1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой — средним квадратическим отклонением.
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:
г = г.
21
Теория вероятностей и математическая статистика
Аналогично, чтобы охарактеризовать рассеяние значений
количественного признака выборки вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего значения хв.
22
Теория вероятностей и математическая статистика
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны, то
|
|
− |
в |
2 |
|
в= |
=1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Если же значения признака |
|
x1, x2, …, xk имеют |
|||
соответствующие частоты n1+n2+ … +nk = n, то
= |
|
|
|
− |
в |
2 |
|
|
=1 |
|
|
, |
|||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная
квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.
23
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
Ni |
20 |
15 |
10 |
5 |
Найти выборочную дисперсию дисперсию. Решение. Найдем выборочную среднюю
|
=20∙1+15∙2+10∙3+5∙4 |
= 100 = 2. |
|
|
|||
|
в |
20+15+10+5 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем выборочную дисперсию |
|
|
|
|
|
||
|
20∙ 1−2 2+15∙ 2−2 2+10∙ 3−2 |
2+5∙(4−2)2 |
50 |
|
|||
= |
|
|
= |
|
= 1. |
||
|
|
|
|||||
в |
|
50 |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
||
24
Теория вероятностей и математическая статистика
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой — выборочным средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
в = в.
25
Теория вероятностей и математическая статистика
14.9. Формула для вычисления дисперсии
Вычисление дисперсии, безразлично – выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему.
Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:
= - [] .
26
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Найти дисперсию по данному распределению.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
ni |
20 |
15 |
10 |
5 |
Решение. Найдем общую среднюю
=20∙1+15∙2+10∙3+5∙4 = 100 = 2. 20+15+10+5 50
Найдем среднюю квадратов значений признака
2=20∙12+15∙22+10∙32+5∙42 |
= |
250 |
= 5. |
|
50 |
||||
50 |
|
|
Искомая дисперсия
= 2 - []2 = 5 – 22 = 1.
27
Теория вероятностей и математическая статистика
14.10. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии
Пусть все значения количественного признака X
совокупности, безразлично — генеральной или выборочной, разбиты на k групп.
Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.
28
Теория вероятностей и математическая статистика
Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.
гр = ( − )2 /Nj,
где n — частота значения х ; j |
— номер группы; — |
|
i |
i |
|
групповая средняя группы j; Nj = |
— объем группы j. |
|
29
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп.
xi |
2 |
4 |
5 |
ni |
1 |
7 |
2 |
xi |
3 |
8 |
ni |
2 |
3 |
|
|
N1= = 10 |
|
|
|
|
|
N2= = 5 |
|||||||
Решение. Найдем групповые средние |
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
/ |
|
|
= |
1 ∙ 2 + 7 ∙ 4 + 2 ∙ 5 |
= 4; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 ∙ 3 + 3 ∙ 8 |
= 6. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Найдем искомые групповые дисперсии. |
|||||||||||||||
D |
= |
|
|
|
− |
2 / |
= (1 ∙ |
2 − 4 2 + 7 ∙ |
4 − 4 2 + 2 ∙ 5 − 4 2)/10 = |
||||||
1гр |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
= |
|
2 |
|
− |
2 / |
= (2 ∙ |
3 − 6 2 + 3 ∙ |
8 − 6 2)/5 = 6. |
||||||
2гр |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30