Учебное пособие 1432

направления дверь снимают с петель).

Моментом силы относительно оси называют алгебраическую величину, равную произведению проекции силы на плоскость П, перпендикулярную к данной оси, на расстояние от этой проекции до оси, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию дей-

ствия проекции (рис. 1.5):

Момент считается положительным, если, смотря в направлении, противоположном направлению оси, можно видеть вращение тела вокруг оси под действием силы P (или состав-

ляющей Pt ) против хода часовой стрелки. При вращении по

ходу часовой стрелки момент считается отрицательным. Из формулы (1.8) и рис. 1.5 следует

т. е. момент силы P относительно оси l численно равен взятой с соответствующим знаком величине удвоенной площади тре-

угольника, основанием которого служит проекция силы P на плоскость, перпендикулярную к оси, а вершиной - точка пересечения оси с плоскостью. Если сила параллельна оси, то Pt = 0, а если ее линия действия пересекает ось, то h = 0. В обоих случаях со-

гласно (1.8) Mt (P ) = 0, т. е.

Рис. 1.6

момент силы относительно

оси равен нулю, когда сила параллельна оси или ее пересекает. В обоих случаях сила и ось

10

расположены в одной плоскости.

В тех случаях, когда сила не известна, а известен только момент силы, для оценки вращательного действия момента силы вокруг оси используется проекция момента силы на эту ось.

Момент силы относительно оси l равен проекции ОК на

эту ось вектора момента силы MO(P) (рис. 1.6), взятого отно-

сительно произвольной точки на данной оси и обозначается символом Ml (P).

Часто пару изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 1.7, а). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что действие пары сил характеризуется ее моментом, и при определении опорных реакций, т. е. неизвестных внешних сил следует брать суммы моментов всех сил относительно какой - либо точки, а где приложены силы, составляющие пару, на основании (1.7) значения не имеет. Но,

11

если надо определить не внешние силы, а внутренние в разных сечениях балки, как это делается в сопротивлении материалов, то важно знать, где приложены силы пары. Например, внутренние силы будут различными для балок, изображенных на рис. 1.7, б и 1.7, в. Если силы пары приложены, как показано на рис. 1.7, в, то пара и ее момент условно называют сосредоточенными.

Наиболее распространенными опорами тел являются шарнирно подвижная опора, шарнирно неподвижная опора и заделка.

Шарнирно подвижная опора (рис. 1.7,а, б, опора В) позволяет точке В тела перемещаться вдоль некоторой линии. В

шарнирно подвижной опоре возникает реакция RB , перпендикулярная направлению перемещения опоры.

Шарнирно неподвижная опора (рис. 1.7,а, б, опора А) не позволяет точке А никаких перемещений. В шарнирно неподвижной опоре возникает

ния, которую для удобства определения раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляю-

щие X A и YA : RA X A YA .

Заделка - одна из часто встречающихся связей (опор). Пусть горизонтальная одноопорная (консольная) балка (рис. 1.8) имеет один свободный конец, а другой конец жестко заделан в стену. Стена воздействие на балку сосредоточенной силой RA (реакцией) и моментом mА, называемым реактивным моментом, или моментом в заделке.

При решении задач, выгодно представлять и изображать силу RA в виде двух составляющих сил: RA X A YA . Поэтому реакцию в заделке изображают так, как показано на рис. 1.8.

12

1.1.1.5. Теорема Вариньона

Для произвольной системы сил верна теорема Вариньона: вектор момент равнодействующей любой системы сил относительно произвольной точки равен сумме векторов моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Если все силы расположены в одной плоскости и точка О (центр моментов) находится в той же плоскости, то все векторы моменты сил будут расположены на одной прямой, проходящей через точку О, и перпендикулярной к плоскости сил, а тогда, согласно (1.9), векторное суммирование можно заменить алгебраическим

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно произвольной точки в плоскости сил равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно какой - либо оси равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же оси

Произвольную систему сил Pk (k 1,2, ,n) можно привести к некоторой точке О, называемой центром приведения и заменить одной силой - главным вектором R и одним

моментом главным моментом MO .

Главным вектором R произвольной системы сил

Pk (k 1,2, ,n) называется векторная сумма этих сил

R Pk .

Главный вектор для данной системы сил величина постоянная, не зависящая от выбора центра приведения.

13

Главным моментом MO произвольной системы сил Pk

(k 1,2, ,n) называется векторная сумма моментов этих сил

M0 M0( Pk ).

Главный момент для данной системы сил зависит от положения центра приведения.

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и

достаточно, чтобы ее главный вектор V и главный момент

M0 относительно любой точки О были равны нулю.

Для получения уравнений(1.15) в скалярной (координатной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих равенств на оси прямоугольной декартовой системы координат и затем использовать формулу (1.10)

Rx= Pkx = 0, Ry= Pky = 0, Rz= Pkz = 0,

Mx npxM0(Pk ) Mx(Pk ) 0,

M y npyM0( Pk ) M y (Pk ) 0,

Mx npz M0( Pk ) Mz ( Pk ) 0.

Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

1.1.1.6. Система сходящихся сил

Выберем начало координат в точке пересечения линий действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (16) моменты

14

сил относительно этих осей равны нулю. Три последние равенства (16) принимают вид 0 = 0. Поэтому

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox к Oy в плоскости сил, видим, что Zk = 0, т. е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье уравнение (1.17) дает тождество: 0 = 0, которое бесполезно.

