Методы математической физки Меркулов

2. Предположим, что u(x; t) 6const. Для определенности будем доказывать теорему для наибольшего значения. Для доказательства применим метод “от противного”. Пусть M – наибольшее значение, которое принимает функция u(x; t) на границе области (т. е. при t = 0, x = 0, x = l). Допустим, что во внутренних точках области функция u(x; t) может принимать значения, большие чем M. Пусть (x0; t0) – это точка, в которой u(x; t) достигает своего максимального значения, равного M + " (" > 0), причем 0 < x0 < l, 0 < t0 T . Так как (x0; t0) – точка максимума функции u(x; t),

Функция u(x; t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. Сравним знаки правой и левой частей уравнения теплопроводности в точке (x0; t0). Согласно неравенствам (2.15) правая и левая части могут одновременно быть равны нулю. Противоречие в точке (x0; t0) не получено. Покажем, что внутри области найдется такая точка (x1; t1), в которой

Рассмотрим вспомогательную функцию

v(x; t) = u(x; t) + 2" t0 T t:

Очевидно, что в точке (x0; t0)

v(x0; t0) = u(x0; t0) = M + ";

а на границе (при t = 0, x = 0, x = l)

Функция v(x; t) непрерывна, поэтому в некоторой точке она достигает своего максимального значения. Пусть это значение достигается в точке (x1; t1):

v(x1; t1) v(x0; t0) = M + ":

При этом 0 < x1 < l, 0 < t1 T . Точка (x1; t1) не может лежать на границе, так как для граничных точек выполняется условие (2.16). Поскольку точка

60

Таким образом, в точке (x1; t1) функция u(x; t) не удовлетворяет уравнению теплопроводности. Получено противоречие, а значит, теорема доказана.

Следствием принципа максимума (минимума) является теорема единственности. Докажем ее для первой краевой задачи.

Утверждение 2.2. Решение начально-краевой задачи

u(x; 0) = g(x);

u(0; t) = '(t); u(l; t) = (t)

единственно.

Доказательство. Пусть есть 2 решения задачи u1(x; t) и u2(x; t). Рассмотрим функцию v(x; t) = u1(x; t) u2(x; t). Эта функция определена и непрерывна при 0 x l, 0 t T и удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности, а значит, согласно принципу максимума, достигает своего максимального значения на границе области, т. е. при t = 0, x = 0, x = l. Используя начальное и краевые условия, получим для функции v(x; t):

v(x; 0) = 0; v(0; t) = 0; v(l; t) = 0:

Следовательно, v(x; t) 0, а значит,

u1(x; t) u2(x; t):

61

Решением первого дифференциального уравнения будет функция

T (t) = C( )e a2 2t:

Если в показателе степени экспоненты оставить знак плюс, то получится функция, которая будет неограниченно расти при увеличении t. Поэтому в полученном равенстве следует оставить только знак минус (т. е. выбранная постоянная равна ( 2)). Тогда для функции X(x) получится уравнение

X00(x) = 2X(x):

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

X(x) = C1 cos( x) + C2 sin( x):

В общем случае C1 и C2 зависят от , а следовательно, являются функциями :

C1 = C1( ); C2 = C2( ):

Тогда частные решения уравнения (2.17) можно представить в виде

u (x; t) = (A( ) cos( x) + B( ) sin( x))e a2 2t;

где A( ) = C( )C1( ), B( ) = C( )C2( ). Так как может принимать любые значения от 1 до +1, общее решение уравнения (2.17) будем искать в виде

ZZ

u(x; t) = u (x; t)d = (A( ) cos( x) + B( ) sin( x))e a2 2td : (2.19)

1 1

Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что эта функция удовлетворяет уравнению (2.17). Подберем функции A( ) и B( ) так, чтобы для нее выполнялось начальное условие. При t = 0 получим

+1

Z

u(x; 0) = (A( ) cos( x) + B( ) sin( x))d = f(x):

1

Так как для функции f(x) выполняется условие (2.18), ее можно представить в виде повторного интеграла Фурье

Поскольку cos( (x )) = cos( x) cos( ) + sin( x) sin( ), получим ра-

венство

+1

Z

(A( ) cos( x) + B( ) sin( x))d =

1

63

Сравнивая правую и левую части, приходим к следующим формулам:

+1

Z

A( ) = 1 f( ) cos( )d ; 2

1

+1

Z

B( ) = 1 f( ) sin( )d : 2

1

Заметим, что при выполнении условия (2.18) для функции f(x) функции A( ) и B( ) ограничены:

Эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, а значит, является решением поставленной задачи.

