Вариант №

Начальные условия для заданий 1, 2, 3.

Рассматривается обусловленное потребление для случая покупки страхового полиса. Предполагается, что возможны два «состояния природы»: 1) неблагоприятное, при котором индивид терпит ущерб и 2) благоприятное. Условия страхового контракта таковы: К – стоимость страхового полиса (сумма страховки равна величине ущерба), r - величина страхового взноса.

Обозначим начальное богатство индивида через W₀, через С₁ – переменную, соответствующую величине дохода, которым будет располагать индивид при условии, что будет иметь место «состояние природы 1», через С₂ – переменную, соответствующую величине дохода, которой будет располагать индивид при условии, что будет иметь место «состояние природы 2».

Рис. 1

Задание 1. Опишите координаты точки А, которая характеризует состояние индивида без страхового контракта.

Ответ: С₁^А = , С₂^А = .

Задание 2. Опишите координаты точки В, в которую возможно переместиться, купив страховой полис стоимостью К ден. ед.

Ответ: С₁^В = , С₂^В =

Задание 3. Выпишите уравнение бюджетной линии в пространстве обусловленного потребления (С₁ , С₂):

Ответ:

Задание 4. Неравенство Йенсена:

выполняется тогда и только тогда, когда функция V(c) .

Задание 5. Свойство строгой вогнутости функции полезности Бернулли отражает определенное экономическое содержание. Выберите правильный ответ:

1. характер изменения предельной полезности денег строго зависит от начальной величины богатства;

2. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы больше, чем от предыдущей;

3. предельная полезность денег одинакова для каждой дополнительной единицы;

4. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы меньше, чем от предыдущей.

Задание 6. Функция полезности индивида описывается формулой:

V(С) = 120 – 200/C. У индивида есть две возможности выбора:

1) получить 4 ден.ед.;

2) принять участие в лотерее, где он может выиграть 10 ден.ед. с вероятностью 1/4 или

выиграть 2 ден.ед с вероятностью 3/4.

ОПРЕДЕЛИТЕ (ответы обосновать)

1. каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности Бернулли) ? Ответ:

2. что предпочтительней для индивида: играть или получить 4 ден.ед.? Приведите графическое обоснование решения.

Ответ:

3. чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?

Ответ:

4. чему равен безрисковый эквивалент лотереи?

Ответ:

Задание 7. Выпускнику МГУ (далее В) предложили два места работы. Безопасная

работа преподавателя с заработной платой 400 ден.ед в месяц. Либо опасная работа, связанная с риском – менеджером полукриминальной фирмы с заработной платой, равной W ден.ед. в месяц. Вероятность «неудачи» на последней работе оценивается в 40% .

Функция полезности В имеет вид: V(w) = 50 – (8000/w) - Н, где Н – параметр, значение которого Н = 10 при «неудаче» и Н = 0 в нормальной ситуации.

Какова должна быть премия за риск, чтобы В предпочел стать менеджером?

Ответ (обосновать):

Задание 8. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта.

Обладает ли функция полезности V(C) = C^1/4 свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта.

Ответ (обосновать):

Задание 9. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта. Приведите пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.

Ответ (обосновать):

Задание 10. Пусть функция полезности Бернулли для некоторого индивида

имеет вид: V(С) = C ^1/2. Ему предлагается лотерея, в которой он может выиграть 10

с вероятность 1/3 или выиграть 4 с вероятность 2/3. исходный уровень богатства индивида равен 10. Определите:

1) цену продажи (продавца); Ответ (обосновать):

2) цену покупки (покупателя). Ответ (обосновать):

Задание 11. Определите отношение к риску индивидов, чьи функции полезности описываются следующими формулами:

(а) V = ln c (б) V = c² (в) V = 100 + 6c

Задание 12. Индивид А является не расположенным к риску человеком. Пусть его доход до вычета налогов составляет 1500 ДЕ. Система налогообложения функционирует согласно следующим трем принципам:

1. ставка налогообложения равняется 1/3;

2. налоговая декларация проверяется с вероятностью π, и индивид А об этом осведомлен;

3. Если при проверке выяснится, что А скрывает доходы, то ему придется заплатить 0,6 ДЕ за каждую ДЕ скрытого от налогообложения дохода.