Итак, для плоской сходящейся системы сил

1.1.1.7. Теорема о трех силах

Для определения неизвестных сил удобно использовать теорему о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

1.1.1.8. Система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости

Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а тем самым оси Ox и Oy будут перпендикулярны силам. Тогда все силы проецируются на ось Oz в полную величину со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы с направлением оси, или противоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси Ox и Oy равны нулю. Также равны нулю моменты всех сил относительно параллельной им оси Oz. Поэтому вместо уравнений (16) получаем систему

Итак, для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы

15

сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной силам, также равнялась нулю.

1.1.1.9. Произвольная плоская система сил

Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость (х, у) совпадала с плоскостью сил. Тогда проекции всех сил на ось Oz равны нулю: Zk = 0, и моменты всех сил относительно осей Ox и Oy также равны нулю, так как эти оси и силы лежат в одной плоскости. Согласно определению момента силы относительно точки (1.1) и момента силы относительно оси (1.8) в нашем случае момент силы относительно оси Oz совпадает с моментом этой силы относительно точки О- начала координат. Поэтому из уравнений (1.16) остаются три уравнения

Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей в плоскости этих сил равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки в плоскости этих сил также равнялась нулю. Без доказательства, отметим, что вместо уравнений равновесия (20) для плоской системы сил можно использовать уравнения:

при условии, что точки O1, O2, O3 не лежат на одной прямой. При решении задач можно пользоваться тремя видами систем уравнений равновесия (1.20), (1.21), (1.22) исходя из конкретных условий задач. Выбор той или иной системы уравнений равновесия зависит в первую очередь от особенностей за-

дачи, уровня знаний, опыта, желания и вкуса решающего.

16

Известно, что момент силы, отличной от нуля, относительно данной точки равен нулю, когда линия действия силы проходит через данную точку. Отсюда следует практический вывод: если при определении неизвестных сил нужно составить уравнения, в которые входят моменты этих сил, то за центр моментов О выгодно брать точку, через которую проходит линия действия одной или нескольких неизвестных сил.

1.1.1.10.Система параллельных сил, расположенных

водной плоскости

Если все параллельные силы лежат в плоскости х, у, то, выбирая оси так, чтобы ось Ox была перпендикулярна силам, получим, что все Xk = 0, a Yk = Pk, где Pk – проекция силы на

ось у силы Pk . Из (20) остаются два уравнения

Итак, для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки в плоскости этих сил также равнялась нулю.

Для плоской системы параллельных сил вместо уравнений (1.21) можно записать

при условии, что отрезок O1O2 не параллелен силам.

Эта система получится из (1.21), если ось Ox направлена перпендикулярно силам. Для плоской системы сходящихся сил можно пользоваться еще двумя видами си-

стем уравнений вместо системы уравнений Рис. 1.9 (1.18):

Первая из этих систем уравнений применима при условии, что ось Ox не перпендикулярна ОС (С - точка схождения сил) (рис. 1.9, а), а вторая– при условии, что прямая O1O2 не проходит через точку С схождения сил (рис. 1.9, б).

Следует обратить внимание на то, что для каждой системы сил число уравнений равновесия строго определенное, хотя системы этих уравнений могут иметь различный вид. Например, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, объединенных в системы одного из видов; (1.20), (1.21) или (1.22). Поэтому методами теоретической механики задачу о равновесии одного тела под действием системы сил, произвольно расположенных в плоскости, можно решить только в случае, когда система уравнений задачи содержит не более трех неизвестных величин. Такая задача называется статически определимой. В противном случае задача не имеет решения и называется статически неопределимой.

Для плоской системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия в виде системы (1.23) или (1.24). Для плоской системы сходящихся сил также имеем два уравнения равновесия в виде систем (1.25) и (1.26). Таким образом, решить задачу о равновесии плоской системы параллельных или сходящихся сил можно только в том случае, когда число неизвестных величин в системе уравнений задачи не более двух.

Если число неизвестных величин больше числа уравнений равновесия статики, то такие задачи называются статически неопределимыми и решаются методами сопротивлении материалов, основанными на рассмотрении деформаций тел системы.

18

2.СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

2.1.Краткая теоретическая справка

2.1.1. Растяжение – сжатие стержней

Растяжение (сжатием) называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N. Нормальная сила в рассматриваемом сечении прямого стержня равна алгебраической сумме проекций на ось, направленную так же, как и внешняя нормаль к сечению бруса, всех нагрузок, расположенных по одну сторону от этого сечения. Растягивающая внешняя сила дает положительную нормальную силу, сжимающая – отрицательную.

Растяжение и сжатие в стержне возникает в тех случаях, когда из всех внутренних силовых факторов отличны от нуля лишь нормальные силы. Такой вид нагружения существует только тогда,

когда равные внешние силы приложены симметрично относительно продольной оси стержня и имеют равнодействующую, направленную вдоль оси стержня,

когда точки приложения к стержню внешних сил расположены вдоль оси стержня и силы параллельны этой оси.

При растяжении нормальная сила направлена вдоль внешней нормали к сечению от рассматриваемой части стержня, а при сжатии – в противоположном направлении.

В поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле

где N – нормальная сила в сечении стержня, F – площадь поперечного сечения стержня.

19