
- •Федеральное государственное бюджетное
- •Глава 1 посвящена изучению общих вопросов теории уравнений (1) с точки зрения известных свойств операторов.
- •§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
- •§3. Ограниченность решений однородного уравнения
- •§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
- •Глава 2. Численные методы приближенного решения задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
- •§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •§6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
- •§ 7.Метод Эйлера
- •Решение.
- •§8.Метод Эйлера-Коши
- •Решение.
- •§ 9. Метод Рунге-Кутта
- •Решение.
- •Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
- •§10. Решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей
- •Решение.
- •Реализация конечно-разностного метода
- •§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение.
- •Решение.
- •Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
- •Заключение
- •Список литературы
§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
Рассмотрим неоднородное уравнение
с
непрерывной функцией
.
Предположим,
что спектр оператора
распадается на два спектральных
множества
.
Обозначим через
и
инвариантные подпространства оператора
,
соответствующие этим множествам и,
через
и
соответствующие спектральные проекторы.
Напомним, что [5]
Определение 4.1 Функция вида
называется оператор – функцией Грина.
Она обладает следующими свойствами [12]:
При
оператор – функция
непрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению
Этот
факт непосредственно следует из.
Скачок
в нуле равен единичному оператору.
Действительно,
Вектор – функция
где
непрерывна,
удовлетворяет при
неоднородному
уравнению
.
Для доказательства продифференцируем равенство
В
дальнейшем, как правило, будем рассматривать
случай, когда спектр
не
пересекается с мнимой осью (в частности,
когда оператор
дихотомичен):
.
Определение 4.2 Функцию Грина, определяемую формулой
назовем
главной
функцией Грина
уравнения
.
В
формуле
принимается
,
при
и
,
при
.
Поскольку
спектр
не пересекается с мнимой осью, существуют
числа
и
,
при которых справедлива оценка [8]
Главная
функция Грина
играет важную роль при выяснении условий
существования ограниченного на всей
оси решения уравнения
.
В
частности справедлива теорема [8]
Теорема
4.1. Для
того чтобы любой ограниченный на всей
оси непрерывной вектор – функции
соответствовало
одно и только одно ограниченное на всей
оси решение уравнения
необходимо
и достаточно, чтобы спектр
не пересекался с мнимой осью. Это решение
дается формулой
где
главная функция Грина уравнения
.
Доказательство.
Пусть
любому ограниченному непрерывному
соответствует
ограниченное решение. Положим
где
постоянный
вектор, и пусть
единственное ограниченное решение
уравнения
Вектор
при любом
также является решением этого уравнения,
и в силу единственности
,
т.е.
,
откуда
.
Из
произвольности
следует, что линейный непрерывный
оператор
отображает пространство
По теореме Банаха (I.1.1)[1]такой
оператор обладает непрерывным обратным
оператором
,
т.е. точка
является регулярной точкой оператора
.
Пусть
теперь
произвольное
чисто мнимое число. Рассмотрим уравнение
Подстановка
дает
Повторяя
проведенные выше рассуждения, получим,
что оператор
имеет непрерывный обратный оператор,
т.е.
регулярная точка.
Тем
самым необходимость условия теоремы
доказана. Для доказательства достаточности
воспользуемся оценкой
.
Из этой оценки следует, что вектор –
функция
ограничена:
Тот
факт, что эта функция удовлетворяет
уравнению
при
был
установлен ранее [1].
Остается
показать единственность ограниченного
решения. Для этого достаточно проверить,
что однородное уравнение
не имеет ограниченных на всей оси
решений, отличных от тривиального.
Допустим,
что такое решение
существует. Полагая
,
,
его можно записать в виде
Поскольку
спектром оператора
в пространстве
является
множество
,
лежащее внутри левой полуплоскости, то
первое слагаемое ограничено при
,
а значит, этим свойством обладает и
второе слагаемое
Но
тогда, учитывая тот факт, что спектр
оператора
в пространстве
(если он не пуст) лежит внутри правой
полуплоскости, мы получим
Это
неравенство при
показывает, что
.
Аналогично показывается, что и при
.
Теорема доказана.