Методы математической физки Меркулов

Утверждение 4.5. Функция u = u(M), гармоническая в ограниченной области и непрерывная в области [ , достигает наибольшего и наименьшего значений на границе этой области.

Это утверждение обычно называют принципом максимума. Доказательство. 1. Если u(M) = C = const, то теорема очевидна. 2. Пусть u(M) 6= const. Докажем теорему методом рассуждения от

противного. Предположим, что во внутренней точке M0 области функция u имеет локальный экстремум, например локальный максимум. Окружим точку M0 шаром KR(M0) достаточно малого радиуса R с границей R, такого, что шар целиком лежит в области и для всех M 2 KR(M0) [ R выполняется неравенство u(M0) > u(M).

Поскольку u – гармоническая в шаре KR(M0) функция, то согласно утверждению 4.4 справедливо равенство

Здесь R – сфера, ограничивающая шар. Применим теорему о среднем к интегралу, стоящему в правой части. Так как функция u(M) непрерывна, то на сфере найдется такая точка MR, что интеграл по R будет равен значению u(MR), умноженному на площадь сферы 4 R2. Тогда

u(M0) = 4 1R2 4 R2u(MR) = u(MR):

Получилось противоречие с условием u(M0) > u(M). Значит, внутренние точки области не являются точками экстремума функции, и поскольку u(M) непрерывна в области [ , то она достигает наибольшего и наименьшего значений на границе области .

4.5. Теоремы единственности для уравнений Лапласа и Пуассона

Утверждение 4.6. Решение u = u(M) задачи Дирихле для уравнения Пуассона

u = f; uj =

единственно.

Доказательство. Предположим, что две функции u1 и u2 являются решениями задачи Дирихле. Рассмотрим функцию u = u1 u2. Эта функция – гармоническая в области . Она непрерывна в области [ и равна нулю на границе :

u = 0; uj = 0:

110

Согласно принципу максимума наибольшее и наименьшее значения функции u достигаются на границе и равны нулю. Следовательно, u = u1 u2 = = 0, т.е. u1 = u2.

Рассмотрим теперь задачу Неймана для уравнения Пуассона:

ZZZ ZZ

f dV = ds:

Утверждение 4.7. Решение u = u(M) задачи Неймана для уравнения Пуассона единственно с точностью до постоянного слагаемого C.

Доказательство.

Подставив в первую формулу Грина (4:1) функцию v = u, получим равенство

Предположим, что есть 2 решения u1 и u2 задачи Неймана. Тогда u = = u1 u2 является гармонической функцией ( u = 0), удовлетворяющей

@u

краевому условию = 0. Тогда равенство (4:7) преобразуется к виду

@~n

ZZZ

jgrad uj2 dV = 0:

~

Следовательно, grad u = 0, т. е. u = C = const. Значит, u1 = u2 + C.

Утверждение 4.8. Решение u = u(M) третьей краевой задачи для уравнения Пуассона

Доказательство. Предположим, что третья краевая задача имеет 2 решения u1 и u2. Рассмотрим функцию u = u1 u2. Подставим ее в формулу (4:7). Тогда, учитывая, что u = u1 u2 является решением задачи

111

получим для этой функции равенство

ZZZ jgrad uj2 dV + h ZZ @u 2 ds = 0: @~n

Поскольку h > 0, то равенство возможно только тогда, когда значения обоих слагаемых в левой части равенства равны нулю. Следовательно,

@u

~ ~

grad u = 0 в области и @~n = 0 на границе . Из условия grad u = 0 следует, что u = C = const в области . Функция u удовлетворяет краевому

4.6.Метод Фурье для уравнений Лапласа и Пуассона

В некоторых областях решение краевой задачи для уравнения Лапласа или Пуассона можно получить в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля. Алгоритм нахождения решения такой же, как при решении уравнения теплопроводности или волнового уравнения. Рассмотрим пример решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре (осесимметричный по переменной ' случай).

Пример 4.4. Найти стационарное распределение температуры в шаре радиуса R, верхняя половина поверхности которого поддерживается при температуре T0, а нижняя – при температуре, равной нулю. Определить температуру точек шара, расположенных вдоль радиуса = 0.

Пусть u – искомая функция, описывающая стационарное распределение температуры в шаре. Она является решением краевой задачи

В модели будем использовать сферическую систему координат. Условия задачи таковы, что функция u = u( ; ) не зависит от угловой координаты '. Она удовлетворяет уравнению Лапласа

и краевым условиям: u( ; ) ограничена при ! 0 + 0 и при ! 0;

112

По переменной функция u = u( ; ) удовлетворяет естественным краевым условиям ограниченности функции. Эти условия являются однородными, поэтому решение задачи будем искать в виде ряда Фурье, разложив функцию u( ; ) по собственным функциям оператора

нальную систему в пространстве L2[0; ; sin ].

