Методы математической физки Меркулов

Последовательно подставим k = 1; 2; :::; n 1. С учетом того, что y~0 = y~n = = 0, получим

изапишем систему (1.50) в матричном виде

~~ 2 Ay~ = fh :

Матрица A – трехдиагональная с диагональным преобладанием (модуль диагонального элемента больше, чем сумма модулей остальных элементов строки или столбца). Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.18. Если A = [aij], i = 1; :::; n, j = 1; :::; n – матри-

i = 1; :::; n), тогда эта матрица невырожденна.

Доказательство. Предположим, что матрица A вырожденна, тогда

6 ~ ~

существует вектор ~x = 0, для которого A~x = 0. Пусть xp – максимальный

j j ~

по модулю элемент вектора ~x. Очевидно, что xp > 0. Из уравнения A~x = 0 следует, что

XX

j6=p

Это неравенство противоречит тому, что A – матрица со строгим диагональным преобладанием. Значит, A – невырожденная матрица.

40

Из этого утверждения следует, что система уравнений (1.50) однозначно разрешима.

Покажем теперь, что с уменьшением шага сетки h значения решения системы (1.50) будут стремиться к значениям решения краевой задачи (1.47) в узлах сетки. Для этого введем понятие сеточной нормы.

Сеточной нормой функции v, определенной в узлах сетки !h = fxkg, k = 0; :::; n, назовем наибольшее по модулю значение этой функции на сетке

kvkh = max jvkj:

k=0;:::;n

Решение y~ разностной краевой задачи при измельчении сетки сходится к решению y краевой задачи (1.47), если

ky y~kh ! 0 при h ! 0:

Если, кроме того, выполняется неравенство

ky y~kh Chk;

где C не зависит от h, тогда разностная схема имеет k-й порядок точности. Сходимость разностной схемы связана с двумя понятиями: устойчиво-

стью и точностью аппроксимации.

Разностная схема называется устойчивой по правой части, если норма ее решения не превосходит нормы функции f, заданной в задаче, умноженной на число, не зависящее от шага сетки:

Утверждение 1.19. Разностная схема (1:49) устойчива по правой части, т. е. справедлива оценка (1:51), где C не зависит от шага h.

Доказательство. Пусть наибольшее среди чисел jy~kj, k = 0; :::; n, есть число jy~pj. Если p = 0 или p = n, то неравенство (1.51) выполняется (y~0 = 0, y~n = 0). Предположим, что 0 < p < n. Для всех k = 0; :::; n jy~kj jy~pj. Рассмотрим разностную схему (1.49) для узла сетки xp:

(2 + h2q(xp))~yp = y~p 1 + y~p + h2f(xp):

Так как 2 + h2q(xp) > 0, то

(2 + h2q(xp)) jy~pj = jy~p 1 + y~p + h2f(xp)j jy~p 1j + jy~pj + h2jf(xp)j:

Учитывая, что jy~kj jy~pj для всех k = 0; :::; n, получим

(2 + h2q(xp))jy~pj 2jy~pj + h2jf(xp)j;

или

jy~pj jf(xp)j:

41

Из этого равенства следует оценка

1

ky~kh q0 kfkh;

означающая устойчивость разностной схемы (1.49). Подставим в разностные уравнения (1.49) вместо значений сеточной функции y~k значения точного решения дифференциальной задачи y(xk). Для сохранения равенства в правую часть (1.49) необходимо ввести дополнительное слагаемое. Если это слагаемое с уменьшением h изменяется как O(hm), то говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциаль-

ную задачу с погрешностью O(hm).

Утверждение 1.20. Разностная схема (1:49) аппроксимирует краевую задачу (1:47) с погрешностью O(h2).

Доказательство. Это утверждение следует из равенств (1.48). Во внутренних узлах сетки функция y удовлетворяет разностной схеме с погрешностью O(h2). Граничные условия задаются точно.

Из устойчивости по правой части и аппроксимации с погрешностью O(h2) следует сходимость разностной схемы.

Утверждение 1.21. Разностная схема (1:49) сходится к решению задачи (1:47) в сеточной норме при h ! 0.

