1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_7_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 7
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
5.5. Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима).
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Обозначим через X случайную величину — число m стандартных изделий среди n отобранных.
Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2, ... , min(М, n).
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем вероятность того, что X = m, т. е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных. Используем
для этого классическое определение вероятности.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний
.
* |
|
= !/( ! |
− !) |
|
|
||||
|
|
4 |
||
|
|
|
Теория вероятностей и математическая статистика
Число исходов, благоприятствующих событию X=m (среди взятых n изделий m стандартных), равно числу
сочетаний (m стандартных изделий можно извлечь
из M стандартных изделий). При этом, оставшиеся n-m изделий должны быть нестандартными. Взять n-m
нестандартных изделий можно − способами.
−
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Следовательно число исходов, благоприятствующих событию X = m, т. е. что среди n отобранных изделий
ровно m стандартных, равно |
|
− |
по |
правилу |
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
умножения (см. следующий слайд, |
на |
котором |
|||
воспроизведен |
последний |
|
слайд |
|
раздела |
Комбинаторика лекции 2). |
|
|
|
|
|
6
Теория вероятностей и математическая статистика
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m n способами.
7
Теория вероятностей и математическая статистика
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х = m, к числу всех элементарных исходов
|
|
|
|
− |
|
|
Р(Х=m) = |
|
|
|
(*) |
||
|
. |
|||||
|
|
|
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула (*) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.
8
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом, мы получили для искомой вероятности формулу
|
|
|
|
− |
|
|
Р(Х=m) = |
|
|
, |
(*) |
||
|
|
|||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – общее число изделий в партии, M – число стандартных изделий из общего числа N изделий, n – число отобранных изделий из N изделий, m – число стандартных изделий из n отложенных изделий.
После записи формулы желательно проверить:
1)m + (n-m) = n;
2)N + (N-M) = N.
9
Теория вероятностей и математическая статистика
Все студенты одной из групп 3-го курса, решая задачу на данное распределение, сделали одну и ту же ошибку. Вместо правильной формулы
−
Р(Х=m) = − ,
записали формулу
Р(Х=m) = ,
то есть не учли наличие нестандартных деталей среди отобранных.
10