Методы математической физки Меркулов

Хорошо видно, что при четном k 'k = 0, а при нечетном (k = 2n + 1) –

Функция u(x; t), рассматриваемая при x 2 [0; l], представляет собой полусумму двух волн отклонения (x + at) и (x at), определенных для любых x 2 R:

представляет собой ряд Фурье функции '(x), т. е. является функцией, полученной из '(x) периодическим продолжением на всю числовую ось.

Волна 12 (x+at) “бежит” влево, а волна 12 (x at) – вправо. Функция

u(x; t) представляет собой сумму этих волн. Отражение волны от закрепленных концов струны x = 0, x = l будет происходить так же, как и в случае полубесконечной струны.

Изобразим форму струны с закрепленными концами в моменты времени t0 = 0, t1 = 4la, t2 = 2la, t3 = 43al , t = al , проиллюстрировав тем самым процесс колебаний струны (рис. 3.10).

100

U

H

T = T4

дет все отмеченные положения в обратном порядке и вернется в первоначальное положение, после чего процесс будет периодически повторяться с

периодом T = 2al.

Пример 3.6. Найти закон колебаний конечной струны (0 x l), если в начальный момент времени по струне ударили и ее точкам на промежутке x придали скорость v.

101

В данном случае функция u(x; t), описывающая свободные колебания

Найдем для этих функций коэффициенты Фурье. Очевидно, что 'k = 0. Для определения k вычислим скалярное произведение

4. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 4.1. Определения. Постановка краевой задачи

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

u = f;

где – оператор Лапласа, f – заданная функция, называется уравнением Пуассона. Если в уравнении f = 0, то оно называется уравнением Лапласа.

Такие уравнения описывают стационарное распределение тепла в однородном изотропном теле, электростатический и гравитационный потенциалы в точках пространства и другие стационарные явления.

Пусть функция u = u(M) рассматривается в области с кусочногладкой границей . Часто ставится следующая задача: найти дважды дифференцируемую функцию u, удовлетворяющую в области уравнению Лапласа или Пуассона, а на границе – одному из краевых условий:

1) u = – краевое условие первого рода (условие Дирихле);

@u

2) = – краевое условие второго рода (условие Неймана);

@~n

102

Здесь , , и h – заданные и непрерывные на границе функции. Название краевой задачи связано с краевым условием, которому удо-

влетворяет функция u(M) на границе . Краевая задача

u = f; u =

называется задачей Дирихле для уравнения Пуассона. Если на границе задано условие

@u

= ; @~n

то краевая задача называется задачей Неймана, а в случае краевого условия вида

–третьей краевой задачей.

Внекоторых случаях на разных частях границы могут быть заданы краевые условия разного рода. Тогда краевая задача называется смешанной.

4.2. Гармонические функции

Определение 4.1. Функция u = u(M) называется гармонической в области , если она имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в области и удовлетворяет уравнению Лапласа

u = 0:

Приведем примеры различных гармонических фунций. При решении задач обычно используются декартовы, полярные, цилиндрические или сферические координаты. Вид оператора Лапласа зависит от выбранной системы координат (см. 2.2).

Пример 4.1. Рассмотрим уравнение Лапласа, в котором оператор Лапласа записан в декартовой системе координат:

Очевидно, что любая линейная функция вида

u(x; y; z) = Ax + By + Cz + D

является гармонической функцией.

103

Пример 4.2. Пусть ( ; ') – полярные координаты точек плоскости. Рассмотрим уравнение Лапласа, записав оператор Лапласа в полярной системе координат:

Найдем u = u( ) – решение этого уравнения, которое не зависит от угловой координаты ' (осесимметричное решение). Решение, обладающее этим свойством, удовлетворяет уравнению

Проинтегрировав, найдем гармоническую функцию u( ) = C1 ln( ) + C2. Здесь C1, C2 – произвольные константы. Зададим C1 = 1, C2 = 0 и

получим функцию

u( ) = ln 1:

Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Она является гармонической функцией на всей плоскости, кроме начала координат. Обозначим

p

r = jMM0j = (x x0)2 + (y y0)2

расстояние между точками M(x; y) и M0(x0; y0): Нетрудно заметить, что функция

u(r) = ln 1r

также будет гармонической функцией на всей плоскости, исключая точку

M0.

Пример 4.3. Пусть ( ; ; ') – сферические координаты точек пространства. Запишем теперь оператор Лапласа в сферической системе координат:

Будем искать решение u = u( ) уравнения Лапласа, которое не зависит от угловых координат и ' (центрально-симметричное решение). Очевидно, что u( ) удовлетворяет уравнению

104

Разделим на 2:

@u = C1 : @ 2

После интегрирования получим функцию u( ) = C1 + C2, гармоническую

при любых константах C1 и C2. Пусть C1 = 1, C2 = 0. Функция

u( ) = 1

называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Она является гармонической функцией на всей плоскости, кроме начала координат. Пусть

p

r= jMM0j = (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2

–расстояние между точками M(x; y; z) и M0(x0; y0; z0): Очевидно, что функ-

ция

u(r) = 1r

также является гармонической функцией в пространстве, исключая точку

M0.

