Методы математической физки Меркулов

Последнее равенство распишем по дифференциальному биному, учитывая, что (m + 1)-я производная от многочлена степени m равна нулю:

(x2 1) (x2 1)n (n+2)+(n+1)2x (x2 1)n (n+1)+(n + 1)n 2 (x2 1)n (n) = 2!

= 2nx (x2 1)n (n+1) + 2n(n + 1) (x2 1)n (n) ;

или после приведения подобных

(x2 1) (x2 1)n (n+2) + 2x (x2 1)n (n+1) n(n + 1) (x2 1)n (n) = 0:

Доказательство. Распишем Q(x), используя формулу дифференциального бинома (1.32):

Q(x) = [(x 1)n(x + 1)n](m) =

= ((x 1)n)(m) (x+1)n+Cn1 ((x 1)n)(m 1) ((x+1)n)0+:::+(x 1)n ((x + 1)n)(m) :

Так как m < n, все слагаемые этого выражения содержат множители (x 1) и (x + 1) и, следовательно, Q( 1) = Q(1) = 0.

Найдем теперь норму собственной функции Pn(x):

Применим формулу интегрирования по частям:

1 kPnk2 = (2n1n!) (x2 1)n (n) (x2 1)n (n 1) 1

30

Согласно утверждению 1.8 первое слагаемое равно нулю, а интеграл опять преобразуем по частям и т. д., пока не получим

Последний интеграл снова возьмем по частям:

ZZ

(x2 1)ndx = (x 1)n(x + 1)ndx =

Таким образом, любую функцию f 2 L2[ 1; 1] можно разложить в ряд Фурье по многочленам Лежандра

1

X

f(x) = cnPn(x);

n=0

где коэффициент Фурье вычисляется по формуле

Отметим еще несколько свойств многочленов Лежандра, которые являются общими для любых систем ортогональных многочленов.

31

Утверждение 1.9. Пусть Q(x) – произвольный многочлен степени

Доказательство. Этот факт очевидным образом следует из того, что система P0(x), ..., Pn(x) ортогональна и, следовательно, линейно независима, а потому ее можно принять за базис линейного пространства многочленов степени не выше n. Поскольку многочлены ортогональны, то коэф-

фициенты разложения k вычисляются по формулам k = (Qn; Pk).

Утверждение 1.10. Пусть Pn(x) – многочлен Лежандра, Qm(x) – произвольный многочлен степени m < n. Тогда Pn и Qm ортогональны.

Утверждение 1.11. Все корни многочлена Лежандра простые и лежат в интервале ( 1; 1).

Доказательство. Обозначим через x1; x2; :::; xm 2 ( 1; 1) точки, где многочлен Pn(x) меняет знак, и предположим, что m < n. Тогда многочлен Qm(x) = (x x1)(x x2):::(x xm) меняет знак в тех же точках и произведение Qm(x)Pn(x) на промежутке [ 1; 1] знак не меняет. А тогда

1

Z

(Qm; Pn) = Qm(x)Pn(x)dx 6= 0;

1

что противоречит утверждению 1.8 . Для многочленов Лежандра выполняются рекуррентные соотноше-

Вывод этих формул можно найти, например, в [7] или [8].

32

1.8. Присоединенные функции Лежандра

Присоединенной функцией Лежандра степени n порядка k называется функция вида

Pnk(x) = (1 x2)k=2Pn(k)(x); k = 0; 1; :::; n = k; k + 1; :::;

где Pn(x) – многочлен Лежандра. Заметим, что для четных k функция

= n(n + 1)Pn(k):

После приведения подобных получаем

(x2 1)(Pn(k))00 + 2(k + 1)x(Pn(k))0 + k(k + 1)Pn(k) = n(n + 1)Pn(k):

Утверждение 1.13. Присоединенная функция Лежандра Pnk(x) удовлетворяет уравнению

33

Доказательство. Сделаем в уравнении замену y = (1 x2)k=2z. Найдем из этого равенства y0 и y00 и, подставив в (1.37), после преобразований получим

(1 x2)z00 + 2(k + 1)xz0 + k(k + 1)z = n(n + 1)z;

т. е. уравнение (1.36).

