Теория вероятностей и математическая статистика

Неочевидные ситуации

71

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1: Задача Монти Холла (Монти Холл - ведущий телевизионной викторины в США).

Задача: Участники телевикторины должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится автомобиль, за двумя другими – по козе. Участник выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой дверью, открывает дверь, за которой коза.

Вопрос: Что сделать участнику чтобы вероятность выиграть автомобиль была максимальной, сменить дверь или оставить прежнее решение?

С точки зрения теории вероятностей вопрос означает: Выгодно ли участнику сменить дверь?

72

Теория вероятностей и математическая статистика

На первый взгляд вопрос незамысловатый. Осталось две двери: откроешь одну – выиграешь, откроешь другую – проиграешь. Так что шансы выиграть равны 50/50.

Этот вопрос был задан в рубрику «Колонка Мерилин» журнала «Парад». Мерилин – это Мерилин вос Савант, знаменитая тем, что значится в «Книге рекордов Гиннеса» как человек с самым высоким в мире коэффициентом интеллекта – 228.

Ответ Мерилин в своей колонке: Имеет смысл

сменить дверь.

73

Теория вероятностей и математическая статистика

На ответ Мерилин в журнал пришло более 10 тысяч откликов. 92% заявили о том, что Мерилин ошиблась.

В частности, Мерилин написали около тысячи докторов наук, преподающих математику, которые были возмущены ошибкой Мерилин.

На самом деле Мерилин была права.

74

Теория вероятностей и математическая статистика

Схема задачи Монти Холла.

75

Теория вероятностей и математическая статистика

Если игрок не изменит выбор, то вероятность выигрыша (выбрана одна дверь из трех) равна 1/3.

Если игрок изменит выбор, то вероятность выигрыша составит 2/3. То есть шансы на победу возрастут в два

раза.

76

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2: В урне лежит несколько шаров белого и черного цвета. Из урны достают два шара. Первый игрок ставит на то, что эти шары будут одного цвета, второй ставит на то, что шары будут разного цвета. Игроки хотят, чтобы вероятность выигрыша была одинаковой.

Вопрос: Сколько шаров каждого цвета должно находиться в урне?

77

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение• примера 2: Кажется, что шаров каждого цвета должно быть поровну, но это не так. Одним из возможных решений будет положить в урну три шара одного цвета (например, белого) и один – другого (черного).

Искомые вероятности будут равны:

Вероятность вынуть первым белый шар будет 3/4, так как белых шаров три из четырех.

Вероятность того, что второй шар тоже будет белым, равна 2/3, так как в урне останется два из трех белых шаров.

Вероятность вынуть два белых шара:

Если вероятность вынуть два белых шара будет 1/2, то вероятность вынуть шары разного цвета тоже будет равна

1/2.

78

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 3: Три фишки. В коробке с непрозрачными стенками лежат три фишки: Одна с обеих сторон окрашена в белый цвет, у второй одна сторона белая, а другая красная, обе стороны третьей фишки красные. Некто достает одну фишку из коробки и кладет ее на стол белой стороной вверх. Он предлагает угадать, какого цвета вторая сторона вынутой

фишки.

На какой цвет выгоднее ставить? На белый или на красный? Или же вероятность выигрыша в обоих случаях одинакова?

Подумайте до следующей лекции.

79

Теория вероятностей и математическая статистика

80