1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_11_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b).
Решение. Найдем математическое ожидание X по формуле (*),
учитывая, что плотность равномерного распределения f(х)=1/(b − а):
M(x)= = 1/( − )
В результате получаем
M(X)=(a+b)/2.
41
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем дисперсию X по формуле (**):
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
+ |
2 |
|
D(x)= |
|
− |
|
|
= 1/( − ) |
|
− |
2 |
|
. |
В результате получаем
D(X)=(b - a)2/12.
42
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), т. е. если a = 0, b = 1 , как следует из примера 2, соответственно равны
M(R)=1/2, D(R) = 1/12.
Этот же результат мы получили в примере 1 по заданной функции распределения случайной величины R.
43
Теория вероятностей и математическая статистика
11. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Плотности распределений непрерывных случайных величин также называют законами распределений.
Часто встречаются на практике законы:
равномерного распределения,
нормального распределения,
показательного распределения.
44
Теория вероятностей и математическая статистика
11.1. Нормальное распределение
Нормальный закон распределения, или закон Гаусса*,
— наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.
*Карл Фридрих Гаусс (Karl Friedriсh Gauss, 1777—1855) —
выдающийся немецкий математик, астроном, геодезист. Разработал метод наименьших квадратов (1820), закон распределения ошибок при точных наблюдениях в геодезии, астрономии (закон Гаусса).
45
Теория вероятностей и математическая статистика
Главная особенность закона нормального распределения заключается в том, что закон
нормального распределения является предельным законом распределения суммы достаточно большого числа независимых (слабо зависимых) случайных
величин, |
подчиненных |
любым |
законам |
распределения, при соблюдении некоторых не очень жестких ограничений.
46
Теория вероятностей и математическая статистика
11.1. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
= − − /
Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
47
Теория вероятностей и математическая статистика
= − − /
Вероятностный смысл этих параметров таков:
а — математическое ожидание нормального распределения,
— среднее квадратическое отклонение
нормального распределения.
48
Теория вероятностей и математическая статистика
Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ( >0).
Нормированным или стандартным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и =1.
Плотность нормированного (стандартного) нормального распределения
= − /
49
Теория вероятностей и математическая статистика
11.2. Нормальная кривая
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем функцию
= 12 − − 2/22.
50