- •Федеральное государственное бюджетное
- •Глава 1 посвящена изучению общих вопросов теории уравнений (1) с точки зрения известных свойств операторов.
- •§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
- •§3. Ограниченность решений однородного уравнения
- •§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
- •Глава 2. Численные методы приближенного решения задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
- •§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •§6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
- •§ 7.Метод Эйлера
- •Решение.
- •§8.Метод Эйлера-Коши
- •Решение.
- •§ 9. Метод Рунге-Кутта
- •Решение.
- •Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
- •§10. Решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей
- •Решение.
- •Реализация конечно-разностного метода
- •§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение.
- •Решение.
- •Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
- •Заключение
- •Список литературы
Решение.
Возьмем шаг=0.2. Используя расчетные формулы Рунге-Кутта (9.3), найдем приближенное решение задачи Коши:
++)/6=2.14590898
Аналогично получаем 053228172
Таким образом, получили численное решение задачи Коши:
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 | |
1.5 |
1.8107 |
2.14590898 |
2.511053228172 |
Графиком приближенного решения является ломанная, последовательно соединяющая точки ().
Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
В системе Maxima для нахождения численного решения задачи Коши
методом Рунге - Кутта (четвертого порядка точности) есть встроенная функция . Для того, чтобы она стала активной, требуется подключить пакет dynamics с помощью команды:
Теперь задаем команду для нахождения решения:
Выполним построение найденного решения задачи средствами
пакета draw:
Точное решение поставленной задачи ищется в виде:
§10. Решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
где ) – некоторые, непрерывные на [a,b] функции. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения состоит в нахождении его решения удовлетворяющего двухточечным линейным краевым условиям
где постоянные и+,+
При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок разбивают на равные части с шагом , где. Точки разбиения имеют абсциссы
,
Значения в точках деленияискомой функции и ее производныхобозначим соответственно через,,.Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями для внутренних точек отрезкаприближенно будем иметь
,
Для концевых точек и=bполагаем
и
Используя формулыдифференциальное уравнение (10.1) при
приближенно можно заменить системой линейных уравнений
,
Из формул краевые условиядополнительно дают еще два уравнения
B
Таким образом, получаем систему линейных уравнений с
неизвестными , представляющими собой значения искомой функции
Обозначим=,=,=. Выполнив алгебраические преобразования над уравнениями, можно привести систему к следующему виду:
Решив систему, получим таблицу значений искомой функции.
Пример Найти решение уравнениянас начальными условиями
Решение.
Из условия задачи и следует:
, ,,,,,,.
Разобьем отрезок [a,b] на равные части с шагом
Точки разбиения имеют абсциссы
Построим систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются.
Для коэффициентов основной матрицы системы для n-1 уравнений введем обозначения: ,,
Для коэффициентов последних двух уравнений введем обозначения,,
Для матрицы свободных членов введем обозначения:
= ,,k=1, 2, n =3, h=0.1
Остальные коэффициенты системы равны нулю.
Составим развернутую систему (10.5) для нашей задачи:
(
Представим систему в матричном виде:
=
Подставим значения переменных в систему:
=
=
После упрощения получим:
=
Решая полученную систему, найдем приближенное решение дифференциального уравнения:.
Реализация конечно-разностного метода
Выполним решение краевой задачи конечно-разностным методом в системе Maxima.
Вводим обозначения и задаем значения переменных:
Разбиваем отрезок [a ,b] на равные части с шагом .
Формируем список, содержащий все точки отрезка:
Сформируем пустую квадратную матрицу размера:
Теперь заполним матрицу, для заполнения коэффициентами первых двух уравнений системы воспользуемся циклом с параметром:
В двух последних уравнениях поменяем значения некоторых элементов с помощью оператора присваивания:
Теперь заполним столбец свободных членов:
Выведем полученные матрицы на экран:
Получили систему линейных уравнений, записанную в матричном виде , где— искомое решение. Найдем его матричным способом.