Решение.

Возьмем шаг Используя расчетную формулу Эйлера-Кошинайдем приближенное решение задачи Коши:

=1.5+0.31=1.81

1.81+0.2=1.81+0.3342=2.1442

=2.1442+0.363724=2.507924

Таким образом, получили численное решение задачи Коши:

	0	0.2	0.4	0.6
	1.5	1.81	2.1442	2.507924

Графиком приближенного решения является ломанная, последовательно соединяющая точки

Как видим, решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и методом Эйлера-Коши очень близки.

Реализация метода Эйлера-Коши с помощью системы Maxima.

Для решения задачи методом Эйлера сформируем еще три пустых

массива и вспомогательный массив

Зададим начальное условие:

Заполним массив x 2 значениями, начиная с 0.2 до 1 с шагом h .

Для этого используем цикл с параметром.

Теперь воспользуемся расчетной формулой Эйлера-Коши и найдем решение:

Выведем найденное решение на экран:

Выполним построение найденного решения задачи (4.1) средствами

пакета draw:

Найдем величину абсолютной погрешности:

Как видим, метод Эйлера-Коши дает более точный результат, чем метод Эйлера. Максимальная погрешность вычислений составляет 0.7%.

§ 9. Метод Рунге-Кутта

Для простоты записи вместо ,будем писать,h. Пусть r≥2 – целое положительно число и- положительные числа.

Пусть числа (s = 1, 2, . . . ,r-1; m=1, 2, . . . ,s),удовлетворяют условиям

s = 1, 2, . . . ,r

Один этап метода Рунге-Кутта (переход от к) таков.

1).Вычисляются одно за другим следующие чисел:

,

, ,

, , …

, ,…

, .

2). Вычисляется сумма произведений

3). Вычисляется по формуле

Числа ,,при заданномr выбираются так, чтобы разность

рассматриваемая как функция переменного была бесконечно малой возможно более высокого порядкаl относительно при0. Вообще говоря, этим требованиям числа,,не определяются однозначно и при выборе этих чисел принимаются во внимание также соображения о простоте формул

Приведем примеры некоторых систем таких чисел и отвечающих им значений l:

r=2, ,=, l=3;

r=2, ,=1, l=3;

r=3, , ,,=, l=4;

r=3,,,,=0,,l=4

r=4,,,,=,, l=5;

r=4,,=,,,,,=,, l=5;

r=6,,=,,,,=,,,,=,=,=,=,,,,,,,, ,,,,

Наиболее употребительной является система чисел .Соответствующий прием будем называетсяосновным приемом Рунге-Кутта. Приведем порядок вычислений в этом случае.

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется =(.

Вычисляется .

Отметим также случай,который называют иногда усовершенствованным методом Эйлера; здесь вычисления ведутся так:

;

=.

3)

В заключении укажем на схему вычислений по методу Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Для простоты записи ограничимся случаем системы двух уравнений.

Пусть

Система, для которой требуется найти решение удовлетворяющую условию

y=,z=

Метод Эйлера. Вычисления проводятся по формулам:

Основной прием Рунге-Кутта. Вычисления проводятся по формулам:

, ;

;

;

= (,

= (

Пример 9.1. Применяя метод Рунге-Кутта найти решение задачи Коши в трех последовательных точках,,.