Если к уравнению (1.38) добавить однородные краевые условия: y(x) огра-

Внеинтегральное слагаемое очевидно равно нулю, поэтому

34

Согласно формуле (1.36) Pn(k 1) будет удовлетворять уравнению

00 0

(1 x2) Pn(k 1)(x) + 2kx Pn(k 1)(x) + (k 1)kPn(k 1)(x) =

= n(n + 1)Pn(k 1)(x):

Отсюда

(1 x2)Pn(k+1)(x) + 2kxPn(k)(x) = (n2 + n k2 + k)Pn(k 1)(x):

Подставив полученное соотношение в (1.40), получаем

1

Z

(Pnk; Pmk ) = (n2 + n k2 + k) Pn(k 1)(x)Pm(k 1)(x)(1 x2)k 1dx =

1

= (n k + 1)(n + k)(Pnk 1; Pmk 1):

Заметим, что в формуле (1.39) коэффициент не зависит от m. Это совершенно естественно, если вспомнить, что при m 6= n скалярное произведение (Pmk ; Pnk) = 0. При n = m имеем

kPnkk2 = (Pnk; Pnk) = (n k + 1)(n + k)(Pnk 1; Pnk 1) =

=(n k + 1)(n + k)(n k + 2)(n + k 1)(Pnk 2; Pnk 2) = ::: =

=(n + k)(n + k 1):::(n + 1)(n k + 1)(n k + 2):::n(Pn0; Pn0):

Учитывая, что Pn0(x) = Pn(x), и формулу (1.33), получим

Для фиксированного значения k набор fPnkg+n=1k образует полную ортогональную систему в пространстве L2[ 1; 1]. Любую функцию f 2 L2[ 1; 1] можно разложить в ряд Фурье по присоединенным функциям Лежандра

35

1.9. Решение краевой задачи методом конечных разностей

Впредыдущих параграфах было получено решение краевой задачи

ввиде аналитического выражения или в виде ряда. Теперь рассмотрим численный метод решения краевых задач, который называется методом конечных разностей, или методом сеток.

Пусть отрезок [a; b] разбит на n частей. Введем шаг сетки h = b n a,

точки x0 = a, x1 = x0 +h, x2 = x0 +2h, ..., xn = x0 +nh = b назовем узлами сетки, а само множество узлов !h = fxkg (k = 0; :::; n) – сеткой. Если на отрезке задана непрерывная функция y(x), то функцию fyk = y(xk)gnk=0 естественно называть сеточным аналогом функции y(x). Для аппроксимации производных функции в узлах сетки будем рассматривать разностные отношения (линейные комбинации значений сеточной функции в нескольких узлах сетки). Из геометрических соображений понятно, что производную функции в узле xk можно аппроксимировать следующим образом:

Первое из этих выражений принято называть разностным отношением “вперед”, и его можно использовать в узлах x0, x1, ..., xn 1, второе – разностное отношение “назад” подходит для узлов x1, x2, ..., xn. Найдем связь между производными дифференцируемой функции y(x) и ее сеточным аналогом.

Утверждение 1.15. Пусть y 2 C[2a;b], тогда справедливы оценки

Доказательство. В узле xk запишем формулу Тейлора первого порядка с остатком в форме Лагранжа

y(x) = y(xk) + y0(xk)(x xk) + 12 y00(~x)(x xk)2;

где x~ 2 [xk; xk+1]. Положим x = xk+1, тогда xk+1 xk = h и y(xk+1) = y(xk) + y0(xk)h + 12 y00(~x)h2;

36

Отметим принципиальный момент. Для того чтобы аппроксимировать первую производную функции разностным отношением, нужно, чтобы функция y(x) была дважды дифференцируемой. Для аппроксимации первой производной y0(xk) можно использовать и другие выражения, например симметричную разность (yk+1 yk 1)=2h.

Утверждение 1.16. Пусть y 2 C[3a;b], тогда справедлива оценка

37

Утверждение 1.17. Пусть y 2 C[4a;b], тогда справедлива оценка

вформе Лагранжа

y(x) = y(xk) + y0(xk)(x xk) + 12 y00(xk)(x xk)2 + 16 y000(xk)(x xk)3 +

+ 241 y(4)(~x)(x xk)4:

Подставив xk+1 и xk 1 вместо x, соответственно, получим:

y(xk+1) = y(xk) + y0(xk)h + 12 y00(xk)h2 + 16 y000(xk)h3 + 241 y(4)(~x)h4;

мум M4, получим нужную оценку. Из полученных равенств (1.41)–(1.43) следует, что соответствующее разностное отношение аппроксимирует производную в узле xk с погрешностью, которая ведет себя как произведение ограниченной функции на hm (m зависит от вида разностного отношения). Для описания таких погрешностей удобно использовать символ O(hm). Опираясь на определение, известное из курса математического анализа, поясним смысл этого символа. Символом O(hm) в точке xk обозначается любая функция, которая в окрестности точки xk ведет себя как произведение ограниченной функции на hm, где h = xk+1 xk или h = xk xk 1. Использование этого символа позволит однотипно описывать погрешности аппроксимации во всех точках сетки !h. Кроме того, при решении сеточных задач важно видеть,

38