Учебное пособие 1965

Далее рассмотрим основные понятия тензорной алгебры, которые включают алгебраические преобразования (сложение и вычитание, умножение, свертывание), применительно к тензорам второго ранга.

При сложении тензоров одного ранга выполняется следующее правило: суммой тензоров одного ранга называется тензор идентичного ранга, компоненты которого представляют собой суммы соответствующих компонент слагаемых. По аналогии рассматривается и вычитание тензоров одинакового ранга. Естественно, все это справедливо в линейном пространстве, когда при сложении и вычитании тензоров их компоненты не взаимодействуют друг с другом. Отсюда следует весьма важный вывод для параметрического управления внутренними напряжениями различной физической природы: компоненты тензора напряжений разного типа можно алгебраически суммировать с учетом численного значения и знака.

Тензорное исчисление является самостоятельной математической дисциплиной, результаты которой достаточно широко используются при описании различных физических процессов. Этим вопросам посвящены многочисленные публикации. Их подробное рассмотрение выходит за рамки содержания монографии.

Итак, внутренние напряжение различной физической природы в линейной теории механики сплошной среды математически описываются симметричным тензором второго ранга. Это означает, что в линейном пространстве задано тензорное поле внутренних напряжений. Отсюда с очевидностью вытекает принцип суперпозиции, который допускает алгебраическое суммирование компонент тензора внутренних напряжений одного ранга, но разной физической природы. Естественной обоснованностью такой математической операции является скалярный характер компонент тензора внутренних напряжений. Именно в этом заключается математическая сущность процесса управления диффузионной кинетикой точечных дефектов при наличии структурных ловушек на основе внутренних напряжений различной физической природы..

2.3. Структурные ловушки на основе макроскопических внутренних напряжений

Любой кристалл содержит, как правило, структурные несовершенства. Им присущи внутренние напряжения. Последние взаимодействуют с различными точечными дефектами и в конечном итоге определяют кинетику диффузионных процессов. Несовершенства кристаллического строения представляют собой локальные структурные ловушки для точечных дефектов. В окрестности таких ловушек формируются примесные сегрегации и образуются выделения новой фазы по мере достижения предела растворимости при данной температуре. Эти диффузионные процессы носят локальный характер и определяются взаимным расположением структурных ловушек (например, расстояние между краевыми дислокациями при известной скалярной плотности). Если же рассматривать

непрерывное распределение структурных несовершенств, то внутренние напряжения приобретают макроскопический характер.

Соответствующие структурные ловушки для точечных дефектов также рассматриваются в макроскопическом масштабе. В качестве иллюстрации можно назвать остаточные напряжения [51]. Они образуются в элементах конструкций при проведении различных технологических операций, а так же в процессе эксплуатации изделий. Физическую основу остаточных напряжений определяет неоднородное распределение структурных несовершенств (например, неоднородное распределение скалярной плотности краевых дислокаций). В рамках механики сплошной среды появление остаточных напряжений зависит от предела текучести кристалла – одной из основных макроскопических характеристик материала.

Самоуравновешенные остаточные напряжения являются макроскопическими структурными ловушками для точечных дефектов. При этом диффузионные процессы протекают в масштабе элемента конструкции (например, в цилиндрической оболочке). Температурные и концентрационные напряжения также рассматриваются в макроскопическом масштабе. Появление первых из них обусловлено неоднородным распределением температуры, а образование вторых связано с неоднородным распределением концентрации легирующих элементов.

Макроскопические структурные ловушки для точечных дефектов представляют собой неоднородные распределения температуры, примесные атомы и структурные несовершенства. Неоднородности распределения приводят к образованию соответствующих внутренних напряжений: температурных, концентрационных, остаточных. Последние в макроскопическом масштабе взаимодействуют с точечными дефектами. Это сопровождается ускорением (замедлением) кинетики диффузионных процессов.

Рассмотрим эти процессы применительно к цилиндрическим оболочкам. Выбор подобной модельной системы обусловлен многими причинами. Среди них отметим главные. Цилиндрические оболочки (полые цилиндры) являются наиболее распространенными элементами конструкций энергетического машиностроения (например, оболочки тепловыделяющих элементов ядерных реакторов). Внутренние напряжения любой физической природы в упомянутой конструктивной схеме имеют одинаковую координатную зависимость. Это позволяет успешно использовать принцип суперпозиции при наличии внутренних напряжений разного типа. Кроме того, внутренние напряжения в цилиндрических оболочках имеют логарифмическую зависимость от радиальной координаты. Это позволяет получить точное аналитическое решение уравнений диффузионной кинетики с учетом макроскопических структурных ловушек для точечных дефектов.

