ЭкзММАЭ-2009

Экзаменационная работа по курсу

«Учет неопределенности в микроэкономических процессах»

(10 декабря 2009 г.)

ВАРИАНТ № (80 Баллов)

Задание 1. Перечислите основные элементы модели принятия решений в условиях неопределенности:(2Б)

1)

2)

3)

4)

5)

Задание 2. Заданы составные лотереи: (L₁,L₂,L₃; 1/3, 1/3, 1/3) и (L₄,L₅; 1/2, 1/2) , где

L₁ = (1/5, 2/5, 2/5), L₂ = (0,1,0), L₃ = (3/5, 1/5, 1/5), L₄ = (2/15, 8/15, 1/3), L₅ = (2/15, 2/3, 1/5).

Являются ли приведенные лотереи эквивалентными. Ответ обоснуйте. (2Б)

Задание 3. Теорема ожидаемой полезности утверждает, что (4Б)

Задание 4. Неравенство Йенсена:

выполняется тогда и только тогда, когда функция v(c) (2Б)

Задание 5. Свойство строгой выпуклости вверх функции полезности Бернулли отражает определенное экономическое содержание. Выберите правильный ответ: (2Б)

1. характер изменения предельной полезности денег строго зависит от начальной величины богатства;

2. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы больше, чем от предыдущей;

3. предельная полезность денег одинакова для каждой дополнительной единицы;

4. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы меньше, чем от предыдущей.

Задание 6. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта и

содержательную интерпретацию этой меры.

Обладает ли функция полезности V(C) = C^1/4 свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта. Ответ (обосновать): (3Б)

Задание 7. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта и пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.

Ответ (обосновать): (2Б)

Задание 8.(8Б) Функция полезности студентки ( выпускницы) медицинского института описывается следующей формулой: ( с – уровень потребления, выраженный в тысячах ден. ед). Если она согласится пойти на административную работу, которую ей предложили в одном из медицинских учреждений, то она будет гарантированно получать 30 тыс. ден. ед. в месяц. В случае, если она будет работать по специальности педиатром, то ее доход составит 60 тыс. ден ед при подъеме рождаемости или 20 тыс. ден. Ед. при спаде рождаемости. Вероятность бума рождаемости равна 1/4, а вероятность спада – 3/4.

ОПРЕДЕЛИТЕ: 1) Отношение студентки к риску (постройте график функции полезности на рис.1).

Рис.1

1. Какой вариант выбора предпочтительнее для студентки?

2. Чему равен ожидаемый доход в случае работы педиатром?

3. На какой доход могла бы согласиться студентка на работе педиатром, чтобы избежать риска при спаде рождаемости?

4. Какой величины дохода готова лишиться студентка на работе педиатром, чтобы избежать риска при спаде рождаемости?

Задание 9. Лотерея L обещает выплату в размере 10 Д.Е, с вероятностью q либо 5

Д.Е. с вероятностью (1 – q). Обозначим цену, по которой индивид владеющей лотерей согласится ее продать (цена продажи) через Р_А, а цену, по которой индивид согласится такую лотерею купить (цену покупки) через Рв. Каково соотношение между Р_А и Рв , если функция полезности денег индивида имеет вид:

V© = aC – 0,5C², a > 0, C < a ? (8Б)

Задание 10.(4Б) Менеджер совершенно конкурентной фирмы должен определить объем производства, максимизирующий прибыль, не располагая достоверной информацией о цене продукции и издержках. При этом он предполагает, распределение вероятностей цены таково:

Цена	15 ДЕ	16 ДЕ	17 ДЕ	18 ДЕ
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,4

Что касается издержек: аналитический отдел фирмы оценил с помощью регрессионного анализа функцию средних переменных издержек как следующую:

AVC = 16 – 0,024Q + 0.00002Q² , а величина постоянных издержек составляет 1000 ДЕ.

Объем производства, максимизирующий ожидаемую прибыль равен:

1) 820 2)960 3) 1120 4) 1263 5) 1294

Ответ обосновать:

Задание 11.(6Б) В модели «Принципал-агент: моральный риск» выручка от деятельности, осуществляемой агентом, зависит от усилий агента (менеджера), Q(e), где e –уровень усилий агента, Q –величина выручки. Допустим уровень усилий агента может принимать два значения: е₁ = 2 и е₂ =1. При этом возможны два уровня выручки (валового дохода) Q₁ = 16 Q₂ = 2.

