1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп.
Группа |
|
первая |
|
вторая |
||
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
1 |
|
6 |
1 |
|
5 |
признака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
10 |
|
15 |
20 |
|
30 |
|
|
|
|
|
||
Объем |
10+15=25 |
20+30=50 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем групповые средние:
1 = (10 1 + 15 6)/25 = 4;2 = (20 1 + 30 5)/50 = 3,4.
Найдем общую среднюю по групповым средним:
= (25 4 + 50 3,4)/(25 + 50) = 3,6.
11
Теория вероятностей и математическая статистика
14.7. Отклонение от общей средней и его свойство
Рассмотрим совокупность, безразлично — генеральную или выборочную, значений количественного признака X объема n:
значения признака |
х1 |
х2 |
… |
хk |
частоты |
n1 |
n2 |
… |
nk |
При этом |
|
= n. |
=1 |
12
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем общую среднюю:
= |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
= . |
|
|
|
|
Поскольку - постоянная величина,
|
|
= |
|
|
= . |
|
|
|
|
|
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Отклонением* называют разность xi - между значением признака и общей средней.
Теорема. Сумма произведений отклонений на
соответствующие частоты равна нулю:
( − ) = 0.
Следствие. Среднее значения отклонения равно нулю.
|
( |
− ) = |
|
− |
|
= − = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
*См. следующий слайд. |
14 |
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 8. Слайд 2. Раздел 6.1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.
X — М(X).
15
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Дано распределение количественного признака Х.
xi |
1 |
2 |
3 |
ni |
10 |
4 |
6 |
Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.
Решение. Найдем общую среднюю
= (10 1 + 4 2 + 6 3)/20 = 1,8
Найдем сумму произведений отклонений на соответствующее частоты:
( − ) = 10(1 – 1,8) + 4(2 – 1.8) + 6(3 – 1,8) = 8 – 8 = 0.
16
Теория вероятностей и математическая статистика
14.8. Генеральная и выборочная дисперсии*
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.
Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения хг.
*См. следующий слайд. |
17 |
|
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 8. Слайд 14. Раздел 6.6.
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(Х) = М[Х—М(X)]2.
18
Теория вероятностей и математическая статистика
Если все значения x1, x2, .... xN, признака генеральной совокупности объема N различны, то
= |
|
( |
− )2 |
/N. |
г |
=1 |
|
г |
|
Если же значения признака x1, x2, .... xk, соответственно, имеют частоты N1, N2, … , Nk ,то
= |
|
( |
− )2 |
/N, |
|
г |
=1 |
|
|
г |
|
т. е. генеральная дисперсия есть средняя
взвешенная квадратов отклонений с весами,
равными соответствующим частотам.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распределения.
xi |
2 |
4 |
5 |
6 |
Ni |
8 |
9 |
10 |
3 |
Найти генеральную дисперсию. Решение. Найдем генеральную среднюю
=8∙2+9∙4+10∙5+3∙6 |
= 120 = 4. |
|||
г |
8+9+10+3 |
|
30 |
|
|
|
|||
Найдем генеральную дисперсию
= |
8∙ 2−4 2+9∙ 4−4 2+10∙ 5−4 2+3∙(6−4)2 |
= |
54 |
= 1,8 |
|
|
|||
г |
30 |
|
30 |
|
|
|
|
20