Учебное пособие 1965

координаты). Изменение размера цилиндра происходит только за счет теплового расширения материала, так как самоуравновешенные термонапряжения не вызывают размерные изменения системы. Естественно, это справедливо в линейной теории механики сплошной среды.

Трактовка внутренних напряжений с позиции нарушения локальной симметрии системы при сохранении глобальной является общефизической и присуща всем типам внутренних напряжений. Поэтому для их количественного описания используется единый математический формализм. Если говорить образно, то материал не «знает» причину неоднородной деформации и потому математически одинаково «откликается» на появление внутренних напряжений.

Появление концентрационных напряжений обусловлено неоднородной концентрацией легирующих элементов. К ним принадлежат примеси замещения и внедрения, а также межузельные атомы и вакансии радиационного происхождения. Концентрация точечных дефектов рассматривается в континуальном приближении. Физически это означает, что в малом объеме кристалла сосредоточено значительное количество точечных дефектов. Поэтому распределение их концентрации можно рассматривать как непрерывную функцию в соответствующих координатах.

Неоднородная концентрационная деформация определяется по аналогии с температурной деформацией. Коэффициенту термического расширения ставится в соответствие изменение линейных размеров кристалла в зависимости от концентрации точечных дефектов. Принятая модель позволяет использовать известные уравнения математической физики для получения количественных результатов. Непрерывное распределение концентрации точечных дефектов неявно предполагает, что между ними существует взаимодействие. Такая система точечных дефектов представляет собой макроскопическую примесную ловушку для малой концентрации иных точечных дефектов. Так, например, атомы водорода диффузионно мигрируют в неоднородном поле концентрационных напряжений из примесей замещения. Это вполне правомочно, поскольку диффузионная подвижность атомов водорода при пониженных температурах (например, при комнатной температуре) существенно превышает указанную характеристику для обычных примесей замещения. При низкой концентрации точечные дефекты сохраняют свою независимость. Локальные напряжения в окрестности точечного дефекта весьма быстро убывают с расстоянием. Поэтому с позиции механики сплошной среды концентрационные напряжения отсутствуют. В этом случае точечные дефекты являются локальными примесными ловушками для иных легирующих элементов.

Физический смысл концентрационных напряжений идентичен температурным напряжениям. Метод их определения сводится к перенормировке постоянных в уравнениях термоупругости. Роль концентрационных напряжений в обеспечении прочности элементов конструкций менее значима по сравнению с термонапряжениями. Однако в отдельных случаях диффузионное перераспределение некоторых примесей

внедрения (например, атомов водорода) в поле концентрационных напряжений из примесей замещения или примесей внедрения другого сорта (например, углерода) является определяющим. Атомы водорода изменяют свою диффузионную подвижность при наличии макроскопической примесной ловушки.

Остаточные напряжения принадлежат к частному случаю внутренних напряжений [45]. Они возникают в материале при проведении различных технологических операций изготовления изделий, а также при эксплуатации элементов конструкций. Так, например, при значительных температурных перепадах уровень возникающих термонапряжений превышает предел текучести материала и начинается пластическое течение. После исключения температурного воздействия в материале возникают остаточные напряжения. Напряжения при внешнем нагружении суммируются с остаточными напряжениями и вызывают необратимое изменение структуры материала. В макроскопическом масштабе наблюдают повреждение материала в виде образования микротрещин.

Остаточные напряжения возникают в том случае, когда при проведении технологических операций или в процессе эксплуатации изделий величина внутренних напряжений превышает предел текучести материала. Под этим названием понимают уровень напряжений, который приводит к остаточной деформации 0,2 %. Эта прочностная характеристика материала имеет специфическое обозначение (иногда встречается обозначение ). Предел текучести в общем случае характеризует сопротивление материала пластической деформации. Условной границей перехода от упругой деформации к пластической является предел текучести материала. Именно эта прочностная характеристика определяет величину и характер распределения остаточных напряжений в континуальном приближении.

Физический механизм образования остаточных напряжений заключается в следующем. При внешних воздействиях (силовых, температурных, радиационных) происходят структурные изменения. Они обусловлены зарождением и перераспределением структурных дефектов разного уровня. Это вытекает из термодинамического принципа Ле-Шателье: если система подвергается внешнему воздействию, то в ней инициируются процессы, стремящиеся ослабить это воздействие [46]. Система с остаточными напряжениями находится в метастабильном состоянии. В определенных условиях она может существовать длительное время. Внешние условия (нагрузка, температура, облучение) ускоряют переход системы из метастабильного состояния в стабильное.