Если менеджер выбирает уровень усилий е₁ , то вероятность получения высокой выручки составит 75%, а если менеджер выбирает уровень усилий е₂ , то вероятность получения высокой выручки составит 25%. Полезность менеджера при альтернативной занятости равна нулю. Функция полезности менеджера имеет вид: V(w,e) = w^1/2 - e,

где w - оплата труда менеджера.

Найдите оптимальный контракт при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для принципала.

Задание 12. Для условий задания 11 найдите стимулирующий контракт при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для принципала. (17 Б)

Задание 13. (20 Б) Пусть элементарная функция полезности менеджера фирмы имеет вид:

V (w,e) = (w)^1/2 – e²,

где w - заработная плата, е – усилия агента, причем переменная е может принимать лишь два значения: 1 или 2. Валовая прибыль Q в зависимости от усилий менеджера и ситуации на рынке может принимать три значения Q₁ = 320, Q₂ = 100, Q₃ = 0. Вероятности достижения перечисленных уровней валовой прибыли при уровне усилий

е = 1 составляют 1/4, 1/4 и 1/2, соответственно, а при уровне усилий е = 2 соответствующие вероятности равны 1/2, 1/4 и 1/4.

Пусть полезность работника при альтернативной занятости равняется 6 (= 6). Собственник фирмы нейтрален к риску и является монополистом на данном рынке труда.

1. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для собственника фирмы. (3Б)

2. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для собственника фирмы. (7Б)

3. Сравните ожидаемую заработную плату в пункте 2) с заработной платой в пункте

1). Сохранится ли это соотношение для любых значений параметров задачи и

произвольной вогнутой по w функции полезности менеджера? (Если вы считаете,

что сохранится, то докажите. Если вы полагаете, что найденное соотношение не

всегда имеет место, то приведите пример с обратным соотношением. (10Б)

(Подсказка: вспомните неравенство Йенсена для вогнутых функций).

Задание 12.(18Б) Предпочтения некоторого индивида описываются функцией полезности V(c) = C^1/2. Его богатство оценивается в 144 млн.долл. с учетом стоимости уникальной картины – 63 млн.долл., которой он владеет. Вероятность того, что картина может быть похищена, составляет 1/3. Он может застраховать картину на условиях полного возмещения ее стоимости в случае хищения.

1. Какую страховую сумму заплатит бизнесмен, если рынок страховых услуг является совершенно конкурентным? (3Б)

2. Какую страховую сумму заплатит бизнесмен, если на рынке страховых услуг функционирует лишь одна фирма? (5Б)

3. Бизнесмен может установить сигнализацию. Надлежаще ее использование, которое сопряжено с издержками для владельца картины равными С*, снижает вероятность похищения картины до 0,1. Если он не прикладывает усилий (не несет издержки в объеме С*), то вероятность похищения остается прежней.

ПОКАЖИТЕ, что если фирма заинтересована в надлежащем использовании сигнализации, то она будет предлагать контракт с неполной страховкой (делить риск вместе с владельцем картины). (10Б)

Экзаменационная работа по курсу

«Учет неопределенности в микроэкономических процессах»

(10 декабря 2009 г.)

ВАРИАНТ № (80 Баллов)

Задание 1. Заданы составные лотереи: (L₁,L₂,L₃; 1/3, 1/3, 1/3) и (L₄,L₅; 1/2, 1/2) , где

L₁ = (2/5, 1/5, 2/5), L₂ = (0,1,0), L₃ = (1/5, 1/5, 3/5), L₄ = (2/15, 8/15, 1/3), L₅ = (2/15, 2/3, 1/5).

Являются ли приведенные лотереи эквивалентными. Ответ обоснуйте. (2Б)

Задание 2. (4Б) Основная Теорема оптимизации потребительского выбора в пространстве случайных товаров утверждает, что

Задание 3. Свойство строгой выпуклости вниз функции полезности Бернулли отражает определенное экономическое содержание. Выберите правильный ответ: (2Б)

1. характер изменения предельной полезности денег строго зависит от начальной величины богатства;

2. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы больше, чем от предыдущей;

3. предельная полезность денег одинакова для каждой дополнительной единицы;

4. предельная полезность от каждой последующей денежной единицы меньше, чем от предыдущей.

