Методы математической физки Меркулов

лости колебаний означает, что величиной 2 можно пренебречь. Разложим функции sin ; tg ; cos по формуле Тейлора первого порядка:

sin = + o( ); tg = + o( ); cos = 1 + o( ):

При сделанном предположении sin tg = @u@x и cos 1.

2. На любой выбранный участок струны действуют упругие силы на-

приложенные к концам выбранного участка, направлены по

тяжения. Выделим на струне произвольный малый участок [AB](рис. 3.1). Его проекция на ось 0x есть [x; x + x]. Будем считать, что упругие силы, касательной к

g

j~ j j~ j

графику u(x; t), их модули T (x; t) = T (x + x; t) = T и не зависят от x и t.

При изучении малых поперечных колебаний струны такое предположение допустимо. Обозначим 1 и 2 углы, которые образуют касательные, проведенные в точках A и B соответственно к графику струны в момент времени t, с осью 0x. По условию все точки струны движутся параллельно оси 0u. Значит, силы, действующие на участок [ABg], таковы, что сумма их проекций на ось 0x должна быть равна нулю:

j~ j

Поскольку cos 1 cos 2 1, то можно считать, что T (x; t) = T = const. 3. В положении равновесия масса участка струны [x; x + x] равнаx, где – линейная плотность струны. Считаем, что в процессе колеба-

ний масса этого участка не меняется и масса [AB] тоже равна x.

рывно распределенные внешние силы, перпендикулярные оси 0x. Плотность распределения этих сил, рассчитанную на единицу длины, обозначим

g

расположенные справа и слева от него. Воздействие отброшенных частей струны заменим соответствующими силами натяжения. Тогда выделенный

80

участок можно рассматривать как материальную точку, которая находится

Сокращая на x, получим уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны

одномерным волновым уравнением, или уравнением Даламбера.

Если f(x; t) = 0, уравнение (3.1) называется однородным. Оно описывает свободные колебания струны без воздействия внешних сил.

В случае f(x; t) 6= 0 уравнение называется неоднородным и описывает вынужденные колебания струны. В частности, вынужденные колебания могут происходить под действием силы тяжести. Если же натяжение струны T велико и на нее действует только сила тяжести, действием последней обычно пренебрегают и считают, что струна совершает свободные колебания.

81

Отметим, что многие физические задачи приводят к полученному волновому уравнению. Точно так же выглядит уравнение продольных колебаний тонкого упругого стержня. Функция u(x; t) при изучении таких колебаний описывает продольные смещения точек стержня, имеющих в поло-

жении равновесия абсциссу x. В уравнении (3.1) в этом случае a2 = E ,

f(x; t) = g(x; t), где E – модуль Юнга; g(x; t) – функция, описывающая

плотность сил, действующих вдоль оси стержня. Вывод уравнения подробно описан в [9]. Кроме того, уравнение (3.1) совпадает с уравнением крутильных колебаний вала. Подобные уравнения появляются при изучении электрических колебаний и во многих других случаях. Меняется только физический смысл функций и коэффициентов, входящих в уравнение.

В случае двух или трех пространственных переменных волновое уравнение имеет вид

где – оператор Лапласа; u и f – функции пространственных переменных и времени.

Двумерное волновое уравнение получается, например, при изучении поперечных колебаний мембраны. Если мембрана прямоугольная, то уравнение записывается в декартовой системе координат:

Трехмерное волновое уравнение возникает, например, в задачах, связанных с изучением колебаний газа, находящегося в ограниченном объеме, в задачах распространения акустических волн и во многих других. В декартовой системе координат это уравнение записывается следующим образом:

3.2. Постановка начальных и краевых условий

Волновое уравнение имеет бесчисленное множество решений. Для однозначного описания колебательного процесса на функцию u следует на-

82

ложить дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи. Дополнительные условия – это начальное и краевые условия для функции u.

Покажем как ставятся эти условия при изучении поперечных колебаний струны.

