1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Лекция 14
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
14.5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x1, x2, …, xn. Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения признака различными.
Пусть генеральная средняя г неизвестна и
требуется оценить ее по данным выборки.
2
Теория вероятностей и математическая статистика
14.5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x1, x2, …, xn. Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения признака различными.
Пусть генеральная средняя г неизвестна и
требуется оценить ее по данным выборки.
3
Теория вероятностей и математическая статистика
В качестве оценки генеральной средней принимают
выборочную среднюю
в = (х1 + х2 + . . . + хn)/n.
Можно показать, что это несмещенная оценка, то есть математическое ожидание этой оценки равно г.
Легко также показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней.
4
Теория вероятностей и математическая статистика
Из сказанного следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство устойчивости выборочных средних.
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной средней.
6
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. В этом разделе мы предполагали выборку повторной. Однако полученные выводы применимы и
для бесповторной выборки, если ее объем значительно меньше объема генеральной совокупности. Это положение часто используется на практике.
7
Теория вероятностей и математическая статистика
14.6. Групповая и общая средние
Допустим, что все значения количественного при-
знака X совокупности, безразлично - генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп.
Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.
8
Теория вероятностей и математическая статистика
Групповой средней |
|
называют среднее |
|
|
|
арифметическое значений признака, принадлежащих группе j.
Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.
Общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.
9
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп.
Группа |
|
первая |
|
вторая |
||
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
1 |
|
6 |
1 |
|
5 |
признака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
10 |
|
15 |
20 |
|
30 |
|
|
|
|
|
||
Объем |
10+15=25 |
20+30=50 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
10