Учебное пособие 1432

TP 225 150 мПа . n 1,5

Расчетная величина момента сопротивления балки определяется из условия прочности

Wxр Mx мах / 90*106/150= = 0,6*106 мм3= 600 см3.

Для круглого сечения

Wx D3 / 32.

Тогда

Коэффициент экономичности круглого сечения

Для прямоугольного сечения Wx bh2 /6 . Поскольку

0,375

Площадь сечения

F 1,5b2 1,5*11,6952= 205,177 см2.

Коэффициент экономичности прямоугольного сечения

Для составного сечения, состоящего из двух поставленных вплотную друг к другу швеллеров Wx1 0,5Wxр

0,5*600= 300 см3. По сортаменту швеллеров (М.У. 145-90)

90

определяем швеллер № 27 с характеристиками Wx 308 см3 и

F 35,20 см2.

Коэффициент экономичности составного сечения

Из рассмотренных сечений наиболее экономичным является составное сечение из двух швеллеров.

Рассмотрим рекуррентный способ построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил на примере той же балки (рис. 4.5).

1 участок 0 z1 a1 k1a 2a.

Рассматриваем левую отсеченную часть балки. Тогда

Qy ( z1 ) q1 z1 2qz1, Qy(0 ) 0,

Qy (a1 ) 2q 2a 4qa,

Mx ( z1 ) 0,5q1 z12 0.5 2q z12 ,

M x (0 ) 0 ,

M x(a1 ) q (2a)2 2qa2 .

2 участок 0 z2 a2 k2a a.

Рассматриваем левую отсеченную часть участка 2.

Qy ( z2 ) Qy ( 0 ) RA 4qa 2qa 2qa, Qy (0 ) 2qa ,

M x ( z2 ) M x ( 0 ) Qy ( 0 )z2 m2 RA z2 ,

4qa2 4qaz2 3qa2 2qaz2 ,

M x (0) -7qa2 ,

M x (a2 ) 9qa2 .

3 участок 0 z3 a3 k3a 3a.

Рассматриваем левую отсеченную часть участка 3. 91

Qy ( z3 ) Qy ( 0 ) RB , Qy(0) 2qa 5qa 3qa , Qy(a3 ) 3qa,

M x ( z3 ) M x ( 0 ) Qy ( 0 )z3 RB z3 ,

9qa2 2qaz3 5qaz3 M x (0) 9qa2 ,

M x (a3 ) 0 .

Как видно из рассмотренного примера рекуррентные соотношения позволяют получить выигрыш в объеме вычислений, особенно для балок с большим числом участков. Как видно из следующего примера рекуррентные соотношения наиболее удобны при построении эпюр внутренних силовых факторов для рам.

Пример 10

Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и нормальных сил, определение размеров сечения заданной формы для плоской рамы (задача № 5)

Построить эпюры поперечных сил для прямоугольной плоской

МПа. Коэффициент запаса прочности n принять равным 1,5. 3. Подобрать размеры коробчатого сечения h, b, t, при-

няв h / b 2, b / t 5.

При определении размеров всех сечений использовать условие прочности для нормальных напряжений. Касательные напряжения от поперечной силы не учитывать.

Исходные данные взять из строки 6 таблицы 6 [3].

Решение Величины распределенных нагрузок, сосредоточенных

моментов mi , сил Pi и длин участков определяются по фор-

мулам

qi kqiq , Pi kpiqa, mi kmiqa2 , ai kia.

Тогда

q1 kq1q q1 2q ; P3 kp3qa 3*qa; m2 km2qa2 3*qa2 ; a1 k1a 2*a= 2a; a2 k2a 1*a= a; a3 k3a 3*a= 3a.

Прочие нагрузки на раму отсутствуют.

Рама имеет шарнирно – неподвижную опору А и шарнирно – подвижную опору В. Поскольку опора В перемещается горизонтально, горизонтальная составляющая реакции в опоре В равны нулю.

Вертикальные составляющие реакций RA и RB и горизонтальную составляющую реакции в опоре А определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В и уравнения равновесия сил в проекциях на горизонтальную ось Х:

MA 0 ,

RBa2 P3 a1 m2 0,5q1(a1 )2 0

RBa 3qa 2a 3qa2 0,5 2q(2a)2 0,

RB 13qa 0

93

X 0,

HA P3 q1a1 0,

HA 3qa 2q 2a 0,

Рис. 4.7

HA 7qa 0,

MB 0, 94

RAa P3 a3 m2 q1a1(a3 0.5a1 ) HA(a3 a1 ) 0

RA 3qa 3a 3qa2 2q 2a(3a

0.5 2a) HA(3a 2a) 0,

или

RA 20qa2 HA 3a 0,

или

Из второго уравнения следует H A 7kpqa 7qa . Знак « + » означает, что направление реакции HA совпадает с направлением, указанным на рис. 4.7.

Из первого уравнения следует RB 13qa2 .

Из второго уравнения следует RA 13qa2 .

Знак « - » означает, что направление реакции RA противоположно направлению, указанному на рисунке 4.7.