Энергия связи точечного дефекта с внутренними напряжениями зависит от первого инварианта их тензора. Поэтому при математическом описании упомянутых внутренних напряжений ограничимся приведением этой

характеристики тензора напряжений. Далее последовательно рассмотрим температурные, концентрационные и остаточные внутренние напряжения.

Диффузионные процессы в цилиндрических оболочках протекают существенно медленнее по сравнению с тепловыми процессами. Действительно, коэффициент диффузии точечных дефектов на несколько порядков меньше по отношению к коэффициенту температуропроводности при одинаковой температуре. Поэтому при математическом моделировании диффузионных процессов с учетом макроскопических структурных ловушек на основе термонапряжений следует воспользоваться стационарным распределением температуры. Соответствующая краевая задача математически формулируется следующим образом:

(2.20)

где и − внутренний и внешний радиусы цилиндрической оболочки; и – температуры внутренней и внешней поверхностей оболочки.

Неравенство означает, что температура внутренней поверхности цилиндрической оболочки превышает соответствующее значение на внешней поверхности. Это, как правило, всегда выполняется для оболочек тепловыделяющих элементов.

Решение задачи (2.20) дает стационарное распределение температуры в цилиндрической оболочке:

(2.21) Неоднородное распределение температуры имеет логарифмическую зависимость от радиальной координаты. Подобная зависимость присуща и температурным напряжениям. Для решения задач диффузионной кинетики

важен первый инвариант тензора температурных напряжений:

(2.22)

где индекс «t» означает термонапряжение (thermal);

–коэффициент термического расширения;

–модуль сдвига;

–коэффициент Пуассона.

Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Логарифмическая координатная зависимость гарантирует получение точного аналитического решения уравнения диффузии с учетом температурных напряжений (макроскопические структурные ловушки). Математическая простота получения аналитического решения кроется в том, что в цилиндрической системе координат логарифмическая функция является гармонической (оператор Лапласа равен нулю), а градиент этой функции соответствует одному из членов оператора Лапласа в той же системе координат.

Диффузия точечных дефектов зависит от градиента . Поэтому постоянные соотношения (2.22) исчезают при дифференцировании. Однако для равновесных концентраций точечных дефектов (экспоненциальная зависимость от ) необходимо учитывать и постоянные соотношения (2.22).

Соотношение (2.22) можно представить в ином виде:

(2.23) С точностью до постоянной (определенный интеграл) величина пропорциональна распределению температуры. Поэтому при решении уравнений диффузионной кинетики отсутствует необходимость в определении термонапряженного состояния, поскольку градиенты и Т совпадают после

перенормировки постоянных.

Градиент температуры определяет термодиффузию точечных дефектов. В тоже время градиент термонапряжений также пропорционален градиенту температуры. Поэтому при решении уравнений диффузионной кинетики с учетом градиентов температуры и термонапряжений можно использовать соотношение (2.23). Естественно, необходимо каждый раз отслеживать соответствующие постоянные. Другими словами, неоднородное температурное распределение является макроскопической ловушкой для точечных дефектов вследствие влияния термодиффузии и термонапряжений. Более подробно эти вопросы рассматриваются в следующих разделах монографии.

Неоднородное распределение легирующих элементов в элементах конструкций сопровождается появлением концентрационных напряжений. Концентрацию примесных атомов рассматривают как непрерывную функцию координат. Это означает, что в малом объеме сосредоточено значительное количество примесных атомов и между ними существует определенное взаимодействие.

Ограниченное использование концентрационных напряжений в уравнениях диффузионной кинетики обусловлено тем, что при повышенных температурах система переходит в равновесное состояние за счет диффузионных процессов. Однако для некоторых точечных дефектов с высокой диффузионной подвижностью (например, атомы водорода) концентрационные напряжения также являются макроскопическими структурными ловушками. Это существенно при определенных температурах (например, при комнатных), когда коэффициент диффузии атомов водорода на несколько порядков превышает соответствующее значение для примесей замещения и других примесей внедрения.

Определение концентрационных напряжений осуществляют по аналогии с температурными напряжениями. При этом коэффициенту термического расширения ставится в соответствие изменение параметра кристаллической решетки за счет единичной концентрации атомов примеси. Перенормировка постоянных в уравнениях термоупругости позволяет записать первый инвариант тензора концентрационных напряжений по аналогии с выражением (2.22):

(2.24)

где индекс «c» означает концентрационные напряжения (concentration);

C1 и C2 – концентрации атомов примеси на поверхностях цилиндрической оболочки (C1>C2) внутренней и внешней соответственно;

– неоднородная концентрационная деформация по аналогии с температурной деформацией .

Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Видно, что первый инвариант тензора концентрационных напряжений в цилиндрической оболочке также имеет идентичную логарифмическую зависимость от радиальной координаты.

Параметр определяет относительное изменение межплоскостного

расстояния в зависимости от концентрации атомов примеси. Соотношение (2.24) получено из решения стационарной задачи по распределению концентрации атомов примеси в цилиндрической оболочке. Соответствующая задача математически формулируется следующим образом:

(2.25)

при , при .

С точностью до обозначений эта задача идентична стационарному распределению температуры. Поэтому можно сразу же записать распределение концентрации атомов примеси в цилиндрической оболочке:

(2.26)

Все обозначения остаются прежними.

Ранее отмечалось, что остаточные напряжения возникают в элементах конструкций при проведении различных технологических операций, а также при эксплуатации изделий. Основная причина появления остаточных напряжений – неоднородное распределение структурных несовершенств. Последние возникают тогда, когда сдвиговые напряжения превышают предел текучести материала при данной температуре.

При этом любая элементарная частица металлического тела переходит из упругого состояния в пластическое, когда интенсивность напряжения достигает величины, равной напряжению текучести при линейно пластическом напряженном состоянии. В момент наступления пластического состояния интенсивность напряжения σi, в соответствии с условием пластичности Губера

– Мизеса, становится равной истинному пределу текучести σS. Чаще всего используют условие текучести Мизеса [52]. Это условие математически записывается следующим образом:

(2.27)

,

где – главные нормальные напряжения в кристалле;

– предел текучести кристалла при одноосном растяжении.

Физический смысл приведенного соотношения объясняется с позиции теории дислокаций. Всестороннее гидростатическое сжатие или растяжение не приводит к пластическому течению материала. Другими словами, при гидростатическом нагружении кристалла остаточные напряжения не возникают. Этот результат согласуется с экспериментальными данными и имеет физическое объяснение в теории дислокаций.

Пластическая деформация кристалла обусловлена только сдвиговыми компонентами тензора напряжений. Последние обеспечивают скольжение и размножение краевых дислокаций, которые как раз и создают неоднородную внутреннюю деформацию. При всестороннем растяжении или сжатии скольжение краевых дислокаций отсутствует и потому их скалярная плотность не меняется. Если цилиндрическая оболочка подвергается внутреннему давлению, то при определенных условиях начинается пластическое течение. Оно зарождается на внутренней поверхности оболочки и далее захватывает весь объем. После устранения внешнего давления возникают самоуравновешенные остаточные напряжения. Они представляют собой макроскопические структурные ловушки для точечных дефектов. Первый инвариант тензора остаточных напряжений имеет логарифмическую зависимость от реальной координаты (состояние плоской деформации при свободных от нагрузок торцевых поверхностей) [53]:

(2.28)

где– предел текучести кристалла в условиях идеальной пластичности.

При (е – основание натуральных логарифмов) величина принимает только положительное значение и возрастает по мере приближения к внешней поверхности оболочки. Такой характер распределения остаточных напряжений вызывает диффузионную миграцию точечных дефектов большого атомного радиуса от внутренней поверхности оболочки к внешней стороне.

Соотношение (2.28) принимает нулевое значение при условии:

отрицательное значение на внутренней поверхности оболочки и положительное на внешней поверхности. И снова большеразмерные точечные дефекты диффузионно мигрируют от внутренней поверхности оболочки к внешней стороне. Остаточные напряжения в цилиндрической оболочке являются макроскопической структурной ловушкой для точечных дефектов. Внутренние напряжения макроскопического масштаба в цилиндрической оболочке можно создать следующим образом.

Цилиндрические оболочки представляют собой двусвязные области. В таких системах можно найти внутренний контур, который обязательно захватит свободную полость (например, контур в виде окружности по всему периметру цилиндрической оболочки). Подобный контур невозможно стянуть в точку внутри сплошного материала.

