Методы математической физки Меркулов

Пусть y(x) – решение уравнения L(y) = f, тогда

J(y + v) = J(y) + 2(L(v); v):

Оператор L – положительно-определенный, т. е. (L(v); v) > 0 для любой функции v(x) 6= 0 (kvk > 0). Следовательно, J(y + v) > J(y), т. е. на функции y функционал J достигает минимума.

Обратное утверждение: пусть J(y) – минимальное значение функционала. Тогда при любом должно выполняться неравенство

2 (L(y) f; v) + 2(L(v); v) > 0:

Но при изменении знака левая часть неравенства будет менять знак, если только (L(y) f; v) 6= 0. Следовательно, для произвольной функции v скалярное произведение (L(y) f; v) = 0. Это возможно только, если

L(y) = f. К доказательству теоремы следует сделать одно принципиальное замечание. Дело в том, что области определения дифференциального оператора L(y) и функционала J(y) не совпадают. Функционал J(y) определен на функциях, имеющих первую производную и удовлетворяющих краевым условиям. Решение же дифференциального уравнения L(y) = f должно быть дважды дифференцируемым. В случае, когда функция y(x), минимизирующая функционал, дважды дифференцируема, она является и решением уравнения L(y) = f в обычном смысле, и такое решение принято

называть классическим решением уравнения.

Если же у функции y(x) непрерывна только первая производная, y(x) называют обобщенным решением уравнения L(y) = f.

5.2. Задача о минимуме функционала в многомерном случае

Пусть u(x; y) – дифференцируемая функция двух переменных, удовлетворяющая на границе области краевым условиям Дирихле. Введем в рассмотрение функционал

ZZ

J(u) = F (x; y; u; u0x; u0y)dx dy: (5.5)

Требуется найти функцию u0(x; y), на которой функционал (5.5) достигает минимального значения. По аналогии с одномерной задачей напишем для функционала (5.5) уравнение Эйлера

Аккуратный вывод уравнения (5.6) см., например, в [10].

150

Решением уравнения Эйлера и будет функция, обеспечивающая минимум функционала (5.5).

Пример 5.5. Рассмотрим функционал

Как и в одномерном случае, если L(u) – симметричный положительноопределенный оператор, то решение операторного уравнения L(u) = f эк-

симметричным и положительно-определенным. К уравнению (5.8) добавим

151

где ~n – внешняя нормаль к границе . С учетом краевых условий имеем

т. е. получили тот же функционал (5.7).

5.3.Решение задачи о минимуме функционала методом Ритца

В предыдущих параграфах было показано, что задача нахождения минимума функционала эквивалентна решению краевой задачи для дифференциального уравнения Эйлера. Однако существуют методы нахождения минимума, не использующие уравнение Эйлера. Их принято называть прямыми. Более того, в ряде случаев от исходной краевой задачи переходят к задаче поиска минимума функционала. Именно такую задачу и рассмотрим.

Пусть L(u) – симметричный положительно-определенный оператор. Поставим краевую задачу Дирихле

где – граница области . Решение этой задачи будем искать как минимум функционала

Область определения функционала D(J) состоит из дифференцируемых в

функций, удовлетворяющих краевым условиям u = 0. Возьмем линейно независимый набор функций f'kgnk=1; 'k 2 D(J), и рассмотрим множество линейных комбинаций f 1'1 + 2'2 + ::: + n'ng = Dn. Множество Dn является подпространством линейного пространства D(J), а функции '1, ..., 'n будут базисом этого подпространства. Любой элемент u 2 Dn однозначно определяется набором коэффициентов 1, ..., n – координатами u в базисе '1, ..., 'n.

