конспекты по молякулярной физике

С молекулярно-кинетической точки зрения, внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий хаотического теплового движения составляющих систему микрочастиц и потенциальной энергии взаимодействия этих частиц друг с другом. Во внутреннюю энергию не входят кинетическая энергия системы как целого, и ее потенциальная энергия во внешних силовых полях.

Внутренняя энергия является аддитивной функцией состояния, т.е. величина внутренней энергии всей системы равна сумме значений внутренней энергии ее частей.

Если система помещена в адиабатическую оболочку, то единственным способом изменить ее внутреннюю энергию является совершение над ней макроскопической работы внешних сил, что достигается путем изменения внешних параметров. (К числу внешних параметров относятся и силовые поля, в которые помещена система.) Однако если адиабатической изоляции нет, то изменение внутренней энергии возможно и без производства макроскопической работы. Так, при соприкосновении горячего и холодного тел внутренняя энергия переходит от горячего тела к холодному, хотя при этом макроскопическая работа и не совершается.

Процесс обмена внутренними энергиями контактирующих тел, не сопровождающийся производством макроскопической работы, называется теплообменом. Энергия, переданная телу в результате теплообмена, называется количеством теплоты Q, или просто теплотой, полученной системой в таком процессе.

Отметим, что при теплообмене энергия системы может как возрастать, так и убывать, поэтому полученное системой количество тепла Q может быть как положительным, так и отрицательным. В ряде случаев бывает удобнее говорить о количестве тепла Q', отданного системой. Очевидно, что при этом

Таким образом, первое начало термодинамики постулирует существование функции состояния, называемой внутренней энергией, и двух способов ее изменения, связанных с макроскопической работой и передачей тепла. Наиболее распространена следующая формулировка первого начала термодинамики:

Количество тепла Q12, полученное системой при переходе из

Уравнение (3.1), представляющее математическую формулировку первого начала, чаще записывают для бесконечно малых квазистатических процессов

Если система состоит из однородного изотропного вещества, и внешние силовые поля (электрическое или магнитное) отсутствуют, работа связана только с изменением объема (SA = P-dV). Именно такие системы мы чаще всего будем рассматривать. В этом случае первое начало термодинамики принимает вид

пути перехода, а значит, не является функцией состояния.

В связи с тем, что теплота и работа не являются функциями состояния, для бесконечно малых количеств теплоты и работы принято употреблять обозначения SQ и SA, а не dQ и dA. Этим хотят подчеркнуть, что SQ и SA не могут рассматриваться как полные дифференциалы. Они являются бесконечно малыми величинами, но не приращениями определенных функций.

§ 4. Теплоемкость

Теплоемкостью системы C называется отношение бесконечно малого количества теплоты SQ, полученного системой, к соответствующему приращению dT ее температуры:

C= SQ. dT

Если теплоемкость системы, состоящей из однородного вещества разделить на его массу m, получится удельная теплоемкость. Ее обычно обозначают малой буквой с (с = С/m). В термодинамике более удобно использовать теплоемкость одного моля вещества - молярную теплоемкость

С:

с=C.

V

Количество тепла, получаемое молем однородного вещества в какомлибо бесконечно малом процессе, можно представить в виде:

системе процесса. Свойствами вещества определяется теплоемкость только вполне определенного процесса, а не теплоемкость «вообще».

Запишем первое начало термодинамики (3.3) для одного моля однородного и изотропного вещества, выразив bQ через теплоемкость

объема U = U(T,V), возьмем ее полный дифференциал и подставим в (4.2)

зависимости от происходящего с системой процесса, отношение dV/dT может принять любое значение. Поэтому и теплоемкость С, вообще говоря, может принимать любые значения от -да до +да. В частности, для изотермического процесса С = ±да, т.к. в этом случае dT = 0, bQ ф 0. При адиабатическом процессе 5Q = 0, dT ф 0, С=0. Чтобы придать выражению (4.3) однозначный смысл, надо задать процесс.

Особенно важны теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, обозначаемые CV и СР. Если объем остается постоянным, то dV=0 и, следовательно,

Если постоянно давление, то отношение dV/dT переходит в частную

производную (дУ/дТ)р- В этом случае

Как мы увидим в дальнейшем, теплоемкости CV и CP входят во многие термодинамические соотношения.

§ 5. Первое начало термодинамики для идеальных газов

Чтобы из общих термодинамических соотношений можно было получать конкретные результаты, надо знать, во-первых, уравнение состояния

Выражение типа (5.2) называется калорическим уравнением состояния, в отличие от (5.1), называемого термическим уравнением состояния. Оба эти уравнения не могут быть получены методами теоретической термодинамики. Они находятся экспериментально, или методами статистической физики.

Рассмотрим приложения первого начала термодинамики к идеальным газам. Все слагаемые в уравнении первого начала термодинамики пропорциональны количеству вещества (числу молей v). Поэтому, чтобы не загромождать формулы, будем в дальнейшем рассматривать системы, состоящие из одного моля вещества.

Термическим уравнением состояния одного моля идеального газа является уравнение Клапейрона-Менделеева

Взяв дифференциал от обеих частей равенства (5.3) получим

вывод можно сделать на основании опытов по расширению газов в пустоту. В таком процессе внутренняя энергия не может измениться, т.к. газ не совершает работу и не получает тепло. Опыты показали, что температура газа не меняется, тогда как объем возрастает. Из этого можно сделать вывод, что при неизменной температуре внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема. Иными словами, внутренняя энергия идеального газа

является функцией только температуры U = U(T).

