Методы математической физки Меркулов

где w(x; t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и функция u(x; t):

В этом случае функция v(x; t) будет удовлетворять однородным условиям (см. 1.1). Выбор функции w(x; t) зависит от типа граничных условий. Для многих краевых задач функция w(x; t) может быть задана как линейная по переменной x

w(x; t) = (t)x + (t):

Сумму функций v(x; t) + w(x; t) подставляют в дифференциальное уравнение и начальные условия, и всю краевую задачу записывают для функции v(x; t), которая удовлетворяет однородным краевым условиям. Задача сводится к нахождению функции v(x; t), удовлетворяющей уравнению

Далее для задачи с однородными краевыми условиями метод Фурье применяется по следующей схеме:

1. Для линейного дифференциального оператора второго порядка

В результате находят собственные числа f kg+k=11 и систему собственных функций fyk(x)g+k=11 оператора краевой задачи.

2. Функцию v(x; t) представляют в виде ряда Фурье по собственным

функциям fyk(x)g+k=11

+1

X

v(x; t) = ck(t)yk(x):

k=1

Однородные краевые условия (2.11) для v(x; t) при этом автоматически выполняются.Этот ряд подставляют в уравнение (2.9) и начальное условие

50

(2.10), предварительно разложив функции fv(x; t) и 'v(x) в ряды Фурье по той же системе функций fyk(x)g+k=11. Далее, для коэффициентов ck(t) получают и решают задачи Коши.

3. Искомую функцию u(x; t) записывают в виде

+1

X

u(x; t) = w(x; t) + ck(t)yk(x):

k=1

Покажем, как применяется этот метод, на примерах.

Пример 2.1. Найти температуру тонкого однородного стержня длины l с теплоизолированной поверхностью, если его начальная температура

Метод Фурье в случае данных краевых условий непосредственно неприменим, так как условие на конце стержня x = l неоднородное. Поэтому сведем сначала поставленную задачу к задаче с однородными краевыми условиями. Представим функцию u(x; t) в виде суммы двух функций u(x; t) = v(x; t) + w(x; t).

Пусть w(x; t) = x+ . Подберем и так, чтобы для функции w(x; t)

51

Тогда для функции v(x; t) получится следующая задача с однородны-

Собственные числа оператора y00 удовлетворяют условию 0. При = 0 общее решение уравнения y(x) = C1 + C2x. Подставив y(x)

в краевые условия, получим C1 = 0, C2 = 0, тогда y(x) 0 и = 0 не является собственным числом оператора.

При > 0 обозначим = 2. Общим решением уравнения будет функ-

ция

y(x) = C1 cos( x) + C2 sin( x):

Функция y(x) удовлетворяет однородным краевым условиям:

52

2. Функцию v(x; t) будем искать в виде ряда по найденным собственным функциям дифференциального оператора:

+1

X

v(x; t) = ck(t)yk(x):

k=0

Подставим ряд в уравнение теплопроводности и в начальное условие:

Используя равенство yk00(x) = kyk(x) и свойство единственности раз-

ложения функции в ряд Фурье, получим задачи Коши для коэффициентов ck(t):

(

c0 (t) = a2 2ck(t);

k k (2.12) ck(0) = 'k:

Найдем сначала коэффициенты 'k:

l

Z

kykk2 = cos2( kx)dx = 2l ;

0

l

2T0

тогда 'k = l2 2k , k = 0; 1; 2; ::: :

Общее решение уравнения (2.12) ck(t) = Ake a2 2kt. Используя равенство ck(0) = 'k, получим Ak = 'k, а значит,

53

3. Окончательно решение исходной задачи получим как сумму функций w(x; t) и v(x; t):

Пример 2.2. В цилиндрическом проводнике радиуса R вследствие прохождения постоянного тока в соответствии с законом Джоуля–Ленца выделяется тепловая энергия с объемной плотностью Q0. Теплоотдача с поверхности проводника происходит по закону Ньютона. Найти распределение температуры по сечению проводника, если его начальная температура и температура внешней среды равны T0.

В примере изучается нагрев трехмерного цилиндрического тела. Выберем произвольное поперечное сечение проводника. Введем цилиндрическую систему координат, поместив ее начало в центре выбранного сечения и направив ось 0z вдоль оси проводника. Тогда процесс нагрева проводника описывается функцией u( ; '; z; t), удовлетворяющей уравнению теплопро-

водности

@u@t = a2 u + Q;

где Q = Q0 , – плотность, c – удельная теплоемкость проводника.

c

Запишем уравнение в цилиндрической системе координат

0 < < R; 0 ' < 2 ; 1 < z < +1; t > 0:

Распределение температуры в каждом сечении проводника можно счи-

@2u

тать одинаковым (функция u от z не зависит), т. е. в уравнении @z2 = 0.

Можно заметить, что распределение температуры в выбранном сечении

зависит только от времени и от расстояния до центра проводника, т. е.

@2u

@'2

ременных u( ; t).

