10.2. Вычисление ляпуновских показателей

Поскольку критерием хаотической динамики служит присутствие положительного старшего ляпуновского показателя, представляет большой интерес возможность его оценки на основании обработки записи реализаций (временных рядов). Предложенная для этой цели процедура состоит в следующем.

Сначала производится реконструкция аттрактора в фазовом пространстве методом запаздываний и определяется размерность вложения m. Дальнейшая последовательность действий похожа на алгоритм Бенеттина (рис. 10.4).

Рис. 10.4. К алгоритму вычисления ляпуновского

показателя по реализации

Берем за исходную некоторую точку на реконструированном аттракторе и находим, просматривая запись временного ряда, другую точку , находящуюся на малом расстоянии , но не близкую по времени. Затем, используя запись реализации, отслеживаем шаг за шагом динамику при старте из этих двух точек. Когда расстояние между изображающими точками и превысит некоторую заданную величину , остановимся и зафиксируем период времени Т₁, который для этого понадобился, и отношение конечного и начального расстояний . Теперь вновь просмотрим реализацию с тем, чтобы отыскать другую точку старта возмущенной траектории. Она должна быть по возможности близка к точке и сдвинута от нее по направлению, близкому к направлению вектора . Пусть это точка и . Отслеживаем теперь траектории, стартующие из точек и , пока через некоторый следующий период времени Т₂ расстояние не превысит , и вычисляем отношение . Далее процедура повторяется многократно, и ляпуновский показатель оценивается как

, (10.7)

где К – общее число «ступенек» алгоритма.

Процедура оценки ляпуновского показателя требует еще большего объема данных, нежели вычисление корреляционной размерности. Согласно Экману-Рюэлю, если для адекватной оценки размерности нужно М отсчетов, то для оценки ляпуновского показателя в той же ситуации – порядка отсчетов.

Контрольные вопросы и задания

10.1. Как с помощью показателей Ляпунова идентифицировать динамику

динамической системы?

10.2. Коков геометрический смысл показателей Ляпунова?

10.3. Что такое корреляционный интеграл?

Заключение

В пособии изложены современные методы анализа систем, основанных на принципах математического моделирования. Особое внимание было уделено бурно развивающемуся в последние годы разделу математического моделирования – детерминированному хаосу. В рамках настоящего пособия были рассмотрены вопросы идентификации хаотического поведения, основанные на вычислении показателей Ляпунова, а также геометрических методах нелинейного анализа. Отдельное внимание было уделено бифуркациям в динамических системах, рассмотрены различные методы перехода к хаосу через перемежаемость и каскады бифуркаций удвоения периода.

В целом, пособие ориентировано на разнообразные инженерные приложения методов математического моделирования и анализа систем.

Предлагаемое учебное пособие может быть использовано для формирования фундаментальных основ теории моделирования и применения математического аппарата формализации процессов в сложных системах.