1) Постройте бюджетное ограничение индивида А в пространстве обусловленных товаров (С₁,С₂) (С₁ – уровень потребления, если проверка произойдет, С₂ – уровень потребления, если проверки не будет).

2) Отметьте точку вклада.

3) Пусть недоплата налога индивида А равняется 200ДЕ. Обозначьте буквой Е на бюджетной линии точку его выбора. Какова сумма дохода скрываемого индивидом? Укажите ее на рисунке.

Задание 13 . Предположим, индивид владеет некоторым богатством в размере W и подумывает о том, чтобы вложить некоторую сумму х в рисковый актив. Владение этим активом может принести ему либо положительный доход в размере r₁ (с каждой вложенной ДЕ) при благоприятном исходе (стоимость актива растет), либо r₂ при «плохом» исходе (стоимость актива падает). Допустим, вероятность благоприятного исхода составляет π , а вероятность плохого исхода равняется (1- π), функция полезности богатства индивида v(w) вогнута.

Выведите необходимое условие определения оптимального значения суммы вложений (х*) в рисковый актив.

Задание 14. Допустим, существуют две градации качества некоторого товара. При

этом, продавец товара знает, к какой категории относится продаваемый экземпляр товара, а покупатель не знает. Спрос на каждую из категорий качества описывается функциями:

Р₁ = 100 – 0,5Q, P₂ = 60 - 0,5Q ,

предложение – функциями:

Q₁^S = P – 60, Q₂^S = P – 20.

Определите равновесную цену и равновесные объемы продаж по каждой категории качества, если покупатели считаются нейтральными по отношению к риску.

Ответ (обосновать):

Задание 15. Перечислите типы равновесия на рынке некоторого товара с асимметричной информацией в зависимости от степени дифференциации товара

(рассматриваются две градации качества).

Ответ:

Задание 16. В модели «Принципал-агент: моральный риск» выручка от деятельности, осуществляемой агентом, зависит от усилий агента (менеджера), Q(e), где e –уровень усилий агента, Q –величина выручки. Допустим уровень усилий агента может принимать два значения: е₁ = 2 и е₂ =1. При этом возможны два уровня выручки (валового дохода) Q₁ = 16 Q₂ = 2.

Если менеджер выбирает уровень усилий е₁ , то вероятность получения высокой выручки составит 75%, а если менеджер выбирает уровень усилий е₂ , то вероятность получения высокой выручки составит 25%. Полезность менеджера при альтернативной занятости равна нулю. Функция полезности менеджера имеет вид: V(w,e) = w - e,

где w - оплата труда менеджера.

Найдите оптимальный контракт при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для принципала.

Задание 17. Для условий заданий 16 найдите стимулирующий контракт при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для принципала.

Задание 18. Доход индивида равен 25 ден.ед. Он может принять участие в следующей игре: бросается шестигранная игральная кость; если выпадет 5, то он выиграет 1 ден.ед, если появится любая другая цифра, то он проиграет 0,4 ден.ед.

Изобразите бюджетное ограничение индивида и линию равных возможностей данной игры в пространстве случайных товаров (С₁,С₂) на рис.2. Выпишите их уравнения.

Рис.2

Задание 19. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре из задания 18, чтобы игра стала актуарно справедливой?

Задание 20. Менеджер совершенно конкурентной фирмы должен определить объем производства, максимизирующий прибыль, не располагая достоверной информацией о цене продукции и издержках. При этом он предполагает, распределение вероятностей цены таково:

Цена	15 ДЕ	16 ДЕ	17 ДЕ	18 ДЕ
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,4

Что касается издержек: аналитический отдел фирмы оценил с помощью регрессионного анализа функцию средних переменных издержек как следующую:

AVC = 16 – 0,024Q + 0.00002Q² , а величина постоянных издержек составляет 1000 ДЕ.

Объем производства, максимизирующий ожидаемую прибыль равен:

1) 820 2)960 3) 1120 4) 1263 5) 1294