§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности

Поведение решений задачи на бесконечности существенно зависит от расположения спектра оператора.

Предположим, что спектрлежит внутри левой полуплоскости. Тогда изследует на основании теоремыI.1.4 [1] оценка

при любых и некоторых положительных постоянных.

Верно и обратное: если оценка выполняется для всякого решения уравнения, то спектрлежит внутри левой полуплоскости. Действительно, из следует, что

и остается применить теорему I.1.4 [1]:

Поведение решения уравнения в предположении, что спектр лежит в левой полуплоскости, можно охарактеризовать более точно, если ввести новую эквивалентную норму в пространстве, пользуясь формулой

Оказывается, в этой норме решения уравнения стремятся прик нулю монотонно. Действительно,

И, таким образом,

Рассмотрим теперь случай, когдапричем спектральное множествонепусто.

Пусть - спектральные проекторы, соответствующие этому разложению спектра, и- соответствующее прямое разложениена инвариантные подпространства оператора. Так какинвариантны относительно операторов, то решениеуравнения, начинающееся в каком - нибудь из них, уже не выходит из соответствующего подпространства.

Введем в индефинитную норму[8]

Произведя вычисления, аналогичные проведенным выше, получим

Поэтому

и, следовательно, индефинитная норма любого решения уравнения убывает.

Рассмотрим два частных случая.

1. Пусть , т.е.. В этом подпространствеи нормыиэквивалентны. Изследует, чтомонотонно стремится к нулю.

Таким образом, решения уравненияс начальным векторомиз подпространствастремятся к нулю.

2. Пусть , т.е..В этом подпространствеявляется обычной нормой, эквивалентной. Изследует, что

Проинтегрировав это неравенство, мы видим, что

т. е решения с начальными значениями из неограниченно возрастают при.

Заметим, что из разложения следует, что любое решение, для которого, неограниченно возрастает. В частности, если весь спектр лежит внутри правой полуплоскости, тои ненулевое решениеуходит на бесконечность при, причем нормамонотонно возрастает.

Определение 2.1 Оператор со спектром, распадающимся на два спектральным множества соответственно внутри правой и левой полуплоскостикаждое из которых непусто, называетсяэ-дихотомическим. Вместе с ним будем называть э - дихотомическим и дифференциальное уравнение .

Очевидно, что фазовое пространство э-дихотомического уравнения распадается в прямую сумму , причем решения, начинающиеся в, экспоненциально убывают, а решения, начинающиеся в, экспоненциально растут.

Если предположить, фазовое пространство гильбертово, то все рассуждения естественно проводить, рассматривая вместо нормгильбертовы нормы[12]. В этом случае проведенная выше перенормировка имеет простой геометрический смысл.

Пусть . Тогда для решения уравнения справедливо соотношение

из которого следует, что для угла между направлением радиус-вектораи вектора, касательного к интегральной кривой уравнения, имеет место оценка

Таким образом, и векторное поле касательных к интегральным кривым уравнения в каждой точке направлено существенно внутрь сферы с центром в нуле, проходящей через эту точку.

Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда спектр лежит внутри левой полуплоскости. В этом случае по теоремеI. 5.1.1[1] существует ограниченный равномерно положительный оператор , такой, что

Приведенные ранее соображения останутся справедливыми, если оценки производить в новой метрикеэквивалентной прежней.

В самом деле, ограниченность и равномерная положительность оператора обеспечивают топологическую эквивалентность норм.

С другой стороны, если , то для решенияуравнения будем иметь

Напомним, что требуемый оператор можно получить как решение уравнения

где - произвольный, равномерно - положительный оператор. Полагая, например, ,[5] мы получим

т.е.

Система сфер в этом случае заменяется системой эллипсоидовс центром в нуле, внутрь которых входят интегральные кривые. Рассмотрение в банаховом пространстве нормы , аналогичнойобобщает приведенные выше геометрические соображения, связанные с так называемым методом Ляпунова[12].

Роль эллипсоидов при этом играют выпуклые центрально-симметрические тела, ограниченные поверхностями

Несколько более сложная, но достаточно ясная геометрическая картина получается и в том случае, когда спектр оператора имеет также компоненту, внутри правой полуплоскости, т.е. когда уравнениеявляется э-дихотомическим.

Рассмотрим случай, когда фазовое пространство гильбертово. Справедлива теорема [12]

Теорема 2.1 Для того, чтобы уравнение было э - дихотомическим, необходимо и достаточно, чтобы оператор был равномернодиссипативным по отношению к некоторому эрмитову индефинитному оператору:

При любом выборе оператораудовлетворяющего этому соотношению, инвариантное подпространство оператора, соответствующее части спектра, лежащей внутри правой (левой) полуплоскости, равномерно отрицательно (положительно).

Индефинитная форма порождает в гильбертовом пространстве две системы гиперболоидов: плюс гиперболоиды определяются уравнением и минус-гиперболоиды – при .

Нетрудно проверить, что из равномерной диссипативности оператора следует для решений уравнения соотношение

показывающее, что индефинитная форма убывает для любого решенияэтого уравнения.

Если точка находится на минусгиперболоиде, то дальнейшее уменьшение величиныс ростомозначает, что траекторияпересекает гиперболоиды со все большими по абсолютной величине отрицательными значениями, а следовательно, уходит на бесконечность.

В случае, когда точка находится на плюс – гиперболоиде, в подпространствеуменьшение формыкоторая наэквивалентна обычной, приводит к неограниченному приближению траектории к центру.

Если же точка находится на плюс – гиперболоиде, вне подпространства, то пересекая гиперболоидыс уменьшающимися значениями, траектория выходит на конуси переходит на систему минусгиперболоидов, удаляясь затем на бесконечность.

Это следует из того, что любое решение, для которого неограниченно возрастает по норме.

Заметим теперь, что подбирая для э дихотомического оператораэрмитов оператор из соотношения

где спектральные проекторы оператора соответствующие инвариантным подпространствам мы придем к форме

Эта форма аналогична (при ) индефинитной нормев банаховом пространстве.