Найдем минимум функционала J(u) на множестве Dn, т. е. найдем та-

152

кой набор коэффициентов 1, ..., n, который обеспечит минимум функции

( 1; 2; :::; n) = J( 1'1 + 2'2 + ::: + n'n) =

=(L( 1'1 + ::: + n'n); 1'1 + ::: + n'n) 2(f; 1'1 + ::: + n'n) =

=21(L('1); '1) + 1 2(L('1); '2) + ::: + 1 n(L('1); 'n) +

+ 2 1(L('2); '1) + 22(L('2); '2) + ::: + 2 n(L('2); 'n) +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 1(f;'1) 2 2(f; '2) ::: 2 n(f; 'n):

@ , k = 1; 2; :::; n, и приравня-

@ k

ем их нулю. При этом учитываем, что оператор L симметричный, т. е. (L('k); 'm) = ('k; L('m)). В итоге получится система линейных уравнений

>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

>

: 1(L('1); 'n) + 2(L('2); 'n) + ::: + n(L('n); 'n) = (f; 'n):

Покажем, что система (5.11) однозначно разрешима. Для этого рассмотрим соответствующую однородную систему и предположим, что она имеет нетривиальное решение 1, 2, ..., n, т. е. выполняются равенства

В силу линейности скалярного произведения и оператора L имеем

(L( 1'1 + 2'2 + ::: + n'n); '1) = 0; (L( 1'1 + 2'2 + ::: + n'n); '2) = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(L( 1'1 + 2'2 + ::: + n'n); 'n) = 0:

Умножим первое равенство на 1, второе – на 2 и т. д., затем сложим и получим

(L( 1'1 + 2'2 + ::: + n'n); 1'1 + 2'2 + ::: + n'n) = 0:

Так как оператор L – положительно-определенный (т. е. 8u, u 6= 0,

(L(u); u) > 0), то 1'1 + 2'2 + ::: + n'n = 0. Полученное равенство противоречит условию линейной независимости '1, '2, ..., 'n. Следова-

тельно, однородная система имеет только тривиальное решение, а значит,

153

система (5.11) разрешима единственным образом. Решив систему (5.11), получим элемент un = 1'1 + 2'2 + ::: + n'n, который можно рассматривать как приближенное решение задачи о минимуме функционала (5.10), а также как приближение обобщенного решения краевой задачи (5.9). Если расширить систему базисных функций '1, '2, ..., 'n, 'n+1, ..., 'n1 и найти элемент un1 , обеспечивающий минимум функционала на множестве

Dn1 = f 1'1 + ::: + n1 'n1 g, то J(un1 ) J(un). Минимум функционала не может увеличиться, потому что un 2 Dn1 . Затем можно еще добавить ба-

зисных функций, получить un2 и т. д. Получится последовательность приближенных решений un, un1 , un2 , ... .

Доказательство сходимости последовательности к точному решению задачи выходит за рамки настоящего пособия, его можно найти, например, в [11].

Описанный метод построения последовательности приближенных решений называется методом Ритца.

Отметим, что в методе Ритца от базисных функций 'k требуется наличие только первых производных.

Пусть оператор L имеет вид

L(y) = (p(x)y0)0 + q(x)y;

функция y(x) задана на промежутке [a; b] и удовлетворяет краевым условиям y(a) = y(b) = 0. Тогда скалярное произведение

b

Z

(L('k); 'm) = [ (p(x)'0k)0 + q(x)'k] 'm dx =

a

b

Z

= p(x)'0k'm ba + (p(x)'0k'0m + q(x)'k'm)dx:

a

С учетом краевых условий

b

Z

(L('k); 'm) = (p(x)'0k'0m + q(x)'k'm)dx:

a

В двумерном случае, например для оператора

L(u) = u + q(x; y)u;

скалярные произведения будут выглядеть следующим образом:

154

5.4. Понятие о методе Галеркина

Пусть L(u) – дифференциальный оператор 2-го порядка (не обязательно симметричный). Поставим краевую задачу

где u удовлетворяет однородным краевым условиям Дирихле. Возьмем произвольную дифференцируемую функцию v, удовлетворяющую однородным краевым условиям Дирихле, и скалярно умножим уравнение (5.12) на v:

или, что то же самое, (L(u) f; v) = 0. Поскольку скалярное произведение – это интеграл, соотношение (5.13) принято называть интегральным тождеством.