Функция u( ; t) удовлетворяет уравнению теплопроводности:

начальному условию: u( ; 0) = T0 и краевым условиям:

54

(h = hk0 , где h0 – коэффициент теплоотдачи, k – коэффициент теплопро-

водности материала проводника).

Условие ограниченности функции u при ! 0 + 0 является естественным однородным краевым условием. Условие при = R неоднородное. Заменой u( ; t) = v( ; t)+w( ; t) сведем данную краевую задачу к краевой задаче относительно функции v( ; t) с однородными краевыми условиями. Положим w( ; t) = C = const. Первое краевое условие будет выполняться. Подставив w во второе краевое условие, убеждаемся в том, что оно будет выполняться при C = T0. Таким образом, w( ; t) = T0. Для функции v( ; t) получим следующую начально-краевую задачу:

Краевые условия для функции v однородные, и метод Фурье непосредственно применим к этой задаче.

1.Сначала найдем собственные функции и собственные числа опера-

y( ) ограничена при ! 0 + 0, y0(R) + hy(R) = 0. Дифференциальное уравнение можно записать в виде

y00 + 1 y0 + y = 0:

Это уравнение Бесселя нулевого порядка. Из общей теории следует, что собственные числа рассматриваемого оператора неотрицательны.

При = 0 уравнение Бесселя становится уравнением Эйлера:

2y00 + y0 = 0:

Выполнив подстановку = et, найдем y( ) = C1 + C2 ln . Учитывая краевые условия,получим y( ) 0. Значит, = 0 не является собственным числом оператора.

При > 0 решением уравнения Бесселя является функция

pp

y( ) = C1J0( ) + C2N0( );

55

Покажем, что это уравнение имеет корни. Для этого запишем его в виде

J1( ) = hR:

J0( )

Корни полученного уравнения являются абсциссами точек пересечения гра-

фиков функций y = J1( ) и y = hR при > 0 (рис. 2.1).

J0( )

J 1 ( γ )

y =

J 0 ( γ )

y =

h R

γ

Рис. 2.1

Из рисунка видно, что таких точек пересечения будет бесконечное множество: 1, 2, ... . Найти числа k (k = 1; 2; :::) можно, если для решения уравнения (2.13) применить какой-нибудь численный метод, например метод касательных.

Используя равенство, связывающее числа и , найдем собственные числа оператора L :

56

Тогда соответствующие им собственные функции, удовлетворяющие заданным однородным краевым условиям, имеют вид

Система функций fyk( )g+k=11 является полной ортогональной системой функций в пространстве L2[0; R; ].

2. Функцию v( ; t) будем искать в виде ряда Фурье–Бесселя, раскладывая ее по найденным собственным функциям yk( ):

+1

X

v( ; t) = ck(t)yk( ):

k=1

Подставим ряд в уравнение теплопроводности и в начальное условие:

+1

X

ck(0)yk( ) = 0;

k=1

+1

X

где qkyk( ) – ряд Фурье для функции Q из уравнения теплопроводно-

сти.k=1

Так как 1 ( yk0 ( ))0 = kyk( ) (k = 1; 2; :::), получим задачи Коши

для нахождения коэффициентов ck(t):

(

Найдем сначала значения коэффициентов Фурье для функции Q:

(Q; yk) qk = kykk2 :

Скалярное произведение и норма вычисляются в пространстве L2[0; R; ]. Для вычисления квадрата нормы используется формула (1.29).

57

С помощью равенства (2.13) выразим J1( k) через J0( k):

Найдем теперь скалярное произведение, используя формулу (1.28), считая, что = k, = 0 и учитывая, что J00( ) = J1( ):

Для решения задачи Коши (2.14) применим метод вариации. Рассмотрим сначала однородное уравнение

ck0(t) = a2 kck(t):

Его решением является функция

ck(t) = Ake a2 kt:

Решение неоднородного уравнения найдем, варьируя константу Ak, т. е. за-

~

меняя ее на функцию Ak(t):

~ a2 t

ck(t) = Ak(t)e k :

~

Функцию Ak(t) определим, подставляя ck(t) в уравнение:

58

2.4. Принцип максимума

Рассмотрим функцию u(x; t), определенную и непрерывную в области 0 x l, 0 t T , удовлетворяющую однородному уравнению теплопроводности

Утверждение 2.1. Функция u(x; t) достигает своих максимального и минимального значений или в начальный момент времени (при t = = 0), или в граничных точках (при x = 0 или x = l).

Это свойство функции u(x; t) называется принципом максимального (минимального) значения или принципом максимума (минимума).

Физический смысл сформулированной теоремы очевиден. При отсутствии внутри тела источников тепла происходит лишь его перераспределение: тепло перетекает от более нагретых участков тела к менее нагретым. В связи с этим температура во внутренних точках не может превосходить температуру на границе, если нагрев тела происходит через граничные точки, или начальную температуру тела, если оно не нагревается.

Докажем эту теорему.

Доказательство. 1. Если u(x; t) const, то теорема очевидна.

59