Внутренние напряжения возникают, как правило, в многосвязных системах. Двусвязная область в виде цилиндрической оболочки превращается в односвязную область путем проведения радиального разреза. Двум поверхностям разреза придается малое относительное смещение. Далее нарушение сплошности системы восстанавливается за счет удаления или добавления материала. После проведения этой операции область снова становится двусвязной, но уже с внутренними напряжениями. Характер

распределения последних зависит от типа относительного смещения берегов разреза оболочки. Смещение в виде сектора соответствует дисклинационному характеру внутренних напряжений в макроскопическом масштабе [35]. Первый инвариант тензора дисклинационных внутренних напряжений в цилиндрической оболочке имеет вид:

(2.29)

где – угол поворота берегов разреза цилиндрической оболочки;

индекс «d» означает дисклинационный характер (disclination) остаточных напряжений.

Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Разные типы внутренних напряжений (температурные, концентрационные, остаточные) в цилиндрической оболочке имеют логарифмическую зависимость от радиальной координаты. Это позволяет на основе принципа суперпозиции в линейной теории осуществлять параметрическое управление макроскопическими структурными ловушками при диффузионной миграции точечных дефектов.

2.4. Внутренние напряжения в окрестности структурных несовершенств

Локальными структурными ловушками для точечных дефектов являются несовершенства кристаллического строения. Они обладают внутренними напряжениями и потому упруго взаимодействуют с точечными дефектами различного типа: примеси замещения и внедрения, межузельные атомы и вакансии. Если атомный радиус примеси замещения превышает соответствующее значение для атома основного кристалла, то эта примесь диффузионно мигрирует в область растягивающих внутренних напряжений. В окрестности структурных несовершенств с такими внутренними напряжениями образуются примесные сегрегации. При достижении предела растворимости при данной температуре формируется зародыш новой фазы. Другими словами, несовершенства кристаллического строения являются локальными ловушками для точечных дефектов.

Возможности ловушек зависят от уровня и характера распределения внутренних напряжений. Поэтому далее рассмотрим основные дефекты кристалла и внутренние напряжения в их окрестности. Именно внутренние напряжения определяют способность ловушек изменять диффузионную кинетику точечных дефектов.

Внутренние напряжения в окрестности структурных дефектов определяют с использованием методов механики сплошной среды. Это восходит к работе итальянского математика В. Вольтерра (1907 г.), где приведены простые и компактные соотношения для некоторых задач теории упругости. Полученные выражения были востребованы десятилетия спустя (1934 г.) после осознанного понимания физической сущности пластической деформации кристалла.

Математический метод В. Вольтерра заключался в следующем. Рассматривается двусвязная область в виде длинного полого цилиндра (состояние плоской деформации) без внутренних напряжений. Двусвязная область превращалась в односвязную область путем радиального разреза. Поверхностям разреза придавалось малое относительное смещение. Нарушение сплошности системы восстанавливалось за счет добавления или удаления материала. Система снова становилась двусвязной, но уже с внутренними напряжениями. Всего было получено шесть вариантов различных внутренних напряжений. Частным случаем последних являются краевые дислокации и клиновые дисклинации, которые нашли непосредственное применение в теоретическом материаловедении и физике твердого тела [34, 35].

Первый инвариант тензора внутренних напряжений клиновой дисклинации имеет логарифмическую зависимость от радиальной координаты. Это позволяет получить точное аналитическое решение уравнений диффузионной кинетики для локальной структурной ловушки.

Сохраняя общность, рассмотрим внутренние напряжения в окрестности краевой дислокации. В общем случае длина дислокационной линии существенно превышает размеры в поперечном сечении (характерный размер ядра дислокации). Поэтому все поперечные сечения деформируются одинаково и только в осевой плоскости (состояние плоской деформации). Компоненты тензора напряжений выражаются через функцию напряжений (функция Эри). В декартовой системе координат компоненты тензора напряжений имеют вид:

(2.30)

где F – функция напряжений; v– коэффициент Пуассона.

Функция F находится из решения бигармонического уравнения и для краевой дислокации имеет вид:

(2.31)

где μ– модуль сдвига;

b– модуль вектора Бюргерса краевой дислокации.

На основе соотношений (2.30) и (2.31) легко получить компоненты тензора напряжений краевой дислокации в декартовой системе координат. Энергия связи точечного дефекта с краевой дислокацией зависит от первого инварианта тензора внутренних напряжений (сумма диагональных компонент тензора второго ранга). В декартовых координатах эта характеристика краевой дислокации имеет вид:

(2.32)

Все обозначения соответствуют принятым ранее.

Экстраплоскость краевой дислокации соответствует положительному направлению оси ординат. Поэтому имеем:

при напряжения сжатия,

и при напряжения растяжения.

В цилиндрической системе координат величина зависит от радиуса r и от угла θ:

(2.33)

Отсчет угловой зависимости осуществляют против часовой стрелки. Поэтому для принятого выбора экстраплоскости краевой дислокации

имеем:

при напряжения сжатия,

а при напряжения растяжения.

