4.2. Статистический подход к описанию систем

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х, и их вероятностями р, называют законом распределения и либо записывают в виде ряда (таблице), либо представляют в виде зависимостей F(x):

При этом

Рис. 4.1. Представление законов распределения

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (соответственно дискретным законам), либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения - рис. 4.1, б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения - рис. 4.1, г). В этом случае где р(х) -вероятность попадания случайных событий в интервал от x до .

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования:

функции распределения

и плотности вероятности

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы. Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками - начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

1-й начальный момент - математическое ожидание или среднее значение случайной величины:

для дискретных величин,

для непрерывных величин;

2-й центральный момент - дисперсия случайной величины: для непрерывных величин,

На практике иногда используется не дисперсия , а среднее квадратическое отклонение .

Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией — моментом связи; для двумерного распределения обозначаемых:

или m_xy, или M[(x-m_x)(y-m_y)]

Можно использовать ковариацию нормированных отклонений - коэффициент кор­реляции:

где , - нормированные отклонения; среднеквадратические отклонения.

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупно­сти и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т. е. обладать определен­ными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т. е. с определением, являются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной). Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом.