1.10. Уравнение непрерывности
Динамика изменения концентрации неравновесных носителей по времени при наличии генерации и рекомбинации в полупроводнике, а также при протекании электрического тока определяется уравнением непрерывности. Для полупроводника n‑типа уравнение непрерывности будет описывать динамику изменения концентрации дырок pn:
,
(1.31)
где Jp – дырочный ток, включающий дрейфовую и диффузионную компоненту; Gp – темп генерации неравновесных носителей; Rp – темп рекомбинации.
Уравнение непрерывности – это уравнение сохранения числа частиц в единице объема. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных дырок со временем. Во-первых, концентрация дырок может изменяться из-за генерации (ударная ионизация, ионизация под действием света). Во-вторых, концентрация дырок может изменяться из-за их рекомбинации, что учитывает второе слагаемое. В-третьих, концентрация дырок может изменяться из-за дивергенции потока дырок, что учитывает третье слагаемое.
Уравнение непрерывности для электронов имеет вид
,
(1.32)
где Jn – электронный ток, включающий дрейфовую и диффузионную компоненту; Gn – темп генерации неравновесных носителей; Rn – темп рекомбинации.
В условиях термодинамического равновесия рекомбинация электронов полностью уравнивает их тепловую генерацию, поэтому Gn = Rn. Если нет ударной и оптической генерации, то генерация возможна только за счет тепловой энергии. В этом случае можно говорить о результирующем эффекте генерации - рекомбинации, введя обозначение RG = Rn - Gn.
Из многих известных механизмов рекомбинации в кремнии и германии доминирующим является механизм рекомбинации носителей заряда через центры рекомбинации (ловушки).
Центры рекомбинации - это атомы золота, платины, серебра, дефекты кристаллической решетки. Ловушки создают уровни в запрещенной зоне. Наиболее эффективны с точки зрения рекомбинации те уровни, которые близки к середине запрещенной зоны.
В модели рекомбинации носителей заряда через ловушки, имеющие один единственный уровень Ел в запрещенной зоне (модель Шокли - Рида - Холла), темп генерации-рекомбинации носителей заряда определяется выражением
,
(1.33)
где n = n0 + n, p = p0 + p, ni2 = n0p0; n0, p0 - равновесные концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне; n, p - концентрация неравновесных (избыточных) носителей; n, p - полная концентрация электронов и дырок; ni- собственная концентрация носителей; nл, pл- равновесная концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушек Ел; ро,no - время жизни неосновных неравновесных носителей в полупроводниках n и p - типа.
Допустим, что избыточные дырки и электроны введены в равном количестве n = p. При таких условиях выражение (1.33) можно упростить. Допустим, что p n0, то есть избыточная концентрация неосновных носителей дырок - много меньше равновесной концентрации основных носителей. В этом случае говорят о низком уровне инжекции (НУИ). Выражение (1.33) принимает вид:
в полупроводнике n - типа
;
(1.34)
в полупроводнике p - типа
,
(1.35)
где р,n - время жизни дырок и электронов при низком уровне инжекции.
При высоком уровне инжекции (ВУИ) дырок в полупроводнике n - типа, когда p n0, преобразование (1.33) дает:
в полупроводнике n - типа
;
(1.36)
в полупроводнике p - типа
,
(1.37)
где рв,nв - время жизни дырок и электронов при высоком уровне инжекции.
Таким образом, после упрощения уравнения непрерывности (1.31) и (1.32) для дырок и электронов имеют следующий вид:
;
(1.38)
.
(1.39)
Подставим в эти выражения значения плотностей дрейфового и диффузионного тока электронов и дырок, получим уравнения непрерывности в следующем виде:
;
(1.40)
.
(1.41)
Решение этих уравнений не всегда возможно и обычно допускаются упрощения. В случае, когда электрическое поле отсутствует или его влиянием можно пренебречь, уравнения (1.40) и (1.41) упрощаются:
;
(1.42)
.
(1.43)
Эти уравнения называют уравнениями диффузии и используют для анализа физических явлений в некоторых полупроводниковых приборах.