Общепринятая упругая модель краевой дислокации показывает, что растягивающие и сжимающие напряжения в окрестности краевой дислокации разнесены на характерный размер ядра дислокации. Введение этого параметра (несколько межатомных расстояний) устраняет сингулярность компонент тензора напряжений при условии .

Поэтому краевую дислокацию можно рассматривать как дислокационный диполь со слабо разнесенными внутренними напряжениями разного знака. Физически это означает, что краевая дислокация является локальной структурной ловушкой для больше- и малоразмерных точечных дефектов. Энергия связи точечных дефектов с краевой дислокацией определяется только изменением объема при размещении точечного дефекта. Поскольку в принятой модели величина (модуль) одинакова для напряжений сжатия и растяжения. Если кристалл содержит примеси замещения одного атомного радиуса (например, большеразмерные примеси), то они преимущественно мигрируют в область напряжений растяжений и вытесняются из области напряжений сжатия. Так возникает некоторое «волновое» распределение примесей замещения.

Характерный размер соответствующих «волн» зависит от скалярной плотности краевых дислокаций. Вполне допустимо, что именно с этим явлением связан спинодальный распад твердого раствора вследствие восходящей диффузии (противоположно градиенту концентрации). В самом деле, при отсутствии структурных дефектов твердый раствор из примесей одного сорта остается неизменным. При постоянной температуре химический потенциал примесного атома однороден (отсутствует термодинамическая движущая сила диффузионного процесса).

Все неоднородности точечных дефектов (включая и спинодальный распад твердого раствора) обусловлены внутренними напряжениями различной физической природы. Отметим, что внутренние напряжения могут возникать в кристалле и при отсутствии структурных несовершенств, а исключительно за счет флуктуации состава. Эти напряжения как раз и определяют восходящую диффузию при спинодальном распаде твердого раствора [54].

Рассмотрим качественную картину этого процесса. Пусть имеется твердый раствор из двух типов примесей замещения: большого и малого атомных радиусов. При некоторых условиях возникло локальное увеличение концентрации большеразмерных примесей замещения и образование

напряжений сжатия. В эту область сжимающих внутренних напряжений мигрируют малоразмерные примеси замещения. Это и есть восходящая диффузия, которая определяет спинодальный распад твердого раствора из малоразмерных примесей замещения. Вопросы спинодального распада твердых растворов представляют самостоятельный интерес и в данной монографии подробно не рассматриваются. В рамках содержания монографии локальное нарушение состава представляет собой примесную ловушку для точечных дефектов.

Краевые дислокации в кристалле образуют различные системы. Среди них отметим следующие: скопление краевых дислокаций у препятствия, полигональная стенка краевых дислокаций, межузельные и вакансионные дислокационные петли. Внутренние напряжения в подобных системах определяют с использованием принципа суперпозиции в линейной теории механики сплошной среды. Упомянутые несовершенства кристаллического строения также являются структурными ловушками для точечных дефектов.

Рассмотрим их более основательно. Под действием сдвиговых напряжений около препятствия (например, границы зерна или выделение новой фазы) образуется скопление краевых дислокаций. Первый инвариант тензора внутренних напряжений в окрестности скопления краевых дислокаций у препятствия определяется из выражения:

(2.34)

где – напряжение сдвига в действующей плоскости скольжения; v – коэффициент Пуассона;

L – длина скопления краевых дислокаций; r – радиальная координата.

Длина скопления краевых дислокаций L находится из выражения:

(2.35)

где μ – модуль сдвига;

b– модуль вектора Бюргерса краевой дислокации; n – число краевых дислокаций в скоплении.

Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Характер распределения внутренних напряжений в окрестности скопления краевых дислокаций идентичен таковым у вершины сдвиговой трещины. Это означает, что в области выхода экстраплоскостей краевых дислокаций кристалл находится в состоянии сжатия, а противоположная область – в состоянии растяжения. Поэтому данная структурная ловушка может одновременно захватывать больше- и малоразмерные точечные дефекты. При этом область диффузионной миграции существенно расширяется по сравнению с единичной краевой дислокацией.

Подобный характер распределения внутренних напряжений присущ горизонтальному ряду краевых дислокаций, которые расположены на равных расстояниях друг от друга. Такие системы дислокаций (эпитаксиальные дислокации) используют при моделировании сопряжения пленок и подложек с разным параметром кристаллической решетки, а также при моделировании