Остаточные напряжения часто имеют определенное название в зависимости от технологического процесса их возникновения. Сварочные напряжения возникают при резком локальном изменении температуры вплоть до температуры плавления. После охлаждения изделия остается неоднородная внутренняя деформация. Последняя определяет величину и характер распределения остаточных напряжений при сварке. Количественное

определение сварочных напряжений вызывает определенные трудности. Они относятся к выбору приемлемой физической модели протекающего процесса. При кристаллизации металла из расплава также возникают остаточные напряжения. По физической сущности они не отличаются от напряжений при сварке. Внутренняя деформация обусловлена скалярной плотностью краевых дислокаций, которые зарождаются в материале при релаксации температурных напряжений. Получение материала из расплава сопровождается образованием температурного перепада. Предел текучести материала при высокой температуре весьма мал. Поэтому даже незначительный температурный перепад приводит к появлению остаточных напряжений [47]. Их неоднородное распределение следует рассматривать как макроскопическую ловушку для точечных дефектов. Так, например, примеси замещения большого атомного радиуса диффузионно мигрируют в область остаточных напряжений растяжения.

Структурными ловушками для точечных дефектов являются несовершенства кристалла. Они обладают внутренними напряжениями и потому взаимодействуют с точечными дефектами. Диффузионная кинетика последних меняется в зависимости от характера распределения внутренних напряжений в окрестности структурных несовершенств кристалла. Каждому дефекту кристаллического строения присуща упругая модель в рамках механики сплошной среды. Это позволяет определять внутренние напряжения с использованием методов механики деформируемого твердого тела. Правомочность подобного подхода обусловлена тем, что предел текучести идеального кристалла (без структурных несовершенств) на два – три порядка превышает эту характеристику для реального кристалла. Поэтому пространственное окружение любого дефекта кристаллического строения следует рассматривать как идеальное и использовать хорошо освоенные методы линейной теории упругости [48, 49].

Среди дефектов кристалла особое место занимают краевые и винтовые дислокации. Неизбежность появления этих моделей была обусловлена целым рядом экспериментальных фактов, которые не соответствовали известным представлениям. Так, например, экспериментальное значение сдвиговой прочности кристалла весьма значительно отличалось от теоретического описания. Вместе с тем рентгеноструктурный анализ показывал, что после любой пластической деформации кристаллическая решетка металла сохраняется. Пластическая деформация осуществляется по избранным плоскостям скольжения и их кристаллографические индексы для конкретного кристалла остаются неизменными. Для устранения указанных противоречий были предложены кристаллографические модели структурных дефектов – дислокации. Количественное описание внутренних напряжений основано на упругих моделях В. Вольтерра. Решение абстрактной математической задачи теории упругости оказалось востребованным через десятилетия и получило новое воплощение. Первые упоминания о носителях пластической деформации (дислокациях) появились спустя десятилетия после публикации В. Вольтерра.

Оказалось, что математическое описание внутренних напряжений в окрестности предложенных моделей уже готово. Осталось только придать физический смысл некоторым постоянным. А дальше началось «всенаучное» шествие теории дислокаций для объяснения широкого спектра структурных перестроек реального кристалла. Математические особенности внутренних напряжений в окрестности структурных ловушек для точечных дефектов рассматриваются в следующем параграфе.

2.2. Математические особенности при моделировании внутренних напряжений

Структурными ловушками для точечных дефектов являются несовершенства кристалла. Их математическое описание осуществляется на основе внутренних напряжений. Последние используют также при описании макроскопических ловушек для точечных дефектов. Речь идет о температурных, концентрационных и остаточных внутренних напряжениях. Физическая природа структурных и макроскопических ловушек с позиции теории внутренних напряжений рассматривалась в предыдущем параграфе данной главы. В этом параграфе предполагается раскрыть некоторые характерные особенности при математическом описании внутренних напряжений различной физической природы. Это необходимо для более ясного и глубокого понимания сущности управления диффузионной кинетикой точечных дефектов при наличии широкого спектра ловушек различного происхождения.

Если упругое тело закрепить так, чтобы оно не могло перемещаться как абсолютно твёрдое тело, и приложить внешние нагрузки, то перемещения любой его точки будут вызываться только деформациями этого тела. После деформации тела точка переместится в новое положение. Обозначим три компоненты (проекции) вектора u перемещения на оси координат x, y, z, соответственно, через , , .