4.3. Формулы Грина

Пусть 2 R3 – область, ограниченная поверхностью .

Утверждение 4.1. Если функции u = u(M) и v = v(M) имеют непрерывные частные производные второго порядка в области и непрерывны вместе с частными производными первого порядка на множестве

S

, то справедливы формулы:

называемые первой и второй формулами Грина соответственно. Здесь @u=@~n = (grad u; ~n) – производная функции u по направлению внешней нормали ~n к поверхности .

Доказательство. Докажем сначала первую формулу Грина (4:1). Воспользуемся формулой Остроградского–Гаусса

105

~

Зададим F = v grad u. Поскольку верны следующие равенства:

(4:3) следует первая формула Грина

Поменяем теперь местами функции u и v в первой формуле Грина:

Вычтем почленно из первой формулы Грина это равенство:

Получилась вторая формула Грина (4:2).

4.4. Свойства гармонических функций

Используя полученные формулы, выделим некоторые свойства гармонических функций.

Утверждение 4.2. Если u = u(M) – функция, гармоническая в области , то производная этой функции по нормали к поверхности , ограничивающей область , удовлетворяет условию

106

Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина (4:1). Поскольку u – гармоническая в области функция, то u = 0 и выполняется равенство

p

r= jMM0j = (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2

–расстояние между точками M(x; y; z) и M0(x0; y0; z0): В 4.2 было показано, что она является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа u = 0 в пространстве, исключая точку M0.

Пусть M0(x0; y0; z0) – это некоторая внутренняя точка множества .

Утверждение 4.3. Если u = u(M) – функция, гармоническая в области , непрерывная вместе с частными производными первого порядка

S

на множестве , то для любой внутренней точки M0(x0; y0; z0) множества справедлива формула

называемая основной формулой теории гармонических функций. Здесь ~n

– внешняя нормаль к поверхности .

Доказательство. Воспользуемся второй формулой Грина (4:2). Поскольку функция v(M) = 1r имеет разрыв в точке M0(x0; y0; z0), то сразу

применить к функциям u и v вторую формулу Грина нельзя. Окружим точку M0 шаром K"(M0) с центром в точке M0 малого радиуса ". Рассмотрим область n K"(M0). Граница этой области [ ", где " – сфера, ограничивающая шар K"(M0). Применим вторую формулу Грина к функциям

1

u(M) и v(M) = r в области n K"(M0):

nK"(M0)

107

Поскольку u(M) и v(M) = 1r – гармонические в области nK"(M0) функции, то левая часть равенства равна нулю.

Второй интеграл в правой части вычисляется по сфере ", поэтому

множитель 1 = 1 не зависит от M и его можно вынести за знак интеграла. r "

Интеграл преобразуется к виду

ZZ

1 @u ds:

"@~n

"

Функция u(M) – гармоническая, поэтому, согласно утверждению 4.2, значение этого интеграла равно нулю.

Рассмотрим в правой части формулы (4:6) третий интеграл по сфере ". Поскольку внешняя нормаль к этой поверхности ~n направлена по радиусу к центру сферы, то

не зависит от M.

Тогда получится равенство

Применим теорему о среднем к интегралу, стоящему в правой части. Функция u(M) непрерывна, следовательно, на сфере найдется такая точка M", что интеграл по " будет равен значению u(M"), умноженному на площадь сферы 4 "2. Тогда

1 ZZ

"2 u ds = 4 u(M"):

"

Устремим " к нулю. При этом сфера "(M0) стягивается в точку M0:

lim u(M") = u(M0):

"!0

В итоге, получим равенство

108

Замечание. Полученная формула справедлива для гармонических функций трех переменных.

На плоскости решением уравнения Лапласа является функция

1 p

u(r) = ln r; где r = jMM0j = (x x0)2 + (y y0)2:

Дословно повторяя описанные ранее рассуждения, нетрудно получить основную формулу теории гармонических функций для гармонических функ-

Пусть KR(M0) – шар радиуса R с центром в точке M0, а R – сфера, ограничивающая этот шар.

Утверждение 4.4. Если u = u(M) – функция, гармоническая в шаре KR(M0) и непрерывная вместе с частными производными первого поряд-

S

ка на множестве KR(M0) R, то ее значение в центре M0 шара есть среднее ее значений на сфере:

Доказательство. Поскольку u(M) – гармоническая функция, то согласно утверждению 4.3 выполняется равенство

Тогда

Из утверждения 4.2 следует, что RR @u ds = 0; поэтому получаем доказы-

R @~n

ваемое равенство.

109