Преобразуем полученное решение. Если поменять порядок интегрирования, то

Внутренний интеграл не зависит от функции f(x).

64

Обозначим

+1

Z

I(!) = e 2 cos(!)d

1

и найдем I(!). При ! = 0 получается интеграл Пуассона

+1

I(0) = Z e 2 = p :

1

Вычислим производную I0(!), используя правило дифференцирования под знаком интеграла по параметру

+1

Z

I0(!) = e 2 sin(!)d :

1

Применяя правило интегрирования по частям, получим:

Относительно функции I(!) получается дифференциальное уравнение

I0(!) = !2 I(!) с разделяющимися переменными. Решением этого уравнения является функция

65

Значит, решение поставленной задачи (2.17) можно представить в виде

2.6. Метод сеток

Метод сеток является универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений. Суть метода заключается в следующем. Область, в которой искомая функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, определена и непрерывна, покрывается сеткой, т. е. заменяется конечным множеством точек, называемых узлами сетки. Все функции, входящие в дифференциальное уравнение, рассматриваются только в узлах сетки и называются сеточными функциями. При этом производные функций в уравнении, начальном и краевых условиях заменяются соответствующими разностными отношениями. В итоге, вместо краевой задачи для дифференциального уравнения получается система алгебраических уравнений. Метод применяется в том случае, если при увеличении числа узлов сетки решение сеточной задачи сходится к решению исходной задачи для дифференциального уравнения. Естественно, при этом встают вопросы о скорости сходимости, точности и устойчивости разностной схемы.

Покажем, как применяется метод сеток для решения начально-крае- вой задачи для одномерного уравнения теплопроводности. Пусть требуется найти решение уравнения теплопроводности

Предположим, что переменная t меняется в пределах 0 t T . Область, в которой находится решение задачи, – прямоугольник= [0; l] [0; T ]. Покроем эту область сеткой. Для этого отрезок [0; l] разобьем точками x0, x1, ..., xn на n частей. Для простоты будем считать, что

66

расстояние h между точками одинаковое: h = xi+1 xi = nl (i = 0; :::; n). Аналогично, отрезок [0; T ] разобьем на m частей точками t0, t1, ..., tm, при этом расстояние между точками будет = tj+1 tj = mT (j = 0; :::; m)

(рис. 2.2).

t

t m= T

t j

Рис. 2.2

Множество точек плоскости !h = f(xi; tj)g, i = 0; :::; n, j = 0; :::; m, называется сеткой, покрывающей область . Точки плоскости (xi; tj) – это узлы сетки. При фиксированном j совокупность узлов сетки (xi; tj), i = 0; :::; n, называется j-м временным слоем. Будем считать, что функции f(x; t), '(x), g1(t), g2(t) из условия задачи определены только в узлах сетки.

Непрерывной в области функции u(x; t) поставим в соответствие

сеточную функцию u(xi; tj) = uji .

Заданное дифференциальное уравнение, начальное и краевые условия запишем в узлах сетки. При этом каждую производную заменим разностным отношением, связывающим значения сеточной функции в несколь-

ких узлах сетки. Производную по времени @u@t в узле сетки (xi; tj) можно заменить разностным выражением различными способами. Простейшими

67

определить, если известны значения u~ji на j-м временном слое. Для этого полученные уравнения преобразуем к виду, удобному для вычислений:

уравнения теплопроводности. Исследование сходимости проведем для задачи (2.20),(2.21), когда искомая функция u(x; t) удовлетворяет краевым условиям первого рода

u(0; t) = g1(t); u(l; t) = g2(t):

Разностная схема в этом случае примет вид

>

>

>

>

>

>

:

u~0i = '(xi); i = 0; :::; n:

Сеточной нормой функции называется максимальное значение модуля

69