Учебное пособие 1432

стемы.

2.Построить эпюру крутящих моментов.

3.Построить эпюру максимальных касательных напряжений в сечениях вала.

3. При значении относительного угла закручивания = 0,05 1/м и модуле сдвига равном G 8,0*104 МПа определить диаметр d вала сплошного круглого сечения из расчета на жесткость и округлить его величину до целого значения в мм, кратного пяти.

Данные взять из таблицы 5.1. Величины моментов Mi даны в Н*м, размеры ai даны в метрах. Смысл символов kMi тот же, что и в примере 11.

Коэффициент kdi di / d определяет отношение диаметра вала di на участке с номером i, к некоторому характерному диаметру d , который необходимо определить.

Решение Согласно приведенной схеме нагружения вала, в левой и

правой опорах под действием внешних нагрузок возникнут два неизвестных опорных момента M A и MB (рис. 5.4). Для вала можно составить только одно уравнение равновесия моментов сил относительно продольной оси вала.

Определение степени статической неопределимости. Поскольку для вала можно составить только одно уравнение равновесия моментов, а количество неизвестных опорных мо-

110

ментов равно двум, степень статической неопределимости системы равна единице.

Уравнение равновесия.

Моменты, приложенные к валу, удовлетворяют уравнению равновесия моментов пар сил относительно продольной оси z вала

Mzi 0, MA MB kM1M1 kM2M2 0

или

M A MB kM1M1 kM2M2 =-M1- M1= -1-2= -3 кН*м.

Уравнение совместности перемещений.

Уравнение совместности перемещений составляется исходя из условия защемления концов вала в опорах. Оно отражает неподвижность концевых сечений вала друг относительно друга. Поэтому угол поворота сечения А относительно сечения

В равен нулю, то есть AB 0.

Полярные моменты инерции сечений вала определяются по формуле

J pi di4 / 32 kdi4 d4 / 32 kdi4 J p ,

где J p d4 / 32- характерный полярный момент инерции

вала.

Вал имеет три участка.

Уравнение совместности перемещений имеет вид

где li и J pi ,- длина и полярный момент инерции сечения для i - того участка вала; Mкi - крутящий момент на участке.

Составляем выражения для крутящего момента для каждого из трех участков, показанных на рис. 5.4. Границами участков являются сечения, в которых к валу приложены внешние сосредоточенные моменты, сечения в которых скач-

111

кообразно изменяется диаметр вала, а также концевые сечения вала.

Крутящие моменты Mкi на участках вала определяем рас-

сматривая для участков 1 и 2 левые отсеченные части вала, а для участка 3 – правую отсеченную часть. Тогда получаем:

Рис. 5.4

Участок 1: 0 z1 a1 = 1 м;

Mк1 M A , J p1 0,1kd41d4 = 0,1d4 , l1 2 м;

112

Участок 2: 0 z2 a2 = 0,6 м;

Mк2 MA +kM1 M1= MA -M1,

J p2 0,1kd42d4 = 0,5062 d4 , l2 0,6 м;

Участок 3: 0 z3 a3 = 0,8 м;

Mк3 MB , J p3 0,1kd43d4 =1,6 d4 , l3 0,8 м.

После подстановки этих выражений в уравнение совместности перемещений получаем

M A( kad411 kad422 ) MB kad433 kM1M1 kad422 0.

После подстановки в это уравнение значений известных величин получаем

-1,1185M A+0,0500MB = 0,1185.

Решение системы, включающей уравнение равновесия и уравнение совместности перемещений.

Деление уравнения совместности на абсолютное значение множителя при M A дает уравнение

-M A+0,4470MB = 0,10596.

Складывая это уравнение с уравнением равновесия, получаем

1,4470MB = -2,8940.

Отсюда следует MB = -2,7702 кН*М.

Подставляя MB в уравнение равновесия, получаем

M A -3-MB = -0,2297 кН*м.

Построение эпюры крутящего момента. Участок 1: 0 z1 a1 = 1 м;

Mк1 M A= 0,2298 кН*М.

Участок 2: 0 z2 a2 = 0,6 м;

Mк2 MA +kM1 M1= MA -M1= 0,2298 -1= -0,7702 кН*М. 113

Участок 3: 0 z3 a3 = 0,8 м;

Mк3 MB = -2,7702 кН*М.

Определение диаметра вала.

Расчетный момент вала в данном сечении равен модулю крутящего момента в этом сечении.

Из анализа эпюры крутящего момента следует, что расчетный момент будет равен: на первом участке 0,2298 кН*м, на втором участке 0,7702 кН*м, на третьем участке 2,7702 кН*м.

Диаметры вала di на участках i 1, 2 и 3 определяем из условия жесткости вала для этих участков

данного вала величина.

В результате получаем систему трех неравенств для опре-

Сравнение полученных неравенств показывает, что наиболее нагруженным является первый участок. В качестве расчетного диаметра вала можно принять 27,6579 мм. При отсутствии жестких требований к массе вала можно округлить полученное значение до ближайшего большего значения из предпочтительного ряда чисел в машиностроении и принять

d 30 мм.

114

Максимальные касательные напряжения в сечениях вала определяются по формуле

imax Mki / Wpi ,

где Wpi di3 / 16 kdi3 d3 / 16 kdi3 Wp - полярный момент сопротивления вала на участке с номером i; Wp характерный

полярный момент сопротивления вала. Для рассчитываемого вала

Wp d3 / 16 303/16= 4560 мм3, и

Как видно, наиболее опасное напряженное состояние имеется на третьем участке вала.

115

6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

6.1. Основы теории напряженного состояния

площадке, считается положительным. Сжимающее нормальное напряжение, направленное противоположно внешней нормали к площадке, считается отрицательным. Касательные напряжения действуют в площадках в окрестности точки нагруженного тела и обозначаются символами

xy , yz , zx yx , zy , xz . Здесь первый индекс указывает ось, ортогональную площадке на которой действует касательное напряжение. Второй индекс указывает ось, параллельно которой направлен вектор касательного напряжения. Касательное напряжение считается положительным, если оно, действуя на площадке с внешней нормалью,

116

Для определения положения главной площадки с напряжением max необходимо площадку, на которой дей-

ствует большее (в алгебраическом смысле) нормальное напряжение, повернуть на угол 0 в направлении, в кото-

ром вектор касательного напряжения, действующего на этой площадке, стремиться вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

Максимальное касательное напряжение определяется по формуле

Главные напряжения в случае объемного напряженного состояния определяются из характеристического уравнения тензора напряжений

3 I1 2 I2 I3 0,

где - главное напряжение;

I1 x y z ;

I2 x y y z z x 2xy 2yz 2zx ;

инварианты тензора напряжений, то есть ве6личины, не изменяющие свои значения в зависимости от выбора направлений осей системы координат x y z .

Для решения характеристического уравнения используется метод Кардано, для чего используется замена переменнойна переменную u

1

u 3 I1.

119