Учебное пособие 1432

5.КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

5.1.Краткая теоретическая справка

5.1.1. Основные понятия и зависимости

Кручением называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только крутящие моменты Мк (или Мz ).

Кручение прямого стержня происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mzi (парами сил),

плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси z . Стержень, работающий главным образом на кручение, принято называть валом.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних (скручивающих) моментов определяются по величине передаваемой мощности N (кВт) и частоте вращения вала в оборотах в минуту n

Величины крутящего момента в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. Согласно методу сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Для определения знака Мк общепринятого правила знаков не существует. В дальнейшем для определенности будем считать, что внешние (скручивающие) моменты, направленные против часовой стрелки, при взгляде со стороны внешней нормали к рассматриваемому сечению дают в выражении Мк

101

положительные слагаемые, а направленные по часовой стрелке – отрицательные слагаемые (рис. 5.1).

В поперечных сечениях вала при кручении возникают только касательные напряжения . Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения имеет вид

где max наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении вала; Мк крутящий момент в сечении вала;

допускаемое значение касательного напряжения; Wр - поляр-

ный момент сопротивления сечения вала.

MZi

MK +

взгляд

MZi

Рис. 5.1

Для круглого сплошного сечения Wp d3 0,2d3 , для

16

кольцевого сечения Wp D3 1 k4 0,2D3 1 k4 . Здесь d 16

– диаметр сплошного сечения; D и d0 соответственно наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения; k d0 / D .

102

По условию прочности (5.3) выполняют три вида расчетов: проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (5.3).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (5.3) получаем

Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений скручивающих моментов) формула (5.3) преобразуется к виду

(5.5)

Определив из (5.5) максимальное значение Мк , по эпюре крутящих моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.

При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между этими сечениями. Угол закручивания участка вала длиной l определяется по формуле

Здесь Мк - аналитическое выражение крутящего мо-

мента; GJ p крутильная жесткость сечения вала; G модуль сдвига; J p полярный момент инерции сечения.

Для круглого сплошного сечения J p d4 0,1d4 , а 32

для кольцевого сечения J p D4 1 k4 0,1D4 1 k4 .

32

При Мк = const и J p = const на длине l формула (5.6)

принимает вид

103

Для ступенчатых валов или же для валов, у которых Мк кусочно – постоянная функция (т.е. Мк постоянен в пределах каждого из участков)

где Mкi - крутящий момент на i- ом участке вала; li - длина i-

ого участка вала; GJ p i - крутильная жесткость сечения i- ого

участка вала; n – количество участков вала, расположенных между сечениями, между которыми определяется угол закручивания.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению

Здесь и - допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.

На основании условий (5.10) проводят те же три вида расчетов, что и на основании условия прочности (5.3).

5.2. Примеры решения задач по теме

Пример 11

Построение эпюр крутящих моментов и максимальных касательных напряжений в сечениях статически определимого вала, определение диаметра

вала и углов закручивания его сечений (задача № 6)

104

Рис. 5.2

К ведомым шкивам равномерно вращающегося стального вала постоянного кругового сечения (рис. 5.2) приложены за-

105

данные моменты M1, M2 ,M3 и момент M . Требуется:

1.Определить момент M на ведущем шкиве.

2.Построить эпюру крутящих моментов.

3.При значении = 80 МПа определить диаметр вала

сплошного сечения из расчета на прочность и округлить его величину до целого значения в мм, кратного пяти.

4. Построить эпюру углов закручивания сечений вала относительно крайнего левого сечения, приняв модуль сдвига равным G 8,0*104 МПа. Данные взять из таблицы 5.1.

Таблица 5.1

Величины моментов Mi даны в Н*м, размеры a, b c метрах. Символы kMi задают направления моментов Mi : при kMi

равном 1 направление Mi совпадает с направлением, указанном на расчетной схеме (рис. 5.2), в противном случае направление Mi противоположно направлению, указанному на рас-

четной схеме (рис. 5.2). Направление момента M определяется из уравнения равновесия моментов сил, приложенных к валу.

Решение Определение момента М на ведущем шкиве.

Для определения момента М используем уравнение равновесия моментов пар сил относительно продольной оси вала

kM1M1 kM 2M2 kM3M3 M 0 ,

из которого получаем

M kM1M1 kM 2M2 kM 3M3 -1*1-1*2-1*3= -6 кН*м.

106

Знак « - » означает, что направление момента М противоположно направлению, указанному на рис. 5.2.

Построение эпюры крутящего момента. Составляем выражения для крутящего момента для каж-

дого из трех участков, показанных на рис. 5.2. Границами участков являются сечения, в которых к валу приложены внешние сосредоточенные моменты, а также концевые сечения вала.

Вал имеет три участка для построения эпюр. Участок 1: 0 z1 a;

Mк1 kM1M1 -1*1= -1 кН*м.

Участок 2: 0 z2 b;

Mк 2 kM1M1 kM 2M2 -1*1-1*2= -3 кН*м.

Участок 3: 0 z3 c ;

Mк3 kM3M3 1*3= 3 кН*м.

На крайних участках вала крутящие моменты равны нулю, поскольку на концах вала отсутствуют внешние скручивающие моменты.

По полученным величинам крутящего момента строим эпюру крутящих моментов в координатах Mк z в соответствующем масштабе и определяем максимальный по модулю крутящий момент в поперечных сечениях вала M x мах = 3 кНм.

Определение диаметра вала.

Из анализа эпюры крутящего момента следует, что на втором участке крутящий момент максимален по абсолютному значению и равен Mк мах = 3 кНм. Условие прочности вала при

кручении имеет вид

max Mкmax /Wк ,

где Wк d 3 / 16 - момент сопротивления сечения вала при кручении.

107

Принимаем d 60 мм.

Максимальные касательные напряжения в сечениях вала определяются по формуле i max Mki / Wp , где

Wp d3 / 16 603/16= 42411 мм3- полярный момент сопро-

тивления вала. Тогда

1max Mk1 / kd31Wp -1*106/42411= -23,5785 МПа,

2max Mk2 / kd32Wp -3*106/42411= = -70,735 МПа,

3max Mk3 / kd33Wp 3*106/42411= = 70,73 МПа.

Как видно, опасное напряженное состояние имеется на четвертом участке вала.

Полярный момент инерции сечения вала

J pi d4 / 32 604/32= 1272345 мм4.

Угол закручивания сечений вала на участке i определяется по формуле

( zi ) i Mкi zi , GJ p

где i - угол закручивания сечения, соответствующего коор-

динате zi =0; G - модуль сдвига материала вала.

Жесткость вала при кручении

P GJ p 8*1011*1,272345*10-6= 101780 Н*M2.

Распределение угла закручивания по участкам описывается функцией:

Участок 1: 0 z1 a;

1( z1 ) Mк1z1 0, 1 = 1(0) 0 , GJ p

108

-1000*1,5/101780= -1,4737*10-2.

Участок 2: 0 z2 b;

2( z2 ) 2 Mк2 z2 0 , 2(0) 2 = -1,4737*10-2,

GJ p

3 2(b) 2 Mк2b 2 +Mk2 b / GJ p = -1,4737*10-2-

GJ p

- 3000*0,3/101780= -1,4737*10-2+0,8842*10-2= -2,3579*10-2.

Участок 3: 0 z3 b;

3( z2 ) 3 Mк3 z3 0 , 3(0) 3 = -2,3579*10-2, GJ p

4 3(c) 3 Mк3c 3 +Mk3 c / GJ p = -2,3579*10-2+

GJ p

+3000*2/101780= 3,5368*10-2.

По полученным величинам угла закручивания строится эпюра угла закручивания координатах z.

Пример 12

Построение эпюр крутящих моментов и максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях статически неопределимого вала, определение диаметра вала из условия жесткости на кручение (задача № 7)

К стальному валу, защемленному с двух сторон (рис. 5.3), приложены два заданных момента M1 и

M2 . Требуется:

1. Раскрыть статиче-

скую неопределимость си-

Рис. 5.3

109