1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_11_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Данная функция определена на всей оси х.
а
Нормальная плотность вероятности (кривая Гаусса)
51
Теория вероятностей и математическая статистика
а
Нормальная плотность вероятности (кривая Гаусса)
52
Теория вероятностей и математическая статистика
2.При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.
3.Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен
нулю: =0, т.е.
| |→∞
ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.
53
Теория вероятностей и математическая статистика
4 . Исследуем функцию f(x) на экстремум. Найдем первую
производную:
′ = − − − − 2/(22).3 2
Легко видеть, что у'=0 при х = а, у'>0 при х<а, у' <0 при х> а.
Следовательно, при х = а функция f(x)* имеет максимум, равный 1/( ).
54
Теория вероятностей и математическая статистика
5. Разность x—а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате*, т. е. график функции
симметричен относительно прямой х = а.
а
55
Теория вероятностей и математическая статистика
6. Исследуем функцию f(x) на точки перегиба. Найдем вторую производную:
′′ = − |
|
1 |
− − 2/(22) 1 − |
( − )2 |
. |
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
2 |
|
Легко видеть, что при х = а + и х = а - вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1/( 2 )*).
Таким образом, точки графика (а - , 1/( )) и (а +, 1/( )) являются точками перегиба.
56
Теория вероятностей и математическая статистика
На верхнем рисунке изображена нормальная кривая при а = 1 и = 2. Ниже показана нормальная функция распределения.
f(x)
1
2
1
1 |
57 |
|
|
|
|
Теория вероятностей и математическая статистика
11.3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
Рассмотрим, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и .
Известно, что графики функций f(х) и f(x-а) имеют одинаковую форму; только график функции f(х-a) сдвинут в положительном направлении оси х на а единиц масштаба при а > 0, или в отрицательном направлении при а < 0.
Т.е. изменение величины параметра а
(математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси х.
58
Теория вероятностей и математическая статистика
а1 |
|
а2 |
|
а3 |
Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси х.
59
Теория вероятностей и математическая статистика
По иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение).
Как известно, максимум дифференциальной
функции нормального распределения равен
1/( ).
С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох.
При убывании нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.
60