом к горизонту

6.1. Тело брошено с поверхности земли с начальной скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 60° к горизонту. Определите: а) скорость тела vH в верхней точке траектории; б) время движения тела tдв; в) максимальную высоту подъема тела H; г) дальность полета тела L; д) модуль перемещения тела от начальной точки до наивысшей точки траектории r ; е) время, прошедшее от броска до того момента, когда модуль вертикальной составляющей скорости уменьшился в 2 раза.

6.2.С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.

Через время t1 = 10 с он упал на расстоянии L = 50 м по горизонтали от вышки. Определите начальную скорость камня и высоту вышки.

6.3.Тело брошено горизонтально с башни высотой H. Какова должна быть начальная скорость тела, чтобы расстояние по горизонтали от башни до места падения тела на землю было равно высоте башни?

6.4.Тело брошено с поверхности Земли с некоторой скоростью

под углом α = 600 к горизонту. Чему равно отношение максималь-

82

ной высоты подъема к дальности горизонтального полета?

6.5.Камень бросают под углом α = 60° к горизонту. Если начальную скорость камня уменьшить, то дальность полета

уменьшится на L0 = 30 м. На сколько при этом уменьшится максимальная высота подъема камня?

6.6.Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту. Какую наибольшую высоту H достигает тело, если оно упало на поверхность Земли через время t1 = 4 с?

6.7.С крыши здания, высота которого H = 40 м, брошено тело

со скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 60° к горизонту. На каком расстоянии L от здания (по горизонтали) упадет тело на поверхность Земли?

6.9. Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через сколько времени t1 после отражения тело упадет на наклонную плоскость. Как это время зависит от угла наклонной

сунок). С какой скоростью v0 должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на

расстоянии L от вершины? 6.11. Тело бросают горизонтально со

скоростью v0 с плоскости, уклон которой равен α. Каким будет наибольшее удаление

H тела от плоскости? Чему будет равна скорость тела v1 в момент наибольшего удаления от плоскости?

6.12. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 20 м/с. Определить скорости v1 при подъеме и v2 при

83

спуске тела на высоте h = 3 м.

6.13. Под углом α = 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью v0 = 20 м/с. Через сколько времени скорость тела будет направлена под углом β = 30° к горизонту?

6.14.Начальная скорость брошенного камня v0 = 10 м/с, а

спустя промежуток времени t1 = 0,5 с скорость камня v1 = 7 м/с. На какую максимальную высоту H над начальным уровнем поднимется камень?

6.15.Из гондолы дирижабля, движущегося горизонтально, на

высоте H = 400 м выпал предмет. С какой скоростью v0 двигался дирижабль, если груз в момент падения на землю имел скорость

v1 = 90 м/с?

6.16.Из точки, находящейся на достаточно большой высоте над землей, одновременно бросили два камня: первый вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 10 м/с, а второй – вниз под углом

α= 30° к горизонту с начальной скоростью 2v0. Определите расстояние между камнями в тот момент времени, когда скорость первого камня уменьшилась в два раза?

6.17.Из точки, находящейся на некоторой высоте над землей, с

одинаковыми по модулю начальной скоростью v0 = 10 м/с бросили два тела: одно вертикально вверх, второе горизонтально. Чему равно расстояние между телами в тот момент времени, когда первое тело поднялось до верхней точки, а второе тело в этот момент ещё не успело упасть на землю?

6.18.На некоторой высоте одновременно из одной точки бро-

шены два тела под углом α = 45° к вертикали: одно из них вниз, а другое вверх со скоростями, модули которых v0 = 20 м/с. Определить разность d высот, на которых будут тела через время t1 = 2 с.

нулись в воздухе. Показать, что угол α не зависит от модуля начальной скорости v0 тела, брошенного из точки В. Определить угол α, если H = 5,8 м, L = 10 м. Чему равна высота, на которой произойдет столкновение тел, если v0 = 12 м/с?

6.21. Два тела падают с одной и той же высоты H = 20 м.. На пути одного тела на высоте h = 0,5 H находится расположенная под углом α = 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Как различаются времена и модули скоростей падения этих тел?

§7. Движение по окружности. Плоское движение

7.1.За промежуток времени t = 10 с материальная точка прошла одну треть окружности радиуса R = 1 м. Определить среднюю путевую скорость и модуль средней скорости.

7.2.Две точки равномерно движутся по окружности, причем первая точка движется по часовой стрелке, вторая — против часо-

вой стрелки. Период обращения первой точки Т1 = 5 с, период второй точки Т2 = 2 с. Найти время между двумя последовательными встречами точек.

7.3.Определить линейную скорость Земли v при ее орбиталь-

ном движении. Средний радиус земной орбиты R = 1,5 108 км. 7.4. Пропеллер самолета радиусом R = 1,5 м вращается при по-

садке с частотой n = 2000 мин–1, посадочная скорость самолета относительно Земли v = 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера u относительно Земли. Какова траектория движения

t = 4 ч. Через какой промежуток времени t1 минутная стрелка догонит часовую?

85

7.7. Сколько раз N в сутки встречаются часовая и секундная стрелки часов?

7.8. Тяжелый шарик на нити вращается в горизонтальной плоскости так, что нить описывает коническую поверхность. Определить длину нити L, если частота вращения шарика n = 0,5 с–1, его центростремительное ускорение aц = 8 м/с2 и угол отклонения нити от вертикали α = 45°.