Функция U(T) может быть выражена через теплоемкость CV идеального газа. Выражение (4.4), справедливое для любого вещества, применительно к идеальному газу можно записать как

Отсюда следует, что теплоемкость CV идеального газа, как и его внутренняя энергия, не зависит от объема, а является функцией только

Опыт показывает, что во многих случаях CV в широких температурных интервалах (от 100 К до 1000 К) остается почти постоянной. Если пренебречь зависимостью CV от температуры, то вместо (5.6) можно использовать более простую формулу

Как показывают опыт и молекулярно-кинетическая теория, для одноатомных газов CV - 3R/2, для двухатомных CV - 5R/2, для многоатомных

Cv - 3R.

Рассмотрим теперь несколько важных частных случаев процессов с идеальными газами.

1) Изохорический процесс: V = const, dV = 0, C = CV.

5A = 0, 5Q = dU = Cv dT.

2) Изобарический процесс: P = const, dP = 0, С = СР. Из соотношения (5.4), учитывая, что dP = 0, следует

5А = Pdv = RdT.

Первое начало термодинамики (3.3) в этом случае примет вид

C dT = C dT + RdT .

Сокращая на dT, получим C = C + R , или

Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера. Соотношение (5.8) может быть получено и из формулы (4.6), если

учесть, что для идеального газа (dU/dV)T= 0, (dV/dT)P = R/P.

Работа А12 и количество тепла Q12 при изобарическом изменении объема от V1 до V2 равны

A12 = P(V2 - Vi) = R(T2 - Ti),

Q12 = Cp(T2 - Ti). 3) Изотермический процесс: Т = const, dT = 0.

dU = 0, bQ = 8A = PdV.

При изотермическом расширении от объема V1 до объемаV2

§ 6. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатическим называется процесс, происходящий в условиях тепловой изоляции системы, когда bQ = 0. Работа, совершаемая системой в адиабатическом процессе, равна взятому с противоположным знаком изменению внутренней энергии

bA = - dU.

Если адиабатический процесс проводится с идеальным газом, то

bA = - CV dT, или Ai2 = - CV(T2 - Ti).

Найдем, как связаны между собой параметры состояния идеального газа, совершающего квазистатический адиабатический процесс. Учитывая,

что bQ = 0, а dU = CV dT, уравнение первого начала термодинамики (3.3),

Пользуясь соотношением (5.4) можно выразить dT через dP и dV

dT = VdP+PdV R

и подставить в (6.1). Принимая во внимание, что CV + R = CP получим

C

Введем обозначение у = —-, и поделим равенство (6.2) на CV-P-V.

Это дает уравнение адиабаты в переменных давление-объем

адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении - охлаждается. Это явление используется в дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путем адиабатического сжатия. Нагревание объясняется тем, что во время сжатия внешние силы совершают над газом работу, которая идет на увеличение его внутренней энергии, а значит и

На P-V диаграмме (рис. 6.1) адиабата S-S внешне похожа на изотерму T-T, но имеет больший наклон. Сравним производные (3P/dV)T и (dP/dV)&A, определяющие наклон изотермы и адиабаты.

изменении объема давление меняется сильнее, чем при изотермическом.

§ 7. Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями

Модуль объемной упругости К, также называемый модулем всестороннего сжатия, показывает, насколько сильно меняется давление при изменении объема. Он является коэффициентом пропорциональности, связывающим изменение давления и относительное изменение объема

dP= -KddV. V

Так как давление зависит не только от объема, но и от температуры, K определяется не только веществом, но и условиями сжатия. Наиболее важными являются адиабатический Кад и изотермический КТ модули объемной упругости. Они определяются соотношениями

между адиабатическим и изотермическим модулями объемной упругости имеет место не только для идеального газа, но и для любого однородного и изотропного вещества. При выводе будем пользоваться фактом существования уравнения состояния (не зная его конкретного вида) и первым началом термодинамики

f(P,V,T) = 0,

5Q = dU + PdV.

Запишем первое начало термодинамики для адиабатического (5Q = 0) процесса

dU + PdV = 0.

Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объема U=U(T,V), возьмем ее полный дифференциал

dU = (QU/QT)V dT + (QU/QV)T dV

и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что (QU/QT)V = CV получим

CV dT + [(QU/QV)T + p]dV = 0.

Из соотношения (4.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно (Cp - CV)(dT/dV)p.

Тогда

Напомним, что рассматривается адиабатический процесс, и приращения dV и dT связывают температуру и объем на адиабате. Обозначая,

как обычно, CP/CV = у, можно эту связь представить в виде

полезным, но сейчас нас интересует связь давления с объемом.

Рассматривая температуру как функцию давления и объема T = T(P,V), возьмем ее полный дифференциал dT = (dT/dP)V dP + (dT/dV)P dVи подставим в уравнение (7.1). После упрощений получим

Значит Кад = у КТ для любого однородного и изотропного вещества.

§ 8. Циклы. Тепловые и холодильные машины. КПД цикла Карно для идеального газа

Циклическим (круговым) процессом или циклом называется процесс, в котором начальное и конечное состояния системы совпадают. В цикле,

изображенном на рис. 8.1, на участке 1-а-2 система совершает положительную работу, а возвращаясь в исходное состояние по пути 2-b-1 - отрицательную, но меньшую по абсолютной величине. При этом полная работа, совершенная за цикл, положительна. Она равна площади фигуры 1-a- 2-b-1, охватываемой циклом на P-V диаграмме.