2. Будем искать функцию u( ; ) в виде ряда Фурье по системе соб-

ственных функций:

+1

X

u( ; ) = ck( )yk( ):

k=0

Функцию u0( ) из краевого условия разложим в ряд Фурье по той же

системе функций:

+1

X

u0( ) = u0kyk( );

k=0

где u0 = (u0; yk). Найдем скалярные произведения k jjykjj2

113

Для вычисления интеграла воспользуемся свойствами многочленов Лежандра. Для этих многочленов выполняются рекуррентные соотношения (1:34),

(1:35):

(k + 1)Pk+1(x) (2k + 1)xPk(x) + Pk 1(x) = 0; (2k + 1)Pk(x) = Pk0+1(x) Pk0 1(x)

и справедливы равенства Pk(1) = 1, k = 0; 1; ::: . Тогда

ZZ

Найдем значения коэффициентов ck( ), подставив ряды Фурье функций u( ; ) и u0( ) в уравнение Лапласа и в краевые условия, заданные по

переменной . Используя равенства sin1 (sin yk( )0)0 = yk( ) и свойство единственности разложения функции в ряд Фурье, получим краевые

задачи для коэффициентов ck(r):

(

( 2c0k( ))0 = k(k + 1)ck( );

ck( ) ограничена при ! 0 + 0; ck(R) = u0k:

Уравнение ( 2c0k( ))0 = k(k +1)ck( ) , 2c00k( )+2 c0k( ) k(k +1)ck( ) = 0

является уравнением Эйлера. Используем подстановку = et. Тогда справедлива цепочка равенств ck( ) = ck(et) = zk(t) = zk(ln ). Нетрудно получить уравнение, которому удовлетворяет функция zk(t):

zk00(t) + zk0 (t) k(k + 1)zk(t) = 0:

Запишем его характеристическое уравнение: 2 + k(k + 1) = 0. Найдем корни этого уравнения: 1 = (k + 1), 2 = k. Общим решением дифференциального уравнения будет функция zk(t) = Ake (k+1) + Bkek. Значит,

ck( ) = Ak (k+1) + Bk k; k = 1; 2; ::: :

114

Используя первое краевое условие, получим Ak = 0 (k = 1; 2; :::). Из вто-

Найдем теперь значение коэффициента c0( ). Рассмотрим при k = 0 дифференциальное уравнение

c0( ) = T20 :

Все коэффициенты найдены. Искомая функция u( ; ) представима в виде ряда Фурье:

Известно [5], что

Используя это свойство многочленов Лежандра, искомую функцию можно преобразовать к виду

Вычислим теперь температуру точек шара, расположенных вдоль радиуса= 0. Для этого подставим в последнюю формулу = 0. Учитывая, что Pk(1) = 1, получим искомую температуру

115

4.7. Задача на собственные значения для оператора Лапласа

В некоторых случаях краевую задачу для уравнения Пуассона или уравнения Лапласа удается свести к задаче с однородными краевыми условиями на всей границе. Решение такой задачи целесообразно искать в виде ряда Фурье, разложив искомую функцию по собственным функциям оператора Лапласа.

Пусть – некоторая ограниченная область, – граница этой области.

Определение 4.2. Числа , для которых краевая задача

имеет ненулевые решения u = u(M) в области , называются собственными числами оператора Лапласа. При этом ненулевые решения u называются собственными функциями оператора Лапласа, соответствующими числам .

Задача нахождения собственных чисел и соответствующих им собственных функций называется задачей на собственные значения для оператора Лапласа.

@u

Однородное краевое условие R@~n + Su = 0 может быть первого,

второго или третьего рода. Также можно задать смешанное однородное краевое условие. Задача на собственные значения оператора Лапласа является многомерным аналогом задачи Штурма–Лиувилля.

Пусть функции f = f(M) и g = g(M) определены в области . Введем скалярное произведение этих функций по правилу

ZZZ

(f; g) = fg dV;

где = (M) – непрерывная на множестве функция, (M) 0 > 0. Как и ранее, (M) называется весовой функцией.

Норму, порожденную скалярным произведением, определим по формуле

Множество функций, для которых норма конечна (kf(M)k < +1), образуют пространство L2[ ; (M)]. Если (M) = 1, то пространство обозначим L2[ ].