7.9.Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длинной L = 0,8 м, в вертикальной плоскости с частотой n = 4 с–1. В тот момент, когда веревка была расположена горизонтально, она оборвалась. На какую высоту h взлетит камень?

7.10.Пуля, летевшая горизонтально, пробила один за другим

два диска, насаженных на один вал и вращающихся с частотой n = 10 с–1. Расстояние между дисками S = 30 см. Найти скорость

пули v между дисками, если угловое смещение пробоин φ = 9° и пробоины оказались расположенными на одинаковом расстоянии от оси вращения.

7.11.Стержень вращается вокруг оси, походящей перпендикулярно стержню через некоторую его точку. Скорости концов

стрежня при этом равны v1 = 1м/с и v2 = 5 м/с. Угловая скорость стержня ω = 1 с–1. Найти длину стрежня.

7.12.Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точек обода колеса в n = 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии d = 5 см ближе к оси колеса.

7.13.Диск радиуса R катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по горизонтальной дороге (см. рисунок). Найти скорости точек С и D и ускорения точек A и B относительно до-

7.14.Катушка с нитью катится по горизонтальному столу без проскальзывания. Внутренний радиус катушки r, внешний

R. С какой скоростью vО перемещается ось катушки O относительно стола, если конец нити тянут в горизонтальном направлении со скоростью v? Рассмотреть два случая (см. на рисунке пункты а и б).

7.15.Цилиндрический каток радиусом R помещен между дву-

скорость центра колеса vО, если модуль

скорости его верхней точки v1 = 10 м/с, а нижней — v2 = 2 м/с, причем скорости этих точек направлены в противоположные стороны.

7.17.Шарик, радиус которого R = 5 см, катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным брускам квадратного сечения. Расстояние между брусками d = 6 см. За время t = 2 с шарик проходит путь S = 1,2 м. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

7.18.Диск, радиус которого R, катится без скольжения с постоянной скоростью v. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорости относительно Земли, модуль которых равен 1,5v.

7.19.По горизонтальной плоскости катится без скольжения обруч с постоянной скоростью v = 2 м/с радиусом R = 0,5 м. Выразить модуль скорости различных точек обруча относительно плос-

кости как функцию угла α между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча. Определить модули скорости vР и нормального ускорения аn точки Р обруча при α = 30°.

7.20. Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см?

87

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА

§8. Законы Ньютона

8.1. Модуль скорости лыжника при равноускоренном спуске с горы за t1 = 4 с увеличился на v1 == 6 м/с. Масса лыжника m = 60 кг. Чему равен модуль Fр равнодействующей всех сил, приложенных к лыжнику?

8.2.Материальная точка массой m = 12 т движется в плоскости yОх так, что за время τ = 1 мин проекция ее скорости на ось Ох уменьшилась на 18 км/ч. Какова проекция на эту ось постоянной силы F, приложенной к материальной точки?

8.3.Используя условие задачи 8.2, определить проекцию на ось Оy постоянной силы F, приложенной к материальной точке, если ее модуль равен 1,41 кН?

жена сила F = 3i +Fyj, причем модуль силы F = 5 Н.

8.7. К материальной точке массой m = 0,5 кг приложена сила

89

F = Fхi +8j, причем модуль силы F = 10 Н. Найти проекцию ускорения м.т. на ось Ох.

8.8. Два тела, массы которых m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, взаимодействуют только между собой. Скорость первого тела со временем изменяется по формуле v1 = (10 − 2t)i, скорость второго тела в начальной момент времени v2н = 0. Определите скорость второго тела через время t1 = 5 с.

8.9.Первый парашютист падает с ускорением а1 = 0,25g относительно поверхности Земли, а второй — с ускорением а21 = 0,5g относительного первого. Чему равна равнодействующая всех сил, приложенных ко второму парашютисту, масса которого m = 60 кг?

8.10.Лифт поднимается с ускорением a1 = −0,4g. Человек, находящийся в лифте, опускает мячик массой m = 0,2 кг вертикально

вниз с ускорением a2 = 0,2g относительно лифта. Определить равнодействующую всех сил, приложенных к мячику?

8.11.Шахтная клеть массой М = 3 103 кг движется с ускорением а = 2 м/с2. Определить натяжение троса, при помощи которого движется клеть, если: 1) ускорение направлено вертикально вверх,

2)ускорение направлено вертикально вниз. Определить также натяжение троса T3 при движении клети с постоянной скоростью.

8.12.Подвешенное к тросу тело массой m = 10 кг движется

вертикально вверх. Сила натяжения троса Т1 = 70 H. Каким будет натяжение троса Т2 при движении тела с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону?

8.13.К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены

грузы m1 = 50 г и m2 = 75 г. Пренебрегая трением и считая шнур и блок невесомыми, а шнур нерастяжимым, определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, силу натяжения шнура и показание динамометра, на котором висит блок.

8.14.Две гири массами m1 = 7 кг и m2 = 11 кг висят на концах малорастяжимой нити, которая перекинута через блок. Гири вначале находятся на одной высоте. Через какое время t после начала движения более легкая гиря окажется на L = 10 см выше тяжелой? Массой блока, нити и сопротивлением движению пренебречь.

8.15.Два одинаковых груза массой М подвешены на невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок. На один из них

90