Методы математической физки Меркулов

Функции y(x) и z(x) удовлетворяют однородным краевым условиям (1.3). Если R1 6= 0 и R2 6= 0, то можно записать

Если R1 = 0 или R2 = 0, то соответственно y(a) = z(a) = 0 или y(b) = = z(b) = 0 и выражение (1.4) все равно есть нуль. Следовательно,

Утверждение 1.2. Пусть q0 = min q(x), тогда 8y 2 D(L) спра-

x2[a;b]

ведливо неравенство (L(y); y) q0kyk2 (в этом случае говорят, что оператор ограничен снизу; если q0 > 0, то L называется положительноопределенным оператором).

Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение

10

Доказательство выполнено для случая R1 6= 0 и R2 6= 0. Если R1 = 0 или R2 = 0, то утверждение доказывается аналогично с учетом того, что соответственно y(a) = 0 или y(b) = 0.

Определение 1.1. Число называется собственным числом оператора L, если существует ненулевая функция y(x) 2 D(L), для которой L(y) = y. При этом функция y(x) называется собственной функцией оператора, соответствующей собственному числу .

Задача нахождения собственных чисел и собственных функций оператора называется задачей Штурма–Лиувилля:

:

Множество всех собственных чисел называется спектром оператора L или спектром задачи (1.5).

Приведем без доказательства основные свойства собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля (тем более, что доказательство некоторых из них выходит за рамки данного курса):

1.Спектр оператора L вещественный.

2.Спектр оператора L дискретный, т. е. представляет собой последо-

вательность f ng+n=11.

3. Последовательность f ng+n=11 ограничена снизу: n min q(x)

x2[a;b]

и lim n = +1.

n!+1

4. При некоторых положительных A и B для всех достаточно больших n справедливы неравенства An2 n Bn2.

Для собственных функций оператора Штурма–Лиувилля справедливы следующие утверждения.

11

Утверждение 1.3. Каждому собственному числу соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция.

Доказательство. Пусть собственному числу соответствуют две собственные функции y1(x) и y2(x). Тогда справедливы равенства

L(y1) = y1 и L(y2) = y2.

Умножим первое равенство на y2, а второе – на y1 и вычтем одно из другого:

L(y1)y2 L(y2)y1 = y1y2 y2y1 0:

Учитывая вид оператора L, получим

Поскольку (x) 6= 0, то

(py10 )0y2 + (py20 )0y1 0:

Добавим и вычтем в левой части равенства выражение py10 y20 :

(py20 )0y1 + py10 y20 [(py10 )0y2 + py10 y20 ] 0;

или

(py20 y1)0 (py10 y2)0 = (py20 y1 py10 y2)0 0;

откуда

py1y20 py10 y2 C = const :

Для того чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся краевыми условиями в точке a:

C= p(a)y1(a)y20 (a) p(a)y10 (a)y2(a) =

=p(a)y1(a) S1 y2(a) p(a) S1 y1(a)y2(a) = 0: R1 R1

Следовательно,

p(x)y1(x)y20 (x) p(x)y10 (x)y2(x) 0;

а так как p(x) 6= 0, то

y1(x)y20 (x) y10 (x)y2(x) 0;

или

12

Полученный определитель называется определителем Вронского. Из равенства нулю определителя Вронского следует линейная зависимость функций y1 и y2, т. е. y1 = y2.

Доказательство выполнено для случая R1 6= 0 и R2 6= 0. Утверждение доказывается аналогично при условии R1 = 0 или R2 = 0, с учетом того, что соответственно y(a) = 0 или y(b) = 0.

Утверждение 1.4. Собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство аналогичного факта для собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы. Пусть 1 и 2 – собственные числа оператора L, а y1(x) и y2(x) – соответствующие собственные функции L(y1) = 1y1 и L(y2) = 2y2. Умножим скалярно первое выражение на y2, а второе – на

y1:

(L(y1); y2) = ( 1y1; y2); (L(y2); y1) = ( 2y2; y1):

Вычтем из первого равенства второе. Учитывая симметрию оператора L, т. е. то, что (L(y1); y2) = (y1; L(y2)), получим

( 1y1; y2) ( 2y2; y1) = 0 , ( 1 2)(y1; y2) = 0:

Так как 1 6= 2, получаем, что скалярное произведение (y1; y2) = 0, т. е. функции y1 и y2 ортогональны. Таким образом, система собственных функций оператора fyk(x)g+k=11

является ортогональной системой.