Задание 4. (2Б) Приведите определение линии равных возможностей в

пространстве случайных товаров. Чему равен наклон этой линии?

Задание 5. Неравенство Йенсена:

выполняется тогда и только тогда, когда функция v(c) (2Б) .

Задание 6. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта, ее содержательную интерпретацию. Обладает ли функция полезности V(C) = lnC свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта. Ответ (обосновать): (3Б)

Задание 7. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта и пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.

Ответ (обосновать): (2Б)

Задание 8. (8Б) Функция полезности индивида описывается формулой:

V(С) = 200 –150/C.

Начальное богатство индивида составляет 50 ДЕ. У индивида есть две возможности выбора:

1) достоверно получить 10 ДЕ(что увеличит его богатство до 60 ДЕ);

2) принять участие в лотерее, в которой он может выиграть с каждой поставленной на кон денежной единицы: либо 3 ДЕ с вероятностью 3/5 или 1 ДЕ - с вероятностью 2/5. Допустим, если индивид принимает участие в лотерее, то вкладывает в игру 10 ДЕ, вычитая их из своего начального богатства.

ОПРЕДЕЛИТЕ (ответы обосновать)

1. каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности Бернулли)?

2. что предпочтительней для индивида: играть или получить 10 ден.ед.? Приведите графическое обоснование решения.

Ответ:

3. чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?

Ответ:

4. чему равен безрисковый эквивалент лотереи?

Ответ:

5) Какой величины дохода готов лишиться индивид, чтобы избежать риска?

Задание 9. Лотерея L обещает выплату в размере 10 Д.Е, с вероятностью q либо 5

Д.Е. с вероятностью (1 – q). Обозначим цену, по которой индивид владеющей лотерей согласится ее продать (цена продажи) через Р_А, а цену, по которой индивид согласится такую лотерею купить (цену покупки) через Рв. Каково соотношение между Р_А и Рв , если функция полезности денег индивида имеет вид:

V(С) = - е ^-ас , а > 0 ? (8Б)

Задание 10.(4Б) Менеджер фирмы – дуополиста решает повысить цену продукции. Он надеется, что с вероятностью 60% фирма – соперник примет его цену, а с вероятностью 40% - оставит прежнюю цену без изменения. В настоящий момент цена равняется 50 ДЕ.

Спрос фирмы описывается функцией Q = 8000 – 280P + 200P_C , где P_C - цена фирмы-конкурента. Предельные издержки фирмы постоянны и составляют 20 ДЕ.

Какую цену установит менеджер, максимизирующий ожидаемую прибыль?

1) 47,5 2) 52,50 3) 54 4) 62,50 5) 65

Ответ обосновать:

Задание 11. (25Б) Пусть элементарная функция полезности менеджера фирмы имеет вид: V (w,e) = (w)^1/2 – e²,

где w - заработная плата, е – усилия агента, причем переменная е может принимать лишь два значения: 1 или 2. Валовая прибыль Q в зависимости от усилий менеджера и ситуации на рынке может принимать три значения Q₁ = 320, Q₂ = 100, Q₃ = 0. Вероятности достижения перечисленных уровней валовой прибыли при уровне усилий

е = 1 составляют 1/4, 1/4 и 1/2, соответственно, а при уровне усилий е = 2 соответствующие вероятности равны 1/2, 1/4 и 1/4.

Пусть полезность работника при альтернативной занятости равняется 6 (= 6). Собственник фирмы нейтрален к риску и является монополистом на данном рынке труда.

1. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для собственника фирмы. (3Б)

2. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для собственника фирмы. (7Б)

3. Сравните ожидаемую заработную плату в пункте 2) с заработной платой в пункте

1). Сохранится ли это соотношение для любых значений параметров задачи и

произвольной вогнутой по w функции полезности менеджера? (Если вы считаете,

что сохранится, то докажите. Если вы полагаете, что найденное соотношение не

всегда имеет место, то приведите пример с обратным соотношением. (15Б)

(Подсказка: вспомните неравенство Йенсена для вогнутых функций).

