Учебное пособие 1432

Решение Предполагая возмож-

ность только вертикального перемещения узлов, введем два базовых перемещения 1 и 3 , определяющих перемещения узлов А и С, (рис. 2.11) и выразим через них удлинения стерж-

Матрица жесткостей стержней С имеет вид

60

Матрица связи нормальных сил в стержнях с базовыми перемещениями CD имеет вид

Составим уравнения равновесия системы:

1)в проекциях сил на ось у

Piy 0, N1 N2 N3 P 0;

2)моментов сил относительно точки В

MB 0, N1 AB N3BC PBD 0,

или

N1 1,25N3 0,5P,

или

4N1 5N3 2P.

Таким образом, система уравнений равновесия рассматриваемой системы имеет вид

4N1 5N3 2P, N1 N2 N3 P .

Составим матрицу R системы уравнений равновесия стержневой системы

61

и матрицу Pˆ правых частей системы уравнений равновесия стержневой системы

Pˆ 2 P.1

Матрица связи базовых перемещений с внешними силами имеет вид

Определитель матрицы M

det M 1014(( 4) 1,588 17,888) 24,24 1014

отличен от нуля и поэтому существует обратная матрица

62

Нормальные силы в стержнях

N1 c1 l1 107 0,0798 10 3 798 Н;

N2 c2 l2 2 107 1,608 10 3 32,16 кН;

N3 c3 l3 6 106 3,519 10 3 21,114 кН.

Нормальные напряжения в стержнях

1 N1 / F1 798/ 100 7,98 Па;

2 N2 / F2 32160/ 150 214 Па;

3 N3 / F3 21114 / 200 105,507 Па.

Пример 6

Раскрытие статической неопределимости и определение площадей сечений стержней статически неопределимой системы

63

Для заданной стержневой системы (рис. 2.12), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

а) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: отношения площадей, величина действующей нагрузки Р= 60 кН и допускаемое напряжение 160 Мпа.

Решение Поскольку вследствие симметрии системы узлы А и В мо-

гут перемещаться независимо друг от друга только по вертикали, рассматриваемая система два раза кинематически определима.

Для определения сил и напряжений в стержнях системы используем принцип суперпозиции.

Пусть 1 и 2 перемещения точек А и В соответственно. Закрепив мысленно точку В, сообщаем точке А перемещение

званные перемещением 1

N11 c1 l11 c1 1 ,

N21 c2 l21 c2 1 cos ,

N31 c3 l31 0.

Закрепив точку А, сообщаем точке В перемещение 2 . Тогда удлинения стержней будут равны

l12 2 ,

Рис. 2.12

l32 2 cos ,

l22 0.

Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением2 определятся по формулам

64

N12 c1 l12 c1 2 ,

N32 c3 l32 c3 2 cos ,

N22 c2 l22 0 .

Таким образом, за счет обоих перемещений в стержнях будут действовать нормальные силы

N1 N11 N12 c1 1 c1 2 c1( 1 2 ),

N2 N21 N22 c2 1 cos 0 c2 1 cos ,

N3 N31 N32 0 c3 2 cos c3 2 cos .

Уравнение равновесия узлов А и В имеют вид (рис. 2.12,б)

P 2N2 cos N1 0,

Далее проще эту систему численно, для чего нужно определить коэффициенты при 1 и 2 .

Из рис. 2.12, а следует

l1 a, l2 a2 (1,5a)2 1,802a , l3 (2a)2 (1,5a )2 2,5a,

cos a / l2 a /(1,802a) 0,5547, cos 2a / l3 2a /(2,5a) 0,8,

c1 E1F1 / l1 2EF / a,

c2 E2 F2 / l2 2EF /(1802a) 1,111EF / a, c3 E3F3 / l3 EF /(2,5a) 0,4EF / a.

65

Тогда

0,234P 14,016кН .

Следовательно, стержни 2 и 3 сжаты, а стержень 1 — растянут.

Для определения площадей поперечных сечений стержней используем условия прочности стержней

Отсюда получаем три неравенства для определения F.

66

F1 2F N1 22,426*103/160= 140,16 мм2,

F2 2F N2 33,907*103/160= 211,91 мм2,

F3 F N3 14,016*103/160= 87,63 мм2.

Отсюда получаем 3 неравенства для определения величины площади F

F 70,08 мм2, F 105,955 мм2, F 87,63 мм2.

Пример 7

Определение температурных напряжений в статически неопределимой системе с жестким телом

Определить температурные напряжения в стержнях си-

стемы, изображенной на рис. 2.13, а, если a=1м; F 5 см2 ;

67

E 2 105 см2 повышение температуры стержней после сбор-

ки системы составляет 80 С. Решение

Система два раза статически неопределима и один раз кинематически определима. Поскольку в системе имеются три неизвестных нормальных силы, для раскрытия статической неопределимости этой системы с использованием уравнений совместности необходимо составить три уравнения равновесия, а с использованием МБП – только одно уравнение.

Характеристики стержней.

Рис. 1.13

Длины

l1 a ; l2 (3a)2 a2 10a 3,16a , l3 a2 (1,5a )2 3,25a 1,803a,

AC (2a)2 (3a )2 13a 3,60a,

AD 0,5AC 1,80a.

Тригонометрические функции углов cos 3a / 3,60a 0,832,

cos 3a / 3,16a 0,949, sin a / 3,16a 0,316 ,

68

arcsin(0,316 ) 18,42 ,

2(90 ) 2(90 33,78 ) 112,44 , cos 0,382,sin 0,924 .

Пусть перемещение точки В равно , тогда, поскольку твердое тело вращается относительно точки А, получаем (рис. 2.13, б)

Направления векторов перемещений точек перпендикулярны радиусам, соединяющим эти точки с точкой А, и показаны на рис. 2.13, б.

Удлинения стержней

l1 1,

l2 c cos(90 ) 1,20 0,79 0,948 ,l3 D cos( 90 ) 0,6 sin 0,6 0,924 0,555 .

Жесткости стержней

C1 E1F1 / l1 E3F / a 3EF / a3 2 105 5 102 / 1000 3 105 н / мм,

C2 E2F2 / l2 E2F / 3,16a 0,63EF / a 0,63 105 н / мм,

C3 E3F3 / l3 EF / 1,80a 0,55EF / a 0,55 105 н/ мм.

При изменении температуры стержней нормальные силы определяются по формулам

Ni ( li tli )Ci .

Тогда

N1 ( t a)C1 3 105( ta), N2 ( 0,948 t3,16a)0,633 105

0,6( 3,33 ta ) 105 ,

N3 ( 0,555 t 1,803a) 0,555 105

69