Вконтинуальном приближении внутренняя деформация в объёме кристалла представляет собой непрерывную функцию соответствующих координат. При отсутствии нарушения сплошности кристалла (выполняется условие совместности деформаций) расчет внутренних напряжений осуществляют с использованием уравнений математической физики. Основу решения соответствующих задач составляют три главных положения из разных научных разделов: механика, геометрия, физика. Из механики привлекаются уравнения равновесия (статика) или уравнения движения (динамика).

Вобщем виде эти уравнения записываются следующим образом:

(2.1)

где для декартовых координат

–тензор напряжений;

–перемещения;

–плотность кристалла.

В декартовых координатах соотношение (2.1) принимает вид:

(2.2)

где – перемещения по направлениям координатных осей;

–компоненты тензора напряжений.

Всвою очередь, являются функциями координат (x, y, z) и могут быть также представлены через проекции, на координатные оси; – девять компонент тензора напряжений .

Тензор напряжения описывает деформированное состояние в данной точке твёрдого тела.

Диагональные компоненты характеризуют напряжения вдоль координатных осей декартовой системы координат. Их алгебраическая сумма представляет собой первый инвариант тензора напряжений. Последний используют при определении энергии связи точечных дефектов с внутренними напряжениями (соотношение (1.1) Глава I.). Сдвиговые компоненты тензора

напряжений (например, xy ) характеризуют напряжения сдвига вдоль оси x (первый индекс) перпендикулярно к оси y (второй индекс). Эти компоненты тензора напряжений симметричны. Симметрия присуща и другим сдвиговым компонентам тензора напряжений.

Среди элементов конструкций различных изделий определенное место занимают цилиндрические и сферические оболочки (например, оболочки тепловыделяющих элементов ядерных реакторов). Поэтому далее приведем соотношение (2.1) в цилиндрической системе координат:

(2.3)

где – радиальные напряжения;

–окружные напряжения;

–продольные напряжения;

–напряжения сдвига вдоль радиуса цилиндрической оболочки и перпендикулярно к ее оси. Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Для сферической системы координат вследствие симметрии уравнения равновесия (движения) записываются ещё более лаконично:

где – компоненты тензора напряжений в сферических координатах Геометрические соотношения устанавливают связь между деформациями

и перемещениями, и также включают условие совместности деформаций. Под этим названием понимают отсутствие нарушений сплошности в объеме кристалла при пластической деформации. Совместность деформаций оплачивается ценою образования внутренних напряжений (нарушением локальной симметрии кристалла при сохранении глобальной).

Геометрические соотношения между перемещениями и деформациями в декартовой системе координат определяются формулами (2.5) для шести функций деформаций в следующих точках:

(2.5)

Отметим, что диагональные компоненты , , характеризуют деформации вдоль координатных осей декартовой системы координат, их сумма – относительное объемное расширение кристалла.

Отсюда непосредственно вытекает физический смысл совместности деформаций: относительное объемное расширение кристалла определяется суммой диагональных компонентов тензора деформаций. Если возникает нарушение сплошности кристалла, то условие совместности деформаций не выполняется. Кристалл приобретает дополнительное объемное расширение (например, за счет образования микротрещин).

В цилиндрической системе координат соответствующие геометрические соотношения принимают вид:

(2.6) где – относительные деформации вдоль координатных осей . Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Условие совместности деформаций имеет тот же физический смысл, что и для декартовой системы координат.

Геометрические соотношения для сферической системы координат записываются достаточно просто:

(2.7) где – относительные деформации вдоль координатных осей Остальные обозначения сохраняют свой прежний смысл.

Физика устанавливает связь между напряжениями и деформациями в виде закона Гука. Напряжения зависят от деформаций по линейному закону с определенным коэффициентом пропорциональности. При растяжении (сжатии) им является модуль Юнга – упругая характеристика кристалла. Модуль Юнга определяется межатомным взаимодействием в континуальном приближении. При отсутствии внешнего нагружения атомы кристалла находятся в состоянии теплового равновесия. Если выделить произвольный объем внутри кристалла, то взаимодействие со стороны других объемов отсутствует. При нагружении расположение атомов кристалла меняется, и возникают силы, стремящиеся вернуть кристалл в состояние равновесия. Эти внутренние силы в континуальном приближении представляют собой внутренние напряжения. Коэффициентом пропорциональности между напряжениями и деформациями в линейной теории как раз и является упругая характеристика кристалла – модуль Юнга.

Каждому кристаллу присущи свои характерные особенности межатомного взаимодействия. Поэтому упругие характеристики разных кристаллов отличаются друг от друга в зависимости от взаимодействия между атомами. Для иллюстрации рассмотрим прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным осям. Вдоль оси x действует напряжение . Относительное удлинение вдоль этой координатной оси подчиняется зависимости: (2.8)

где E – модуль упругости (модуль Юнга) при растяжении.

Модуль Юнга - физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации.

Удлинение вдоль оси x при сохранении объема сопровождается уменьшением размеров в поперечном направлении вдоль осей y и z:

Удлинение вдоль оси x при сохранении объема сопровождается уменьшением размеров в поперечном направлении вдоль осей y и z:

(2.9)

где – коэффициент Пуассона.

Коэффициент Пуассона характеризует степень сжатия при заданном удлинении. Это физическое явление учитывается коэффициентом Пуассона (коэффициентом поперечного сжатия) – абсолютным значением отношения относительной поперечной деформации тела к относительной продольной деформации. Коэффициент Пуассона в совокупности с модулем Юнга E является характеристикой упругих свойств материала.

В линейной теории механики сплошной среды выполняется принцип суперпозиции, который допускает алгебраическое суммирование компонентов тензора напряжений. Использование этого принципа позволяет получить зависимость между напряжениями и деформациями для полного набора нормальных напряжений:

(2.10) Ещё одной физической величиной, характеризующей упругие свойства материалов и их способность сопротивляться сдвигающим деформациям является модуль сдвига (μ), определяемый отношением касательного

напряжения (например, xy ) к углу сдвига.

Существует соотношение между модулем сдвига μ и модулем Юнга E с участием коэффициента Пуассона :

(2.11) Любую из этих величин можно определить, если известны две другие.

Приведенные соотношения подтверждены многочисленными экспериментами. Упругие характеристики кристалла существенно превышают уровень возникающих напряжений вплоть до предела пропорциональности (наступление пластического течения в макроскопическом масштабе). Поэтому относительные деформации в любой координатной системе являются малыми величинами.

Приведем еще одно полезное соотношение. Кинетика диффузионных процессов зависит от первого инварианта тензора напряжений (сумма диагональных компонент). Связь между первыми инвариантами деформаций и напряжений выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона:

(2.12) где – объемное расширение кристалла при наличии полного набора диагональных компонент тензора деформаций;

– первый инвариант тензора напряжений.

Внутренние напряжения в механике сплошной среды описываются симметричным тензором второго ранга. Тензорный характер внутренних напряжений обусловлен континуальным приближением в трехмерном пространстве (нерелятивистское описание) [49]. Затронем этот подход с приемлемой подробностью.

При отсутствии объемной деформации отдельные элементы кристалла находятся в механическом равновесии. Для любого элементарного объема внутри кристалла равнодействующая всех сил со стороны других частей равна нулю. При внешнем нагружении расположение атомов меняется, и кристалл приобретает неравновесное состояние. Возникающие при деформации внутренние силы получили название внутренних напряжений. Для произвольного объема равнодействующая всех внутренних напряжений может быть представлена в виде интеграла по поверхности этого объема. Компоненты поверхностных сил являются вектором в трехмерном пространстве. Интеграл от вектора по произвольному объему можно преобразовать в интеграл по поверхности только в том случае, если вектор является дивергенцией некоторого тензора второго ранга. Таким образом, в общем случае внутренние напряжения любой физической природы описываются симметричным тензором второго ранга. Математически это вытекает из выражения:

(2.13)

где – трехкомпонентный вектор поверхностных сил;

– тензор внутренних напряжений.

Внутренние напряжения различной физической природы определяются, как правило, с использованием линейной теории механики сплошной среды. Под линейностью, в широком смысле этого слова, понимают то, что любое действие зависит линейно от вызывающей его причины с определенным коэффициентом пропорциональности. Математически это означает, что функция зависит от аргумента только в первой степени.

В линейной теории выполняется принцип суперпозиции – аддитивность решений линейных уравнений. Этот принцип является общефизическим и повсеместно применяется в физических теориях. Так, например, любое электростатическое поле является суммой полей отдельных источников. Пусть в объеме имеются источники электростатических полей . Каждый источник создает в своей окрестности собственное электростатическое поле напряженностью . Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность аддитивен по источникам поля при отсутствии их взаимодействия. Математически это записывается следующим образом:

произведению 4π на полный заряд внутри объема. Принцип суперпозиции внутренних напряжений (их аддитивность) используется в механике сплошной среды.