Задание 12. В модели «Принципал-агент: моральный риск» выручка от деятельности, осуществляемой агентом, зависит от усилий агента (менеджера), Q(e), где e –уровень усилий агента, Q –величина выручки. Допустим уровень усилий агента может принимать два значения: е₁ = 2 и е₂ =1. При этом возможны два уровня выручки (валового дохода) Q₁ = 16 Q₂ = 2.

Если менеджер выбирает уровень усилий е₁ , то вероятность получения высокой выручки составит 75%, а если менеджер выбирает уровень усилий е₂ , то вероятность получения высокой выручки составит 25%. Полезность менеджера при альтернативной занятости равна нулю. Функция полезности менеджера имеет вид: V(w,e) = w^1/2 - e,

где w - оплата труда менеджера.

Найдите оптимальный контракт при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для принципала.

Задание 13. Для условий задания 12 найдите стимулирующий контракт при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для принципала.

Задание 12.(18Б) Предпочтения некоторого индивида описываются функцией полезности V(c) = C^1/2. Его богатство оценивается в 225 млн.долл. с учетом стоимости уникальной картины – 81 млн.долл., которой он владеет. Вероятность того, что картина может быть похищена, составляет 1/3. Он может застраховать картину на условиях полного возмещения ее стоимости в случае хищения.

1. Какую страховую сумму заплатит бизнесмен, если рынок страховых услуг является совершенно конкурентным? (3Б)

2. Какую страховую сумму заплатит бизнесмен, если на рынке страховых услуг функционирует лишь одна фирма? (5Б)

3. Бизнесмен может установить сигнализацию. Надлежаще ее использование, которое сопряжено с издержками для владельца картины равными С*, снижает вероятность похищения картины до 0,1. Если он не прикладывает усилий (не несет издержки в объеме С*), то вероятность похищения остается прежней.

ПОКАЖИТЕ, что если фирма заинтересована в надлежащем использовании сигнализации, то она будет предлагать контракт с неполной страховкой (делить риск вместе с владельцем картины). (10)

Задание 10.(4Б) Менеджер фирмы – дуополиста решает повысить цену продукции. Он надеется, что с вероятностью 60% фирма – соперник примет его цену, а с вероятностью 40% - оставит прежнюю цену без изменения. В настоящий момент цена равняется 50 ДЕ.

Спрос фирмы описывается функцией Q = 8000 – 280P + 200P_C , где P_C - цена фирмы-конкурента. Предельные издержки фирмы постоянны и составляют 20 ДЕ.

Какую цену установит менеджер, максимизирующий ожидаемую прибыль?

1) 47,5 2) 52,50 3) 54 4) 62,50 5) 65

Ответ обосновать:

Задание 11. (20 Б) Пусть элементарная функция полезности менеджера фирмы имеет вид:

V (w,e) = (w)^1/2 – e²,

где w - заработная плата, е – усилия агента, причем переменная е может принимать лишь два значения: 1 или 2. Валовая прибыль Q в зависимости от усилий менеджера и ситуации на рынке может принимать три значения Q₁ = 320, Q₂ = 100, Q₃ = 0. Вероятности достижения перечисленных уровней валовой прибыли при уровне усилий

е = 1 составляют 1/4, 1/4 и 1/2, соответственно, а при уровне усилий е = 2 соответствующие вероятности равны 1/2, 1/4 и 1/4.

Пусть полезность работника при альтернативной занятости равняется 6 (= 6). Собственник фирмы нейтрален к риску и является монополистом на данном рынке труда.

1. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для собственника фирмы. (3Б)

2. Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для собственника фирмы. (7Б)

3. Сравните ожидаемую заработную плату в пункте 2) с заработной платой в пункте

1). Сохранится ли это соотношение для любых значений параметров задачи и

произвольной вогнутой по w функции полезности менеджера? (Если вы считаете,

что сохранится, то докажите. Если вы полагаете, что найденное соотношение не

всегда имеет место, то приведите пример с обратным соотношением. (10Б)

(Подсказка: вспомните неравенство Йенсена для вогнутых функций).