I. Случайные события.
Cвойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.
11
I. Случайные события.
Cвойства статистической вероятности
1. Если событие достоверно, то m = n и относительная частота m/n = n/n = 1,
т. е. статистическая вероятность достоверного события
(так же как и в случае классического определения) равна единице.
2. Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота
0/n = 0,
т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.
3. Для любого события 0 m n и, следовательно, относительная частота
0 m/n 1,
т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
12
I. Случайные события. 1.6. Геометрические вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности —
вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).
13
I. Случайные события.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях
вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством
Р = Длина l /Длина L.
14
I. Случайные события.
Если аналогичные рассуждения выполнить для плоских фигур площадью g и G, то геометрическая вероятность
запишется
Р = Площадь g/ Площадь G
15
I. Случайные события.
Замечание 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности.
Если обозначить меру* (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g — часть области G, равна
Р = mes g/mes G.
*measure – мера (англ.)
16
I. Случайные события.
Замечание 2.
Вслучае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).
Вслучае геометрического определения вероятности
обратные утверждения не имеют места. Например,
вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.
17
Теория вероятностей и математическая статистика
Необходимые сведения по комбинаторике
18
Теория вероятностей и математическая статистика
Классическое определение вероятности
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Итак, вероятность события А определяется формулой
Р(А) = m/n,
где m — число элементарных исходов, благоприятству- ющих А; n — число всех возможных элементарных
исходов испытания. |
19 |
Комбинаторика
1. Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.
20