Начальные условия обычно задают в момент времени t = 0. Условия описывают начальное положение точек струны и ее начальную скорость:

где '(x) и (x) – заданные функции.

Граничные условия показывают, что происходит на концах струны в течение всего времени колебаний. Предположим, что струна имеет конечную длину l (0 x l).

1. Если концевые точки струны движутся по определенному закону, то краевые условия имеют вид

u(0; t) = !1(t); u(l; t) = !2(t):

В частности, если концы струны закреплены, то для любого момента времени t

u(0; t) = 0; u(l; t) = 0:

2. Граничные условия можно задать следующим образом:

Это соответствует случаю, когда известен закон изменения касательных в концевых точках струны. Если h1(t) = 0 и h2(t) = 0, то в концевых точках для любого t 0 струна имеет касательные, параллельные оси 0x.

3. В случае упругого закрепления концов стержня краевые условия записывают в виде

где u0(t) и ul(t) – заданные функции.

Все рассмотренные краевые условия являются линейными и описываются уравнениями

При R1 = 0, R2 = 0 – это краевые условия первого рода, или условия Дирихле. При S1 = 0, S2 = 0 – условия второго рода, или условия Неймана, а при R1S1 6= 0, R2S2 6= 0 – условия третьего рода.

83

где P и Q – произвольные дважды дифференцируемые функции. Введем новые переменные = x at и = x + at и запишем волновое уравнение (3.3) в новых переменных. Используя правило дифференцирования сложной функции, выразим производные функции u(x; t) по x и t через производные по и :

слагаемые и сократим на ( 4a2). Тогда в новых переменных уравнение запишется в виде

@2u

@ @

= 0;

или

@@u = 0: @ @

Из этого следует, что

@u = f( ); @

где f( ) – некоторая функция. Интегрируя последнее равенство, получим

Z

u = f( )d + Q( );

где Q( ) – произвольная функция.

Z

Обозначим P ( ) = f( )d и подставим вместо и их выражения

через x и t. В итоге получим равенство (3.4).

Функции P (x at) и Q(x + at) называются волнами отклонения. Название функций связано с их свойствами. Построим графики этих функций при t = 0: y = P (x) и y = Q(x). График функции y = P (x at) получается параллельным переносом графика функции y = P (x) на at единиц вправо (a > 0). Соответственно, график функции y = Q(x+at) получается параллельным переносом графика y = Q(x) на at единиц влево. Таким образом, при непрерывном изменении t происходит перемещение графика функции y = P (x) вправо (рис. 3.2), а графика функции y = Q(x) влево (рис. 3.3).

Для того чтобы решить поставленную задачу Коши, следует, пользуясь начальными условиями, определить неизвестные функции P и Q.

85

86

Заметим, что

Тогда функцию u(x; t), являющуюся решением поставленной задачи, можно представить в виде

x at

Полученное равенство называется формулой Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний бесконечной струны.

Найденное решение представляет собой сумму двух волн P (x at) и

r

Q(x + at). Одна волна “бежит” вправо, другая – влево. Число a = T в

уравнении колебаний струны называется скоростью распространения волны.

Функция u(x; t), полученная методом Даламбера, будет решением поставленной задачи при условии, что функция '(x) дважды дифференцируема, а функция (x) дифференцируема один раз. В некоторых задачах '(x) и (x) не имеют нужных производных. Например, если струна в начальный момент времени имеет форму ломаной линии (рис. 3.4). В таких случаях считают, что формула Даламбера также дает решение задачи, хотя при этом функция u(x; t) не всюду дважды дифференцируема. Такое решение называют обобщенным решением задачи.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода Даламбера.

Пример 3.1. Решить задачу Коши для уравнения колебаний неограниченной струны:

x at

87

u(x; t) = '(x at) + '(x + at):

2

Функция u(x; t) в этом случае представляет собой сумму двух волн откло-

88