Отметим без доказательства важнейшее свойство этой системы. Ортогональная система fyk(x)g+k=11 полна в пространстве L2[a; b; (x)].

Это означает, что любая функция из этого пространства может быть разложена в ряд Фурье по системе fyk(x)g+k=11 и этот ряд будет сходиться к функции в норме пространства L2[a; b; (x)].

Для функции из области определения оператора L справедливо более сильное утверждение.

Теорема 1.1 (Стеклова). Если y 2 D(L), то соответствующий ряд Фурье абсолютно сходится к y(x) 8x 2 [a; b]; этот ряд можно почленно дифференцировать 2 раза. Ряд из первых производных будет поточечно сходиться к y0(x), а ряд из вторых производных сходится к y00(x) в норме пространства L2[a; b; (x)].

1.3. Задача Штурма–Лиувилля для оператора y00

Возьмем простейший оператор Штурма–Лиувилля L(y) = y00 (т. е.(x) p(x) 1, q(x) 0) и рассмотрим для него задачу на собственные

13

y00 = 0 будет y = C1x + C2 и из краевых условий следует, что C1 и C2 удовлетворяют системе уравнений

(

C1a + C2 = 0;

C1b + C2 = 0;

откуда C1 = C2 = 0, т. е. y 0 и, следовательно, = 0 не является собственным числом. Пусть > 0, обозначим = 2. Уравнение из задачи

(1.6) примет вид

y00 + 2y = 0:

Общее решение уравнения удобнее всего записать в виде y = C1 cos( (xa))+C2 sin( (x a)). Подставив краевые условия, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов C1 и C2:

(

C1 cos( (b a)) + C2 sin( (b a)) = 0:

Система (1.7) имеет нетривиальное решение C1 = 0, C2 6= 0, только когда sin( (b a)) = 0. Обозначив длину промежутка через l = b a, получим

sin( l) = 0. Положительные решения этого уравнения k = kl , k 2 IN. Таким образом, собственными числами оператора в случае краевых усло-

:

Легко проверить, что при = 0 задача (1.8) имеет решение y 1, т. е. 0 = 0 – собственное число и y0 1 – собственная функция. Да-

14

лее, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что собствен-

k 2

ные числа будут k = и соответствующие собственные функции l

yk = cos k (x a) , k 2 IN. l

:

Если S1 6= 0 или S2 6= 0, то = 0 не является собственным числом задачи (1.9). Пусть = 2. Подставив в общее решение y = C1 cos( (x a)) + + C2 sin( (x a)) краевые условия, получим

Система (1.10) имеет ненулевое решение, если определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю.

Найдем этот определитель и приравняем его нулю:

= R1R2 2 sin( l) (R1S2 + R2S1) cos( l) S1S2 sin( l) = 0: (1.11) Если исключить уже изученные случаи краевых условий Дирихле и Неймана, величина R1S2 + R2S1 6= 0 и уравнение (1.11) можно переписать

в виде

Построим графики левой и правой частей уравнения (1.12).

Из рис. 1.1 видно, что уравнение (1.12) имеет бесконечное число положительных решений k. При k ! +1 k асимптотически приближается

к (k 1) . Заметим, что уравнение (1.12) в общем случае невозможно ре- l

шить аналитически и для его решения следует использовать численные методы. Таким образом, собственные числа задачи (1.9) имеют вид k = 2k, где k – положительное решение уравнения (1.12). Подставим в систему (1.10) = k. Решение системы можно записать в виде

15

Рис. 1.1

C1 = R1 kC;

C2 = S1C;

где C – произвольная константа. Положим C = 1 и найдем собственную функцию

yk(x) = R1 k cos( k(x a)) + S1 sin( k(x a)):

Заметим, что собственная функция yk(x) может быть записана в виде yk(x) = R2 k cos( k(b x)) + S2 sin( k(b x)):

В ряде случаев (например, если R2 = 0 или S2 = 0) это оказывается удобнее.