Доказательство. Обозначим wk = yk y~k. Из уравнений (1.48), (1.49) относительно функций y и y~ следует, что сеточная функция w удовлетво-

Таким образом, разность между точным и приближенными решениями краевой задачи удовлетворяет таким же сеточным уравнениям, что и функция y~, только в правой части уравнений стоит погрешность аппроксимации второй производной.

Согласно утверждению 1.19 об устойчивости разностная схема (1.52) устойчива и справедлива оценка

kwkh C kO(h2)kh;

где C не зависит от h. Из этого следует, что kwkh ! 0 при h ! 0. Так как справедлива оцен-

ка jO(h2)j Mh2, то построенная разностная схема (1.49) имеет второй порядок точности.

Если краевые условия в задаче (1.47) более сложные, например:

42

то их тоже надо аппроксимировать разностными уравнениями.

Так, для условия (1.53) используют разностное отношение (1.44)

y1 y0 + O(h) S1y0 = t1; h

а для (1.54) – соотношение (1.45)

yn yn 1 + O(h) + S2yn = t2: h

Тогда, если отбросить погрешности, получается

(1 + S1h)~y0 y~1 = t1h;

y~n 1 + (1 + S2h)~yn = t2h:

Эти уравнения нужно добавить к системе (1.50). Количество уравнений увеличится, однако матрица системы по-прежнему будет трехдиагональной с диагональным преобладанием. Полученная разностная схема будет аппроксимировать краевую задачу с погрешностью O(h).

2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1. Вывод одномерного уравнения теплопроводности

Рассмотрим однородный стержень длины l, боковая поверхность которого теплоизолирована. Стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температуру в любом его поперечном сечении можно считать постоянной. Если этот стержень неравномерно нагрет, тогда в нем будет происходить процесс передачи тепла от более нагретых участков к менее нагретым. Для вывода уравнения теплопроводности будем использовать следующую модель: ось 0x направим вдоль оси стержня, совместив начало координат с его левым концом. Тогда процесс распространения тепла в стержне может быть описан функцией u(x; t), представляющей температуру в сечении стержня x в момент времени t. Частная

производная @u(x; t) выражает скорость изменения температуры в направ-

@x

лении оси 0x. Если температура в направлении оси 0x растет, тогда @u@x > 0,

если температура уменьшается, то @u@x < 0.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности базируется на следующих экспериментальных положениях:

43

1. Количество тепла Q, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u, равно:

где c – удельная теплоемкость; – плотность; V – объем тела.

2. Количество тепла q(x), протекающее через поперечное сечение x стержня за промежуток времени [t; t + t], пропорционально скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, т. е.

@u@x, площади сечения S и времени t:

объясняется тем, что величина теплового потока считается положительной, когда тепло передается в сторону возрастания x. Если @u@x > 0, то в

направлении оси 0x температура увеличивается, а так как тепло переходит от более нагретых участков к менее нагретым, то тепловой поток будет направлен в сторону уменьшения x.

Рассмотрим малый элемент стержня [x; x + x]. Выведем уравнение, которому будет удовлетворять функция u(x; t). Для этого составим уравнение теплового баланса для выделенного элемента стержня за промежуток времени t.

Количество тепла q(x), входящее через поперечное сечение с абсциссой x за промежуток времени t, определяется соотношением (2.2). Если воспользоваться формулой Тейлора

f(x + x) = f(x) + f0(x) x + o( x);

величина теплового потока, выходящего через сечение x + x, будет сле-

Считаем приращение x настолько малым, что величиной o( x) можно пренебречь.

