Учебное пособие 1432

Определив из (4.6) максимальное значение М x , по эпю-

ре крутящих моментов устанавливают допустимые значения внешних сил или моментов, вызывающих изгиб балки.

4.1.2.Рекуррентные соотношения для поперечных сил

иизгибающих моментов

Рис. 4.3

Рассмотрим рекуррентный способ построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил при плоском изгибе.

На рис. 4.3 показана левая отсеченная часть некоторого

i-того участка балки. Используются следующие обозначения Q( 0), M( 0) -соответственно поперечная сила и изгибающий момент в крайнем правом сечении предыдущего i-1 участка балки, m, P -внешние момент и сила в крайнем левом сечении рассматриваемого участка балки, q- интенсивность распределенной нагрузки. На рис 4.3 указана нагрузка q положительного направления.

Рекуррентные соотношения позволяют выражать величины внутренних силовых факторов в сечениях i- того участка через их величины в сечении i-1 участка, граничащего с i участком. Эти соотношения составляются на основании ранее рассмотренных правил и имеют вид

отсеченных частей балки используются отсеченные части участков. Это позволяет экономить время вычислений и легко алгоритмизировать процесс вычислений на ЭВМ.

4.2. Примеры решения задач по теме «Плоский изгиб балок и рам»

Пример 8

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений заданного типа для консольной балки (задача № 3)

I. Построить эпюры поперечных сил для консольной балки (рис. 4.4). Вычислить все характерные ординаты для этих эпюр. Принять a 1 м; q 10 кН/м/.

2. Построить эпюры изгибающих моментов и из условия прочности подобрать размеры указанных ниже сечений приняв в качестве материала - сталь Ст. 3 с пределом текучестиT 225 МПа. Коэффициент запаса прочности n принять равным 1,5.

3. Подобрать размеры поперечных сечений;

81

а) номер прокатного двутавра и в качествe варианта - сечение в виде двух одинаковых, не связанных между собой двутавров, поставленных вплотную друг к другу. Установить, какое сечение рациональнее, сравнив коэффициенты эконо-

мичности сечений k Wx / F3 , где Wx - момент сопротив-

ления сечения относительно нейтральной оси; F - площадь сечения.

При определении размеров всех сечений использовать условие прочности для нормальных напряжений. Касательные напряжения от поперечной силы не учитывать.

Исходные данные взять из строки 3 таблицы 6 [3].

Решение

Имеем

kp2 = 2; kq3 =3; km1 = 1; k1= 1.2; k2 = 0.6; k3 = 1.8

Величины распределенных нагрузок, сосредоточенных моментов mi , сил Pi и длин участков определяются по фор-

мулам

qi kqiq , Pi kpiqa, mi kmiqa2 , ai kia.

Тогда

P2 kp2qa 2qa; m1 km1qa2 qa2 ; q3 kq3q 3q; a1 k1a 1,2a; a2 k2a 0,6a; a3 k3a 1,8a.

Прочие нагрузки на балку отсутствуют.

Определение опорных реакций Для построения эпюр внутренних силовых факторов ре-

акции в опоре можно не определять, поскольку балка имеет одну опору.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Балка имеет три участка для построения эпюр.

82

1 участок 0 z1 a1 k1a 1,2a;

Qy( z1 ) P2 0.5q3 a3 ,

Qy (0 ) P2 0.5q3 a3 2qa 0.5 3q 1.8a 0.7qa ,

Рис. 4.4

Qy (a1 ) 0.7qa .

Поскольку на участке поперечная сила не изменяет знак на противоположный, на этом участке изгибающий момент должен достигать экстремумов на границах участка.

M x ( z1 ) m1 P2 ( z1 a2 ) 0.5q3 a3( z1 a2 2a3 / 3)=

83

qa2 2qa( z1 0.6a) 0.5 3q 1.8a ( z1 0.6 2 1.8a / 3)qa2 2qa( z1 0.6a) 2.7qa ( z1 1.8a),

Mx (0) qa2 2qa 0.6a 2.7qa 1.8a 2.66qa2

Mx(a1 ) qa2 2qa(1..2a 0.6a) 2.7qa (1.2a 1.8a ) 3.5qa2

2 участок 0 z2 a2 k2a 0,6 a,

Qy( z2 ) P2 0.5q3 a3,

Qy (0) 0.7qa ,

Qy (a2 ) 0.7qa ,

Поскольку на участке поперечная сила не изменяет знак на противоположный, на этом участке изгибающий момент достигает экстремумов на границах участка.

M x ( z2 ) P2 z2 0.5q3 a3( z2 2a3 / 3)=

2qaz2 0.5 3q 1.8a ( z1 2 1.8a / 3)2qaz2 2.7qa ( z1 1.2a),

M x (0) 2.7qa 1.2a 3.66qa2 ,

Mx (a2 ) 2qa 0.6a 2.7qa (0.6a 1.2a) 3.24qa2 .

3 участок 0 z3 a3

На участке с номером 3 представляем распределенную нагрузку в виде суммы постоянной нагрузки q3 kq3q и пе-

ременной распределенной нагрузки

q3( z3 ) kq3qz3 / k3a e3 z3 ,

направление которой противоположно направлению q3 .

Здесь

e3 kq3q / k3a 3 q / 1.8a q / 0.6a.

Qy ( z3 ) kq3q z3 0.5e3 z3 z3 ), Qy (0 ) 0 ,

Qy (a3 ) kq3q a3 0,5e3a3 a3 3 q 1.8a 0.5 (1/ 0.6a) 1.8q 1.8a

0.5 (1/ 0.6a) 1.8q 1.8a 2.7qa.

