Астахов Основные разделы механики 2011

положен грузик массой m. Определить силу Fд давления грузика на груз М и силу Fб, действующую на ось блока.

время t1 груз будет поднят на высоту h = 3 м? Массой веревки и блоков пренебречь.

8.18.Два груза массами m1 = 2 кг и m2 = 4 кг соединены легкой нитью и лежат на гладком столе (массой нити и трением пренебре-

гаем). К первому грузу приложена сила F1 = 20 Н, действующая вдоль нити, ко второму — в противоположном направлении сила

F2 = 50 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения T соединяющей их нити?

8.19.Через невесомый блок, укрепленный на ребре призмы,

грани которой образуют углы α и β с горизонтом, перекинута нить (см. рисунок). К концам нити прикреплены грузы массами m1 и m2. Найти ускорения грузов. Массой нити и трением пренебречь.

8.20. Для системы тел, изображённой на рисунке, определить силу натяжения нити T и силу Fб, действующую на ось невесомого блока. Клин неподвижен, длина ребер d = 5 м, b = 12 м, угол γ = 90°. Массы тел m1 = 10 кг и m2 = 20 кг. Нижняя грань клина горизонтальна. Массой нити и трением пренебречь.

91

8.21. Груз массой m, подвешенный к шнуру, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости так, что шнур описывает коническую поверхность. Угол наклона шнура к вертикали α = 60°. Определить модуль Fр равнодействующей всех сил, приложенных к грузу.

8.22. Диск с закрепленным на нем стержнем (по оси диска) вращается вокруг вертикальной оси (см. рисунок). На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной L, составляющей угол α с диском. С каким периодом должен вра-

αщаться диск, чтобы шарик не отрывался от

него?

8.23. Круглая платформа с закреплен- К задачам 8.22 и 8.23 ным на ней стержнем (по оси платформы)

вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω = 4,0 с–1 (см. рисунок). На платформе находится шарик массой m = 1,2 кг, прикреплённый к стержню нитью длинной L = 0,4 м. Угол наклона нити α = 60°. Найти силу давления шарика на платформу.

§9. Силы трения

9.1. Тело массой m = 1 кг лежит на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения μ = 0,1. На тело действует горизонтальная сила F. Определить силу трения для двух случаев: F1 = 0,5 Н и

F2 = 2 Н.

9.2. Брусок массой m = 2 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения при скольжении бруска равен μ = 0,2. Изобразить графически зависимость силы трения от силы тяги, приложенной к бруску вдоль плоскости скольжения. Явлением застоя пренебречь.

9.3. Доска массой M = 10 кг лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Какую горизонтальную силу нужно приложить к доске, чтобы находящийся на ней брусок массой m = 2 кг начал соскальзывать? Коэффициент трения бруска о доску μ = 0,1.

9.4. При включении лента транспортера достигает заданной

92

скорости v = 1 м/с за τ = 0,5 с. На ленте лежат друг на друге две одинаковые плоские коробки массой m = 0,5 кг. Коэффициент трения коробки о коробку μ1 = 0,1; коэффициент трения коробки о ленту μ2 = 0,5. Определить силу трения, действующую на нижнюю поверхность каждой коробки при разгоне транспортера.

9.5.Используя условие задачи 9.4, определить, на сколько сдвинутся коробки друг относительно друга в процессе разгона транспортера, если они достаточно длинные. На какую максимальную длину сдвинутся коробки?

9.6.Во сколько раз изменится модуль силы трения, действующей на брусок, который движется по доске, если горизонтально

расположенную доску наклонить под углом α = 30° к горизонту?

9.7.За какое время тело массой m соскользнет с наклонной плоскости высоты h = 6 см с углом наклона α = 45°, если по на-

клонной плоскости с углом наклона α0 = 30° оно движется вниз равномерно?

9.8.При некотором значении коэффициента трения тело массой m = 100 кг равномерно соскальзывает с наклонной плоскости с

углом наклона α0 = 30°. Какую силу, параллельную наклонной плоскости, нужно приложить к этому телу, чтобы оно равномерно двигалось вверх по наклонной плоскости?

9.9.Спичечный коробок (μ1 = 0,3) и ластик (μ2 = 0,4) кладут на наклонную плоскость с углом наклона: а) α = 30°; б) β = 15° к горизонту. Массы ластика и коробка одинаковы. На какой предмет действует большая сила трения? Какой из предметов имеет большее ускорение и во сколько раз?

9.10.Брусок находится на плоскости, угол наклона которой

может изменяться от 0° до 90°. Построить график зависимости силы трения бруска о плоскость от угла наклона плоскости к горизонту. Явлением застоя пренебречь.

9.11. Первое тело соскальзывает с горки за время в n = 2 раза большее, чем второе тело. Определить угол наклона α горки к горизонту, если коэффициенты трения между телами и горкой

μ1 = 0,2 и μ2 = 0,15.

9.12. Брусок массой m = 1 кг находится на неподвижной наклонной плоскости, составляющей угол α = 45° с горизонтом.