Если найти разность значений входящего и выходящего тепловых потоков на участке [x; x + x] за время t, получится количество тепла Q,

44

=@x@ k@u@xS x t:

При этом за тот же промежуток времени температура в каждой точке выделенного участка изменилась на величину

u = u(x; t + t) u(x; t) = @u@t t + o( t):

Считаем,что t мало. Пренебрегая величиной o( t), используя соотношение (2.1) и учитывая, что V = S x, получим

Q = c S x@u@t t:

Приравнивая полученные выражения для Q, составим уравнение теплового баланса:

После сокращения на общий множитель S x t получим уравнение

которое называется линейным уравнением теплопроводности без тепловых источников. Если k, c, – постоянные величины, то полученное уравнение можно записать в виде

Число a2 = k называется коэффициентом температуропроводности. c

Предположим теперь, что в некоторых частях стержня находятся источники тепла (выделение или поглощение тепла может происходить в результате прохождения электрического тока, вследствие химической реакции и т. п.). Пусть g(x; t) – функция, описывающая плотность тепловых источников, т. е. такая функция, что на малом участке стержня [x; x+ x] за малый промежуток времени t выделяется или поглощается тепло, равное g(x; t)S x t. Если тепло выделяется, тогда g(x; t) > 0, если поглощается, то g(x; t) < 0.

Если в уравнении (2.3) учесть тепло, выделяемое (поглощаемое) источниками на участке стержня [x; x + x] за время t, тогда уравнение теплового баланса после сокращения на S x t примет вид

45

Это линейное уравнение теплопроводности с учетом источников тепла. Уравнение теплопроводности (2.4) является линейным однородным, а

уравнение (2.5) – линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Очевидно, что однородное уравнение (2.4) имеет тривиальное решение u = 0. Кроме того, любая функция, не зависящая от t и линейная относительно x, удовлетворяет этому уравнению. Из этого следует, что уравнение теплопроводности имеет бесконечное множество решений.

Для того чтобы получить единственное решение, к уравнению теплопроводности добавляют обычно начальное и краевые условия.

2.2. Постановка начально-краевых задач

Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании значений функции u(x; t) в начальный момент времени t = 0:

u(x; 0) = '(x);

где '(x) – функция, описывающая начальную температуру стержня. Краевые (граничные) условия задаются на торцевых концах стержня в точках x = 0 и x = l в соответствии с теплообменом стержня с окружающей средой.

Рассмотрим различные случаи краевых условий.

1.На концах стержня поддерживается заданная температура (в точке x = 0 – температура u0(t), а в точке x = l – температура ul(t)):

u(0; t) = u0(t); u(l; t) = ul(t):

Это условия первого рода, или условия Дирихле.

2. Концы стержня теплоизолированы. Это означает, что поток тепла

k@u@x через единицу поверхности соответствующего конца стержня будет

равен нулю. Тогда краевые условия на концах стержня можно задать следующим образом:

Полученные условия – это однородные условия второго рода, или условия Неймана.

46

В общем случае могут быть известны значения теплового потока на границе: q0(t) (на конце x = 0) и ql(t) (на конце x = l). Тогда краевые условия второго рода записывают в виде

(Если тепло уходит в окружающую среду, то q0(t); ql(t) > 0.)

3. На концах стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. В этом случае поток тепла пропорционален разности температур тела и окружающей среды и краевые условия имеют вид

Здесь h – коэффициент теплоотдачи (h > 0); u0(t), ul(t) – температура среды на концах x = 0 и x = l соответственно. Такие краевые условия называются условиями третьего рода.

Все рассмотренные краевые условия являются линейными. Они могут быть описаны одним соотношением на соответствующей границе:

При R1 = 0 (R2 = 0) получается краевое условие первого рода, при S1 = 0 (S2 = 0) – краевое условие второго рода, а при R1S1 6= 0 (R2S2 6= 0) – условие третьего рода.

4. Если тело находится в вакууме, тогда изменение температуры на границе может происходить вследствие теплоизлучения по закону Стефана– Больцмана. Граничное условие в этом случае, например на конце x = 0, имеет вид

где – постоянная Стефана–Больцмана; u0 – температура окружающей среды. Такое краевое условие, в отличие от рассмотренных ранее, является нелинейным.

При решении прикладных задач на концах x = 0 и x = l могут быть поставлены краевые условия разного рода.

5. Для бесконечного стержня (1 < x < +1) предполагается, что температура в его бесконечно удаленных точках ограничена. Подобные задачи возникают при изучении процесса теплопроводности в очень длинном стержне. Температурный режим на концах такого стержня слабо влияет на температуру в его центральной части. Существенное значение имеет только начальное распределение температуры в стержне.

47