84

Mx(z3 ) 0,5kq3q z32 0,5e3z33 / 3 0,5 3q z32 0,5 (1/ 0.6a)z33 / 3, M x (0) 0,

M x (a3 ) 0,5 3q 1.82 a2 0,5 (1/ 0.6a)(1.8a)3 / 3 3.24qa2 .

По полученным величинам Qy и M x строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. По эпюре M x определя-

ем максимальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки

Mx мах = 3.66 qa2 = 36.6 кНм.

Подбор размеров и характеристик поперечных сечений балки Допускаемое нормальное напряжение в балке определяется по формуле

TP 225 150 мПа. n 1,5

Расчетная величина момента сопротивления балки определяется из условия прочности

Wxр Mx мах / 36,6*106/150= 0,244*106 мм3= 244 см3. По сортаменту двутавров (М.У. 145-90) определяем двутавр № 22а с характеристиками Wx 254 см3 и F 32,8 см2.

Коэффициент экономичности одного двутаврового сечения

Для составного сечения, состоящего из двух поставленных вплотную друг к другу двутавров, момент сопротивления одного сечения Wx1 0,5Wx 0,5*254= 127см3. По сортаменту двутавров (М.У. 145-90) определяем двутавр №18 с характеристиками Wx 143 см3, F 23,4 см2. Коэффициент экономичности составного сечения

Как видно из расчета, из рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение.

85

Пример 9

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений заданного типа для двухопорной балки (задача № 4)

Построить эпюры поперечных сил для двуопорной балки (рис. 4.5). Вычислить все характерные ординаты для этих эпюр. Принять

a 1 м, q 10 кН/м.

2. Построить эпюры изгибающих моментов и из условия прочности подобрать размеры указанных ниже сечений приняв в качестве материала - сталь Ст. 3 с пределом текучестиT 225 МПа. Коэффициент запаса прочности n принять равным 1,5.

3. Подобрать размеры поперечных сечений;

б) диаметр d сплошного круглого сечения, размеры b и

h прямоугольного сечения с отношением сторон h / b 1,5 и сечение в виде двух одинаковых, не связанных между собою швеллеров, поставленных вплотную друг к другу. Установить, какое сечение рациональнее, сравнив коэффициенты эконо-

мичности сечений k Wx / F3 , где Wx - момент сопротив-

ления сечения относительно нейтральной оси; F - площадь сечения.

При определении размеров всех сечений использовать условие прочности для нормальных напряжений. Касательные напряжения от поперечной силы не учитывать.

Исходные данные взять из строки 6 таблицы 6 [3].

Решение Величины распределенных нагрузок, сосредоточенных

моментов mi , сил Pi и длин участков определяются по фор-

мулам

qi kqiq , Pi kpiqa, mi kmiqa2 , ai kia.

86

Тогда

q1 kq1q q1 2q ; P3 kp3qa 3*qa; m2 km2qa2 3*qa2 ; a1 k1a 2*a= 2a; a2 k2a 1*a= a; a3 k3a 3*a= 3a.

Прочие нагрузки на балку отсутствуют.

Определение опорных реакций Балка имеет шарнирно – подвижную опору А и шарнирно

– неподвижную опору В. Поскольку система сил, действую-

Рис. 4.5

щих на балку включает только вертикальные силы и опора А перемещается горизонтально, горизонтальные составляющие реакции в опоре А будут равны нулю.

Вертикальные составляющие реакций RA и RB определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В:

87

M A 0, RBa2 P3 (a2 a3 ) m2 0,5q1(a1 )2 0 ,

или

RBa 3qa (a 3a ) 3qa2 0,5 2q(2a)2 0 ,

или

RBa 3qa (a 3a ) 3qa2 0,5 2q(2a)2 0 ,

Или RB 5qa ,

MB 0,

RAa2 P3 a3 m2 q1a1(0.5a1 a2 ) 0 ,

или

RAa 3qa 3a 3qa2 2q 2a(0.5 2a a) 0,

или

RA 2qa.

Знак « + » означает, что направления реакций RA и RB совпадают с направлениями, указанными на рисунке 4.5.

Проверка правильности определения реакций

Y 0, RA RB P3 q1a1 0, 3qa 5qa 3qa 2q 2a 0 .

Реакции определены правильно.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Балка имеет три участка для построения эпюр.

1 участок 0 z1 a1 k1a 2a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.

Qy ( z1 ) q1 z1 2qz1, Qy(0 ) 0,

Qy (a1 ) 2q 2a 4qa ,

Mx ( z1 ) 0,5q1 z12 0.5 2q z12 ,

M x (0 ) 0 ,

88

M x(a1 ) q (2a)2 2qa2 .

2 участок 0 z2 a2 k2a a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.

Qy( z2 ) q1 a1 RA 2q 2a 2qa 2qa , Qy (0 ) 2qa ,

Qy(a2 ) 2qa ,

M x ( z2 ) q1 a1(0.5a1 z1 ) m1 RA z1

2q 2a(0.5 2a z1 ) 3qa2 2qaz1

M x (0) kmm1 kp P1a1 kp kq1q a10,5a1 kmm2 ,

M x (0) 7qa2 ,

M x (a2 ) 9qa2 .

3 участок 0 z3 a3 k3a 3 a. Рассматриваем правую отсеченную часть балки.

Qy( z3 ) P3 3qa, Qy(0) 3qa , Qy(a3 ) 3qa,

M x( z3 ) P3 z3 3qaz3 , M x (0 ) 0 ,

Mx (a3 ) 3qa 3a 9qa2 .

По полученным величинам Qy и Mx строим эпюры попе-

речных сил и изгибающих моментов. По эпюре Mx определя-

ем максимальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки

Mx мах = 9qa2 = 90 кНм.

Подбор размеров и характеристик поперечных сечений балки Допускаемое нормальное напряжение в балке определяется по формуле

89