93

С какой минимальной горизонтальной силой нужно действовать на брусок, чтобы он покоился? Коэффициент трения бруска о плос-

кость μ = 0,25.

9.13.Тело толкнули вверх вдоль шероховатой наклонной

плоскости. При подъеме модуль ускорения тела был равен a1, при спуске — a2. Определить угол наклона плоскости к горизонту.

9.14.На тело массой m = 100 кг, лежащее на наклонной

плоскости, образующей угол α = 45°, действует сила F = 1,2 кH, направленная вверх под углом β = 30° к наклонной плоскости. Определить ускорение, с которым поднимается тело, если коэффициент трения скольжения μ = 0,1.

9.15. Два соприкасающихся бруска соскальзывают по наклонной плоскости. Масса первого бруска m1 = 2 кг, второго m2 = 3 кг. Коэффициент трения: между первым бруском и плоскостью μ1 = 0,1, между вторым бруском и плоскостью μ2 = 0,3. Угол наклона плоскости к горизонту α = 45°. Определить модуль сил взаимодействия брусков друг с другом.

9.16. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами и поверхностью наклонной дороги с углом наклона α = 30°, чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением а = 0,6 м/с2?

9.17. На гранях закреплённой призмы находятся грузы массой m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, связанные между собой невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Углы наклона граней призмы к линии горизонта α = 30° и β = 60° (см. рисунок к задаче 8.19). Коэффициент трения между грузами и поверхностью граней μ = 0,1. Определить силу Fб, действующую на ось блока. Первоначально грузы покоились.

9.18. Доска массой М может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом α к горизонту. В каком направлении и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой m, чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости? Каким должен быть коэффициент трения μ между лапами собаки и доской, чтобы задача имела решение?

9.19.На гладком горизонтальном столе лежит призма массой

Мс углом наклона α, а на ней призма массой m. На меньшую

94

призму действует горизонтальная сила F (см. рисунок), при этом

9.23. Горизонтальная сила F прижимает брусок массой m к неподвижной вертикальной стенке. Коэффициент трения бруска о стенку μ = 0,5. При этом брусок движется прямолинейно и равномерно вниз. Чему равно отношение силы F к силе тяжести?

9.24. Горизонтальная сила F прижимает брусок массой m к неподвижной вертикальной стенке, при этом брусок движется вниз с ускорением a = 1м/с2. Коэффициент трения бруска о стенку μ = 0,5. Чему равно отношение n силы F к силе тяжести?

95

9.25. Через лёгкий вращающийся без трения блок перекинута невесомая нерастяжимая нить. На одном конце нити привязан груз массой m1. По другому концу нити может скользить с трением кольцо массой m2. Каково отношение n = m1/ m2, если груз подни-

мается с ускорением a1 = 5 м/с2, а кольцо опускается с ускорением a2 = 7 м/с2?

9.26.Какую массу балласта m надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом М = 1200 кг,

подъемная сила аэростата Fп = 8000 Н. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и при спуске.

9.27.Падающий вертикально вниз мяч массы m = 0,5 кг имеет

внекоторый момент времени скорость v1 = 11 м/с. Через промежу-

ток времени t = 0,2 с скорость шара становится равной v2 = 12 м/с. Определить модуль Fc силы сопротивления воздуха, действующей на мяч, считая ее постоянной.

9.28. Какова предельно допустимая скорость пешехода при повороте по дуге радиуса R = 42 м при коэффици-

§10. Силы упругости

10.1.Какие силы надо приложить к концам проволоки, жесткость которой 100 кН/м, чтобы растянуть ее на 1 мм?

10.2.Два мальчика растягивают резиновый жгут, прикрепив к его концам динамометры. Когда жгут удлинился на 2 см, динамометры показывали силы по 20 Н каждый. Какова жесткость жгута?

10.3.Система состоит из пяти маленьких одинаковых шариков, соединенных между собой одинаковыми пружинками длиной

96

L0 = 5 см. Систему подвешивают вертикально за первый шарик, в результате чего общая длина системы становится L = 30 см. Найдите длину L1 пружины, расположенной между первым и вторым шариками. Массой пружин пренебречь.

10.4. Верхний конец пружины укреплен в штативе, а к нижнему концу подвешивают гирьки. На рисунке изображен график зависимости расстояния L от стола до нижнего конца пружины в зависимости от массы m подвешенного груза. По графику определите коэффициент жесткости пружины.

10.5. На рисунке представлен график зависимости силы упругости пружины от величины удлинения одной четверти пружины. Чему равна жесткость этой пружины?

10.6. Гиря висит на системе из трех одинаковых пружин, соединенных параллельно. Длина системы пружин равна L = 5 см, в то время как собственная длина каждой недеформированной пружины L0 = 4 см. Какова будет длина L1 системы пружин, если их соединить друг с другом последовательно и подвесить ту же гирю?

10.8. Резиновый шнур имеет длину L0 = 10 см и коэффициент жесткости к = 16 Н/м. Один его конец привязывают к потолку, после чего длина свободной части шнура становится на L1 = 2 см

97

меньше. Какой силой, приложенной к другому концу шнура, можно довести его длину до первоначальной?

