1.4. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике

Полупроводник называется собственным, если в нем отсутствуют донорные и акцепторные примеси. В этом случае электроны появляются в зоне проводимости только за счет теплового заброса из валентной зоны, тогда n = p (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Заброс электронов из валентной зоны

в собственном полупроводнике

При отсутствии внешних воздействий (освещение, электрическое поле и т.д.) будем обозначать концентрации свободных электронов и дырок с индексом нуль, то есть n₀ и p₀ соответственно. При n₀ = p₀ из (1.8) получаем

, (1.9)

где n_i - концентрация собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. Для расчета N_C и N_V используется формула (1.5). Как следует из соотношения (1.9), концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника.

1.5. Концентрация электронов и дырок в примесном полупроводнике

Уравнение (1.8) справедливо только для равновесных носителей заряда, то есть в отсутствие внешних воздействий. В наших обозначениях

. (1.10)

Пусть полупроводник легирован донорами с концентрацией N_D. При комнатной температуре в большинстве полупроводников все доноры ионизованы, так как энергии активации доноров составляют всего несколько сотых электронвольта. Тогда для донорного полупроводника

. (1.11)

Концентрацию дырок в донорном полупроводнике найдем из (1.10):

. (1.12)

На рис. 1.5 приведена зонная диаграмма полупроводника n-типа, показывающая положение энергетических уровней донорной примеси E_D и схематическое соотношение концентраций основных n₀ и неосновных p₀ носителей заряда.

Соответственно, если полупроводник легирован акцепторами с концентрацией N_A, то концентрации основных p₀ и неосновных n₀ носителей заряда будут равны

и . (1.13)

Рис. 1.5. Зонная диаграмма полупроводника n-типа

На рис. 1.6 приведена зонная диаграмма полупроводника p-типа, показывающая положение энергетических уровней акцепторной примеси E_A и схематическое соотношение концентраций основных p₀ и неосновных n₀ носителей заряда.

Рис. 1.6. Зонная диаграмма полупроводника p-типа

1.6. Определение положения уровня Ферми

Для собственного полупроводника уравнение электронейтральности приобретает вид p – n = 0 или p = n. Если ширина запрещенной зоны полупроводника достаточно велика (E_g много больше kT) и если эффективные массы электронов m_n и дырок m_p одного порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон (E_C – F > 2kT и F – E_V > 2kT) и полупроводник будет невырожденным.

Подставляя (1.4) и (1.7) в уравнение p + p_D – n – n_A =0, имеем:

. (1.14)

Отсюда вычисляем F. Уравнение (1.14) – это уравнение первого порядка относительно .

Это дает

(1.15)

где через E_i = ½(E_V + E_C) обозначена энергия середины запрещенной зоны. При выводе правого выражения для F величина (N_C/N_V) была заменена на (m_n/m_p) с помощью уравнения (1.5).

Для случая m_n^* = m_p^* энергия Ферми в собственном полупроводнике находится посреди запрещенной зоны F = (E_C + E_V)/2.

Если известны концентрации носителей заряда в зонах n и p, то значение F можно определить из формул (1.4) и (1.7). Так, для невырожденного полупроводника n-типа имеем

. (1.16)

Аналогично для невырожденного полупроводника p-типа

. (1.17)

Из выражений (1.16) и (1.17) видно, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны. Для донорного полупроводника n = N_D, тогда

. (1.18)

Для акцепторного полупроводника p = N_A, тогда

. (1.19)