1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_11_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Лекция 11
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал*
Зная плотность распределения, можно вычислить
вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Это вычисление основано на следующей теореме.
*интервал – множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству a < x < b.
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Теорема. Вероятность того, что непрерывная
случайная |
величина |
X |
примет |
значение, |
|
принадлежащее |
интервалу |
(а,b), |
равна |
||
определенному |
интегралу |
от |
плотности |
распределения, взятому в пределах от а до b:
Р(а < Х < b) = .
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(х) и прямыми х = а и х = b.
4
Теория вероятностей и математическая статистика
(a,b)
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(х) и прямыми х = a и х = b.
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. В частности, если f(x) – четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
− < < = < = 2 0 .
6
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X
0 при ≤ 0,
х = |
2 при 0 < 1, |
0 при > 1.
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Решение. Искомая вероятность
Р(0,5 < Х < 1) = 2 0,51 = 2|10,5 = 1 − 0,25 = 0,75
7
Теория вероятностей и математическая статистика
10.3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(х) по формуле
F(x)= −∞
.
8
Теория вероятностей и математическая статистика
Действительно, мы обозначили через F(х) вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее x, т. е.
F(х) = Р(Х<х).
Очевидно, неравенство X<х можно записать в виде двойного неравенства — ∞< X < х, следовательно,
F(х) = Р(-∞<Х<х). (*)
Полагая в формуле |
−∞ . |
a = -∞, b = x, |
имеем Р(-∞ < < ) = |
Заменив Р(-∞ < < |
) на F(x), в силу (*) окончательно получим
F(x)= −∞ .
9
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения.
10