10.9.Упругий шнур имеет длину L0 = 2 м и коэффициент жесткости к = 200 Н/м. Два мальчика берут его с двух сторон на рас-

стоянии L1 = 20 см от концов и растягивают до L = 2 м. Какую силу нужно для этого приложить каждому из мальчиков?

10.10.Динамометр с подвешенным к нему грузом поднимают вертикально вверх с ускорением a = g/4, при этом удлинение пружины составляет 2,5 см. Каково будет удлинение пружины неподвижного динамометра?

10.11.Динамометр с подвешенным к нему грузом опускают вертикально вниз с ускорением a = g/4. При этом удлинение пружины составляет 1,5 см. Каково будет удлинение пружины неподвижного динамометра?

10.12.Два шарика соединены между

собой нитью и подвешены на пружинке, как показано на рисунке. Если пережечь нить, то верхний шарик в первый момент имеет ускорение a1 = g/3. Какое ускорение a2 будет иметь верхний шарик в аналогичном эксперименте, если их предварительно поменять местами?

10.13. На горизонтальной поверхности находятся два бруска массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг, соединённые пружиной жёсткостью к = 200 H/м. К первому бруску приложена сила F = 12 H, направленная вверх под углом α = 30° к линии горизонта. Коэффициент трения между брусками и поверхностью μ = 0,1. Длина пружины в недеформированном состоянии L0 = 10 см. Определите конечную длину пружины.

10.14. Система состоит из пяти маленьких одинаковых шариков, соединенных между собой одинаковыми пру-

жинками длиной L0 = 5 см. Систему приводят в движение, приложив постоянную силу к первому шарику (см. рисунок), в результа-

98

те чего расстояние между последними двумя шариками становится равным L4 = 6 см. Найдите общую длину системы. Массой пружин пренебречь.

10.15.Тело прикреплено к пружине и вращается вокруг оси,

перпендикулярной пружине и проходящей через её второй конец.

При угловой скорости тела ω1 = 1 с–1 расстояние от тела до оси вращения равно L1 = 0,5 м, при угловой скорости тела ω2 = 2 с–1 расстояние от тела до оси вращения равно L2 = 0,75 м. Найдите длину пружины в недеформированном состоянии L0. Силой тяжести пренебречь.

10.16.Резиновый шнур, привязанный к потолку, имеет длину

L0 = 8 см и коэффициент жесткости к = 20 Н/м. К другому его концу прикрепляют груз массой m = 40 г и раскручивают в горизонталь-

ной плоскости так, что шнур удлиняется на L0 = 4 см. С какой скоростью движется при этом груз?

10.17. К концу пружины, первоначальная длина которой равна L, подвешивают груз массой m. При этом длина пружины увеличилась на 0,1L. В какой точке нерастянутой пружины нужно было подвесить груз массой 2m, чтобы точка его подвеса оказалась на одинаковом расстоянии от концов пружины? Груз m по-прежнему прикреплен к нижнему концу пружины. Массой пружины пренебречь.

§11. Силы тяготения

11.1.Космический корабль массой m = 8 т приблизился к орбитальной космической станции массой M = 20 т на расстояние L = 1 км. Найти модуль сил их взаимного притяжения. Размерами корабля и станции пренебречь.

11.2.Определить модуль сил взаимного притяжения двух соприкасающихся свинцовых шаров диаметром d = 1 м каждый.

Плотность свинца ρ = 11,3·103 кг/м3.

11.3. В свинцовом шаре диаметром D = 40 см сделана сферическая полость, поверхность которой касается поверхности шара и его центра. Определить, с какой силой свинцовый шар будет притягивать свинцовый шарик диаметром 0,25D , центр которого находится на расстоянии r = 4D от центра шара на прямой, проходя-

99

щей через центры шара, шарика и полости, со стороны полости. 11.4. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно

60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковыми по модулю силами?

11.6.Определить ускорение свободного падения на высоте

Н= 20 км над Землей, принимая ускорение свободного падения на поверхности Земли g0 = 9,81 м/с2, а радиус Земли R = 6,37·105 м.

11.7.На каком расстоянии от поверхности Земли тело за время t1 = 2 с свободного падения проходит путь S = 2 м.

11.8.Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения 3,72 м/с2. Найти массу Меркурия.

11.9.Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения на Земле, найти ускорение свободного падения на Марсе.

11.10.На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше,

чем на полюсе. Плотность вещества планеты ρ = 3·103 кг/м3. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси.

11.11. Вес тела на экваторе малой планеты на 10 % меньше веса на полюсе. Чему равен период обращения этой планеты вокруг своей оси, если она практически представляет собой шар с плотностью вещества ρ = 5 103 кг/м3?

11.12.Определите минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Ее плотность ρ =1 1017 кг/м3.

11.13.В результате столкновения с метеоритом спутник перешел на орбиту с вдвое большим радиусом. Как при этом изменилось его ускорение по модулю?

11.14.По условиям задачи 11.13 определить изменение периода обращения спутника.

11.15.По условиям задачи 11.13 определить изменение модуля скорости спутника.

11.16.Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе были невесомы?

100