Отсутствие взаимодействия напряжений в линейной теории восходит к теореме Колонетти [34]. Она формулируется следующим образом: полная упругая энергия системы не зависит от взаимодействия между внутренними и внешними напряжениями. Естественно, это справедливо только в линейной теории упругости. Любое отклонение от линейности сопровождается взаимодействием между внутренними напряжениями. Внутренние напряжения в рамках линейной теории механики сплошной среды математически описываются симметричным тензором второго ранга.

Далее с приемлемой подробностью рассмотрим тензорный характер этих напряжений и принцип суперпозиции при таком описании. Это имеет самое непосредственное отношение к параметрическому управлению внутренними напряжениями при математическом моделировании структурных ловушек в диффузионной кинетике.

Симметричный тензор второго ранга применительно к внутренним напряжениям математически записывается следующим образом (декартова система координат):

где – нормальные компоненты тензора напряжений;

–сдвиговые компоненты соответствующих напряжений.

Симметричность компонент тензора напряжений означает равенство

сдвиговых напряжений при перестановке индексов .

При математическом моделировании физических процессов общепринятыми считаются такие понятия как скаляры, векторы и тензоры. Их можно рассматривать единым образом на основе тензорных представлений [50].

Сохраняя общность, рассмотрим эти понятия применительно к процессу параметрического управления внутренними напряжениями в диффузионной кинетике. Последние образуются вследствие неоднородного распределения температуры, концентрации точечных дефектов и структурных несовершенств. Перечисленные неоднородности являются скалярами. Их можно рассматривать как тензоры нулевого ранга. Для их однозначного определения требуется одно число или функция. Скаляр имеет одну компоненту, полностью определяется в любой координатной системе и остается инвариантным при изменении пространственной системы координат. Этим признакам полностью удовлетворяет температура, концентрация легирующих элементов, скалярная плотность краевых дислокаций.

Диффузионная кинетика точечных дефектов зависит от градиента скалярного поля (например, температуры и концентрации атомов примеси). Градиент температуры определяет термодиффузию, а градиент концентрации характеризует направление диффузионных потоков точечных дефектов. Градиент скалярного поля является вектором или тензором первого ранга. Для его полного определения необходимо знать три числа или функции с учетом

численного значения и направления. Отметим, что вектор не является набором трех скаляров. Это обусловлено тем, что скаляры инвариантны по отношению к преобразованию координат, а компоненты вектора меняются при изменении системы координат. В этом заключается принципиальное отличие векторного поля от скалярного поля. При этом абсолютная величина вектора остается неизменной в любой координатной системе. Так, например, длина отрезка при изменении системы координат сохраняется, хотя проекции на оси координат имеют разные значения.

В релятивистской теории (частная теория относительности) таким инвариантом является интервал. Его проекции на координаты и время могут иметь разные значения. Отсюда непосредственно следует сокращение длины и замедление времени. Для полноты картины приведем соответствующие математические зависимости для градиента произвольного скалярного поля в различных системах координат. В декартовой системе координат подобные представления наиболее наглядны:

(2.17)

где – произвольное скалярное поле;

–единичные векторы вдоль направления координатных осей.

Видно, что градиент скалярного поля является вектором (тензором

первого ранга) и определяется тремя функциями с учетом их численного значения и направления.

В цилиндрической системе координат соответствующие зависимости приобретают иной вид:

(2.18)

где – произвольное скалярное поле;

–единичные векторы по направлению координатных осей.

Вэтой системе координат любое скалярное поле при действии оператора является вектором (тензор первого ранга). И, наконец, для сферической системы координат имеем:

(2.19)

где– скалярная функция;

– единичные векторы вдоль координатных осей.

При выполнении математических преобразований используют оператор «набла» и градиент скалярного поля записывают так:

где дифференциальный оператор «набла».

Тензоры второго ранга используют для математического представления физических свойств в механике сплошной среды. В качестве иллюстрации достаточно упомянуть внутренние напряжения, деформации, моменты инерции, скорости деформаций и тому подобное. Наше внимание сосредоточено на тензоре внутренних напряжений в соответствии с общей логикой изложения содержания монографии.