Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Методы математической физки Меркулов

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

865.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1717

когда пересечение примыкающих треугольников есть. В последующих формулах нумерация треугольников выбрана согласно рис. 5.2. Очевидно, что

площади всех треугольников равны 12 hxhy:

( 'ki; 'ki) = ZZ @@xki @@xki +

@@yki @@yki dx dy =

= ZZ

dx dy +

+ ZZ

+ hy

#dx dy +

dx dy + ZZ " hx

+ ZZ

III

" hx

#dx dy =

dx dy + ZZ

= 2

;

( 'k i+1; 'ki) = ZZ

dx dy =

@'k i+1

@'ki

@'k i+1

@'ki

ZZ	hx			hy hy
=		1	0 +	1	1

	ZZ hx		hy hy				hy
dx dy +	0	1	+	1	1	dx dy =		hx	;

I VI

( 'k+1 i+1; 'ki) = ZZ

dx dy =

@'k+1 i+1 @'ki

0 + 0

dx dy +

0 dx dy = 0:

Аналогично вычисляем

( 'k+1 i;

'ki) =

; ( 'k i 1; 'ki) =

;

( 'k 1 i 1; 'ki) = 0; ( 'k 1 i; 'ki) =	hy	:
	hx
Интеграл в правой части уравнения обозначим
fki = (f; 'ki) = ZZ f'ki dx dy:
P

160

Таким образом, уравнение с номером (ki) примет вид

uk i 1

uk 1 i + 2

uki

uk+1 i

uk i+1

= fki:

Тогда систему линейных уравнений (5.20) можно переписать в виде

82 hy	+ hx	u11	hx	u21	::: hy u12 ::: = f11;
hx	hy		hy		hx

> hx u11 + 2

+ hx

u21 hx

u31 ::: hy u22::: = f21;

(5.22)

< . .

. .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hx un 1 m 2

:::

hy un 2 m 1+2 hx + hy

un 1 m

1 =fn 1 m

> hy

Матрица системы (5.22) имеет такую же блочно-трехдиагональную структуру, как в системе метода конечных разностей. Более того, если все уравнения системы (5.22) умножить на hxhy, то матрицы систем просто совпадут. Только в отличие от метода конечных разностей в правых частях уравнения стоит не значение функции f(x; y) в узле сетки, а некоторое усреднение по шести треугольникам, примыкающим к узлу. Основные преимущества метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей проявляются при решении задач в областях сложной формы. Если необходимо использовать нерегулярную сетку (значения hx и hy меняются от шага к шагу), то формулы аппроксимации производных значительно усложняются, если же необходима непрямоугольная сетка, то построение разностных отношений просто невозможно. В методе конечных элементов коэффициенты линейных уравнений есть интегралы по некоторым треугольникам, и при любой форме треугольника их вычисление не вызовет принципиальных трудностей.

Список литературы

1.Меркулов А. Л., Трегуб В. Л., Червинская Н. М. Задачи и упражнения по математической физике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2014.

2.Очан Ю. С. Методы математической физики. М.: Высш. шк., 1965.

3.Бодунов Н. А., Пилюгин С. Ю. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2011.

4.Боревич Е. З., Фролова Е. В., Челкак С. И. Ряды Фурье: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2010.

5. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица

иИ. Стиган. М.: Наука, 1979.

6.Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций: в 2 ч. Ч. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1949.

7.Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.

8.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.

9.Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969.

10.Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2002.

11.Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматлит, 1962.

12.Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979.

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . .4 1.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2. Оператор Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Задача Штурма–Лиувилля для оператора y00 . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Решение краевой задачи для обыкновенного

дифференциального уравнения методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Уравнение Бесселя. Функция Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 1.6. Задача на собственные значения для оператора Бесселя . . . . . . .25 1.7. Оператор Лежандра. Многочлены Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8. Присоединенные функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9. Решение краевой задачи методом конечных разностей . . . . . . . . .36 2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1. Вывод одномерного уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . .43 2.2. Постановка начально-краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности

методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 2.5. Решение уравнения теплопроводности для бесконечного

однородного стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6. Метод сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ. ВОЛНОВОЕ

УРАВНЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 3.1. Уравнение колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 3.2. Постановка начальных и краевых условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера . . . . . . . . . . . . 84 3.4. Колебания полубесконечной струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 3.5. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1 Определения. Постановка краевой задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 4.3. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4. Свойства гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5. Теоремы единственности для уравнений Лапласа и Пуассона 110 4.6. Метод Фурье для уравнений Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . 112

4.7.Задача на собственные значения для оператора Лапласа . . . . . 116

4.8.Решение задач разложением по собственным функциям

оператора Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.9. Метод функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

163

4.10. Метод сеток для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.11. Классификация уравнений второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.12. Корректные и некорректные задачи для уравнения

Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . 145 5.1. Задача о минимуме функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.Задача о минимуме функционала в многомерном случае . . . . . 150

5.3.Решение задачи о минимуме функционала методом Ритца . . . 152

5.4. Понятие о методе Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.5. Пример решения уравнения Пуассона методом конечных

элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Меркулов Александр Львович, Трегуб Вера Леонидовна, Червинская Нина Михайловна

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие

Редактор Э. К. Долгатов

Подписано в печать 12.07.16. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Гарнитура “Times New Romen”. Печ. л. 10,25.

Тираж 143 экз. Заказ

Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1717

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.05.2022528.91 Кб1Второй типовик.jpg
#
28.05.2022865.91 Кб131Методы математической физки Меркулов.pdf