4.3. Теоретико-множественный подход к описанию систем

Теоретико-множественный подход в описании систем позволяет предложить следующую обобщенную модель (рис. 4.2, а)

Y = F : X

где:

Y={y₁,…,y_j,…,y_m} – выходная реакция системы;

X={x₁,…,x_j,…,x_n} – множество выходных воздействий;

F={F₁,…,F_j,…,F_m} – множество операторов, реализуемых системой.

Причем F_j F_R – множество физически реализуемых операторов с учетом необходимости соблюдения причинно-следственной связи

F_j(t,A) : X(t,A) → y_j(t-t₀,A),

где: t₀ – задержка реакции системы Y на воздействие Х по времени t; А={α₁,…,α_k,…,α_s} – множество дестабилизирующих факторов, генерируемых множеством угроз Т, которому противостоит множество механизмов М защиты системы.

Иллюстрацией вполне может быть граф (рис. 4.2, а), где:

y_j=F_j(t,X)

и соответствующий ему (n+2)-местный предикат

Г(y_j,F_j,x₁,…,x_n)

или инцидентор на множествах

Г(Y,F,X).

Для информационных пространств СТС X,Y олицетворяют информационные ресурсы (концентраторы и хранители информации), а F - информационно-телекоммуникационные подсистемы (операторы обработки и передачи информации).

С учетом имеющей место задачи обеспечения безопасности системы имеем

Y = F : X (T M).

Тогда постановка этой задачи примет вид

,

где Y_э – множество эталонных значений выходной реакции Y системы;

Е₀ – множество порогов безопасности системы.

При этом могут быть сформулированы также определенные оптимизационные задачи:

- с точки зрения устойчивого функционирования системы;

подсистемы защиты.

Для линейных систем (рис. 4.2,б) последние выражения не претерпят существенного изменения. В этом случае оператор F трансформируется в линейную передаточную функцию Н, где

y_j= , j=1(1)m.

При рассмотрении иерархически организованных систем (рис.4.2) m=1 или

y₀= .

По формуле Мезона для типового звена иерархических систем имеем

y₀= ,

где: x_i – ресурс i-го компонента низшего уровня иерархии;

y₀ – ресурс высшего уровня иерархии;

k_i0 и k_0i – линейные операторы передачи между вышеупомянутыми ресурсами.

Глубина обратной связи для i-го компонента составит

1-L=1- k_i0k_0i,

а петлевая передача

L= k_i0k_0i.

Однако наиболее точную оценку степени защищенности системы возможно получить на основе исследования основного движения при воздействии дестабилизирующих факторов А

Y(t,A) = F(t,A) : X(t,A).

Для этого уместно использовать функции чувствительности

S= - дифференциальной и

- относительной.

X

H

T

Y

Рис. 4.2. Обобщенная структура системы

k_0n

k_n0

Рис 4.3. Типовое звено иерархических систем

Отсюда в первом приближении (без учета производных высшего порядка, что частенько допустимо при монотонной эволюции систем) имеем для дестабилизирующего фактора α_s и m=1 (иерархическая структура) следующее

Осуществляя эквивалентные преобразования последнего выражения, при Y=∑F_i получаем:

или

.

Из данного выражения относительное отклонение для параметра Y будет равно:

,

где = 1 – сумма коэффициентов вклада для каждого входа иерархической системы.

Для линейной модели

для дестабилизирующего фактора α_s, воздействующего на Н_i и x_i, имеем:

.

В результате эквивалентных преобразований с учетом x_i=y/H_i получаем:

.

Таким образом,

или относительное отклонение по аналогии равно:

.

В случае, если угрозы Т воздействуют только на ресурсы системы х_i, получаем:

.

Наоборот при воздействии на инфраструктуру Н_i имеем:

.

Если пороги безопасности заданы в относительном виде:

,

получаем:

.

Отсюда при прогнозируемом относительном отклонении дестабилизирующего фактора Δα_s/α_s = необходимым условием обеспечения безопасности системы является:

.

Снижение значений коэффициента чувствительности будет способствовать увеличению запаса устойчивости системы. Это радикальная стратегия защиты. Однако дороговизна этого проекта вынуждает осуществлять данный подход селективно. Отсюда механизмы защиты М уместно активно применять к каналам, где коэффициенты чувствительности наиболее высоки. Именно они являются в данном случае объектами особой уязвимости при воздействии Т.

В случае, когда вместо α_s используется целый ансамбль факторов А, соответствующее выражение примет вид

.

Однако выводы по критериям безопасности не претерпят принципиальных изменений. Соответствующие выражения могут быть получены.