Сформулируем без доказательства некоторые свойства собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа:

116

1)собственные числа оператора Лапласа вещественные;

2)множество собственных чисел счетно, т. е. представляет собой по-

следовательность f ng+n=11;

3) числа n 0 и lim n = +1;

n!+1

4)собственные функции оператора Лапласа, соответствующие различным собственным числам, ортогональны в пространстве L2[ ; (M)];

5)собственные функции оператора Лапласа образуют полную, замкнутую в пространстве L2[ ; (M)] систему функций. Если f 2 L2[ ; (M)], то функция f может быть разложена в ряд Фурье по системе собственных функций оператора и этот ряд будет сходиться к функции в норме пространства L2[ ; (M)].

Рассмотрим несколько задач на собственные значения оператора Лапласа для разных областей и разных типов краевых условий.

Пример 4.5. Найти собственные числа и собственные функции оператора Лапласа в прямоугольнике = f(x; y) : 0 x A; 0 y Bg, если на границе области функция u удовлетворяет условиям Дирихле.

Решим задачу

u(0; y) = 0; u(A; y) = 0; u(x; 0) = 0; u(x; B) = 0:

Искомую функцию представим в виде произведения двух функций u(x; y) = X(x)Y (y), предполагая, что

X(0) = 0; X(A) = 0; Y (0) = 0; Y (B) = 0:

Тогда u(x; y) будет удовлетворять заданным краевым условиям. Подставим u(x; y) = X(x)Y (y) в дифференциальное уравнение:

(X00(x)Y (y) + X(x)Y 00(y)) = X(x)Y (y):

Разделим обе части этого равенства на X(x)Y (y):

X00(x) + Y 00(y) = :

X(x)

Это равенство выполняется только в том случае, если

где 1 и 2 – константы. При этом = 1 + 2.

117

Значит, функции X(x) и Y (y) являются решениями двух задач Штурма– Лиувилля:

k = 1; 2; :::; m = 1; 2; :::, будут собственными числами и собственными функциями оператора Лапласа для задачи Дирихле в прямоугольнике . Найденные собственные функции образуют ортогональную, полную в пространстве L2[ ] систему функций.

Пример 4.6. Найти собственные числа и собственные функции оператора Лапласа в круге радиуса R ( = f( ; ') : 0 < R; 0 ' < 2 g), если на границе круга = R функция u удовлетворяет условиям Дирихле.

Запишем оператор Лапласа в полярной системе координат и решим

По переменной ' задаются естественные для задачи периодические краевые условия.

Функцию u, как и в предыдущем примере, будем искать в виде произведения двух функций u( ; ') = ( ) ('), считая, что выполняются

Тогда краевые условия для функции u будут выполнены. Подставим u( ; ') = = ( ) (') в дифференциальное уравнение:

118

Пусть функция (') является решением задачи Штурма–Лиувилля:

00(') = ('); 0 ' < 2 ;

(' + 2 ) = ('); 0(' + 2 ) = 0('):

Тогда функция ( ) есть решение другой задачи Штурма–Лиувилля:

( ) ограничена при ! 0 + 0; (R) = 0:

Решение задачи для функции (') было получено в пособии [1] (пример 2.4). Собственные числа k = k2, k = 0; 1; ::: . Собственному числу0 = 0 соответствует одна собственная функция 0(') = 1, а каждому собственному числу k = k2, k = 1; 2; ::: – две собственные функции

k;1(') = cos(k'), k;2(') = sin(k').

Каждому числу k будет соответствовать функция k( ). Для функции k( ) задача Штурма–Лиувилля примет вид

Оператор в правой части уравнения есть оператор Бесселя. В 1.6 най-

дено, что ограниченным при ! 0 + 0 решением уравнения будет функ- p

ция Бесселя k( ) = Jk( k ). Подставив эту функцию в краевое условиеk(R) = 0, получим:

p

Jk( kR) = 0:

p

Обозначим = kR и запишем уравнение в виде Jk( ) = 0. Это уравнение имеет множество простых решений k;m (m = 1; 2; :::). Числаk;m – это корни функции Бесселя Jk( ) (см. 1.5). Учитывая это, получим множество собственных чисел

Полученные числа k;m являются также собственными числами оператора Лапласа. Соответствующие им собственные функции, как отмечалось ранее, будем искать в виде u( ; ') = ( ) ('). Используя полученные решения задач Штурма–Лиувилля найдем эти функции.

119