1.4.Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Фурье

Рассмотрим краевую задачу с однородными краевыми условиями

:

Как отмечалось в 1.1, задачу с неоднородными краевыми условиями всегда можно свести к виду (1.13). Решение задачи (1.13) будем искать в виде ряда Фурье по системе fyk(x)g собственных функций оператора L:

16

Краевые условия для функции u(x) выполняются автоматически. Так как u(x) 2 D(L), то ряд (1.14) можно дважды почленно дифференцировать:

+1 +1

XX

L(u) = ckL(yk) = ck kyk(x):

Отметим, что фактически доказано, что если k 6= 0 8k 2 IN, то задача (1.13) имеет единственное решение. Для того чтобы среди собственных чисел k не было нуля, достаточно, например, выполнения неравенства q(x) q0 > 0 8x 2 [a; b].

Исследуем теперь случай, когда среди собственных чисел оператора есть нуль. Пусть 0 = 0 – собственное число, а y0(x) – соответствующая собственная функция. Если решение u(x) искать в виде ряда Фурье

Это равенство возможно, только если коэффициент Фурье f0 = 0. Это означает, что функция f(x) ортогональна y0(x) – собственной функции оператора L, т. е. выполняется условие

b

Z

(f; y0) = f(x)y0(x) (x)dx = 0:

a

17

В этом случае краевая задача (1.13) будет разрешима, но решений будет бесконечно много и они будут иметь вид

+1

u(x) = X fk yk(x) + c0y0(x);k

k=1

где c0 – произвольная постоянная.

Пример 1.5. Требуется решить методом Фурье краевую задачу

8

> u00 + 3u = 2x 10;

<

u0(1) 2u(1) = 7;

>u0(3) = 1:

:

Так как метод Фурье применим к задачам с однородными краевыми условиями, с помощью замены u(x) = v(x) + x + приведем краевые условия к однородным:

u0(1) 2u(1) = v0(1) + 2(v(1) + 1 + ) = = v0(1) 2v(1) 2 = 7;

u0(3) = v0(3) + = 1:

Для того чтобы краевые условия для функции v(x) были однородными, нужно, чтобы и удовлетворяли системе уравнений

(

2 = 7;= 1:

Отсюда = 1, = 4. Подставив u(x) = v(x)+x 4 в уравнение, получим краевую задачу для функции v:

8

> v00 + 3v = x + 2;

<

1. Оператором задачи (1.16) будет L(y) = y00 + 3y. Найдем собственные числа и собственные функции этого оператора:

8

> y00 + 3y = y;

<

y0(1) 2y(1) = 0;

>y0(3) = 0:

:

Запишем уравнение задачи в виде y00 + ( 3)y = 0. Обозначим 3 = 2. Общее решение уравнения y00 + 2y = 0 при 2 > 0 можно записать как

y(x) = C1 cos( (3 x)) + C2 sin( (3 x)):

18

Подставив в общее решение краевые условия, получаем систему уравнений относительно C1 и C2

Очевидно, что в системе (1.17) C2 = 0, а C1 будет ненулевым, только если

sin(2 ) 2 cos(2 ) = 0:

Полученное уравнение приведем к виду

Уравнение (1.18) имеет бесконечное число корней k, которые можно найти только численными методами. Первые 3 корня уравнения будут 1 =

=0:632296, 2 = 1:967581, 3 = 3:407005. Собственные числа оператора L(y) равны k = 2k + 3. Соответственно, первые 3 собственных числа 1 =

=3:399798, 2 = 6:871374, 3 = 14:607684. Тогда собственными функциями оператора L будут

yk(x) = cos( k(3 x)):

Таким образом, для оператора L(y) получены система собственных чисел

Разложим правую часть уравнения (1.16) g(x) = x + 2 в ряд Фурье:

+1

X

g(x) = gkyk(x). Коэффициенты Фурье gk будут:

k=1

19