Функцию u, удовлетворяющую интегральному тождеству с произвольной функцией v, будем называть обобщенным решением краевой задачи (5.12).

Очевидно, что если краевая задача (5.12) имеет обычное решение, то это решение будет и обобщенным. Однако обобщенное решение может быть дифференцируемо только один раз, тогда как решение задачи (5.12) должно быть дифференцируемо 2 раза. Такой случай уже встречался при рассмотрении задачи о минимуме функционала. Более того, в 5.1 доказательство эквивалентности задачи о минимуме функционала и краевой задачи основывалось на выполнении соотношения (L(u) f; v) = 0, т. е. интегрального тождества (5.13). Таким образом, для симметричного оператора задача нахождения минимума функционала и задача поиска функции, удовлетворяющей интегральному тождеству, эквивалентны. Однако соотношение (5.13) можно написать и для несимметричного оператора и не связывать его с каким-либо функционалом.

Метод Галеркина состоит в построении решения задачи на конечномерном подпространстве так же, как и в методе Ритца. Возьмем систему из n линейно независимых дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям '1, '2, ..., 'n. Рассмотрим множество всех линейных комбинаций этих функций Dn = f 1'1 + 2'2 +:::+ n'ng. Будем искать функцию un = 1'1 + 2'2 + ::: + n'n, удовлетворяющую соотношению (5.13) для произвольной функции v 2 Dn:

Если интегральное тождество будет выполнено для всех базисных функций пространства Dn, то в силу линейности скалярного произведения оно будет выполнено и для любой функции v 2 Dn. Последовательно подставляя в

155

где ~n – нормаль к границе . Так как функция v на границе обращается в нуль, то и последний интеграл тоже равен нулю, и формула (5.17) примет вид

Визложении метода конечных элементов будем следовать монографии

[12].Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике = [0; a] [0; b]

>

:

Пусть v – произвольная функция, удовлетворяющая однородным краевым условиям. Для задачи (5.18) запишем интегральное тождество метода Галеркина

Далее в методе Галеркина необходимо выбрать систему базисных функций. Для этого зададим в области сетку. Пусть заданы шаги сетки hx = na

b

и hy = m. Обозначим xk = khx, yk = ihy, k = 0; 1; :::; n, i = 0; 1; :::; m.

В каждом прямоугольнике построенной сетки проведем диагональ из левого нижнего угла. Таким образом, область оказалась разбита на треугольники (рис. 5.1). Такой вид сетки принято называть триангуляцией.

Введем в рассмотрение функции 'ki(x; y), обладающие следующими свойствами: функция 'ki равна единице в узле (xk; yi) и нулю во всех

157

остальных узлах сетки; функция линейна во всех треугольниках сетки (рис. 5.2). Такие функции называют функциями-палатками.

Система функций f'kigk=1;:::;n 1

i=1;:::;m 1

линейно-независима, и ее можно взять в качестве базисных функций метода Галеркина. Решение интегрального тождества (5.19) будем искать в виде

n 1 m 1

=1 i=1

Так как в каждом узле сетки отлична от нуля только одна базисная функция, то u~(xk; yi) = uki. Т. е., если найти коэффициенты решения задачи uki, то фактически получим приближенные значения решения в узлах сетки. Для того чтобы найти uki, запишем систему линейных уравнений, аналогичную (5.15), учитывая при этом, что оператор задачи (5.18) есть L = :

158

>

>

>

>

>

>

>

>

:::: + un 1 m 1( 'n 1 m 1; 'n 1 m 1) = (f; 'n 1 m 1):

Возьмем в системе (5.20) строчку с номером (k; i) и вычислим все входящие в нее скалярные произведения, которые с учетом (5.19) имеют вид

Так как функции 'ki и 'lj отличны от нуля только в шести треугольниках сетки, то интеграл (5.21) равен нулю, если шестерки треугольников, примыкающих к узлам (ki) и (lj), не пересекаются. Выпишем все случаи,

159