Для поверки правильности определения реакций составим уравнение равновесия сил в проекциях на вертикальную ось у

Y 0,

RA RB 0,

или RA RB 0 , 13qa 13qa 0.

Реакции определены правильно.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рама имеет три участка для построения эпюр.

1 участок 0 z1 a1 k1a 2a. Рассматриваем левую отсеченную часть рамы.

Qy ( z1 ) HA q1 z1 7qa 2qz1 ,

Qy(0) H A 7qa,

Qy (a1 ) 3qa,

M x( z1 ) H Az1 0,5q1 z12 7qaz1 0,5 2q z12 ,

M x (0) 0 ,

95

Mx (a1 ) 10qa2 ,

N(z1 ) RA= 13qa ,

N(0) N(a1 ) 13qa .

2 участок 0 z2 a2 k2a a. Рассматриваем правую отсеченную часть рамы.

Qy ( z2 ) RB 13qa,

Qy(0) 13qa,

Qy (a2 ) 13qa,

M x ( z2 ) RB z2 13qaz2 , M x (0) 0 ,

Mx (a2 ) 13qa2 ,

N( z2 ) P3 = 3qa, N(0) N(a1 ) 3 qa.

3 участок 0 z3 a3 k3a 3 a. Рассматриваем правую отсеченную часть рамы.

Qy( z3 ) 0, Qy (0 ) 0 , Qy (a3 ) 0,

M x( z3 ) 0, M x (0 ) 0, M x(a3 ) 0,

N( z3 ) RB = -13qa,

N(0) N(a1 ) -13qa.

По полученным величинам Qy , Mx и N строим эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и нормальных сил (рис. 4.7). По эпюре Mx определяем максимальный по моду-

лю изгибающий момент в поперечных сечениях рамы

96

Mx мах = 13 qa2 = 130 кНм.

Подбор размеров и характеристик поперечных сечений рамы Допускаемое нормальное напряжение в раме определяется по

формуле TP 225 150 мПа . n 1,5

Расчетная величина момента сопротивления рамы определяется из условия прочности

Wxр Mx мах / 130*106/150= 0,866*106 мм3= 866 см3.

Для коробчатого сечения Wx Jx / ymax , где

момент инерции коробчатого сечения относительно оси х; ymax h / 2 b 5t -максимальное расстояние до точек сече-

ния от нейтральной оси сечения. Тогда

Wx 128t4 / 5t 25,6t3

и

t 3Wx / 25,6 25,652мм.

Площадь сечения

Fbh (b 2t )(b 2t ) 5t 10t (5t 2 t)(10t 2t ) 26t2 .

Тогда

Wx 25,6t3 25,6*25,6523= 430756 мм3,

F 26t2 26*25,6252= 17072 мм2.

Коэффициент экономичности коробчатого сечения

При определении размеров сечения не учитывались нор97

мальные напряжения, вызванные нормальными силами. Максимальное по модулю нормальное напряжение в се-

чении

превышает допускаемое напряжение 150мПа и условие прочности рамы не выполняется. Однако перегрузка составляет

что не превышает 5% и поэтому допустимо. Рассмотрим рекуррентный способ построения эпюр из-

гибающих моментов и поперечных сил на примере той же рамы

(рис. 4.7).

Для этого следует иметь в виду, что если предыдуший и рассматриваемый участки рамы расположены на одной прямой (имеют совпадающие продольные оси) то можно использо-

вать рис. 4.8. К ранее рассмотренным рекуррентным соотношениям для балки добавится соотношение между нормальными силами

N( z ) N( 0) R,

где R - сила, параллельная продольной оси рассматриваемого участка рамы, приложенная в крайнем левом сечении рассматриваемого участка; N( 0) - нормальная

Рис. 4.9

98

сила в крайнем правом сечении i-1 участка рамы.

Если же рассматриваемый i -тый и предыдущий i-1 участки рамы повернуты друг относительно друга на прямой угол, то для получения рекуррентных соотношений нужно использовать приведение внутренних силовых факторов, действующих в крайнем правом сечении i-1 участка к центру тяжести i того участка.

1 участок 0 z1 a1 k1a 2a.

Рассматриваем левую отсеченную часть балки. В этом случае рекуррентные соотношения использовать не возможно и внутренние силовые факторы нужно определять на основании правил знаков, так же как выше.

2 участок 0 z2 a2 k2a a.

Рассматриваем левую отсеченную часть участка 2.

Q( z2 ) N( 0) ( RA ) 13qa,

Q(0) 13qa,

Q(a) 13qa ,

M( z2 ) M( 0 ) N( 0)z2 m2 10qa2 13qaz2 3qa2 ,

M(0) 13qa2 ,

M(a2 ) 0 ,

N( z2 ) Q( 0 ) 3qa2 ,

N(0) 3qa2 ,

N(a1 ) 3qa2 .

3 участок 0 z3 a3 k3a 3a.

Рассматриваем левую отсеченную часть участка 3. Координата z3 отсчитывается от точки приложения силы P3

Q( z3 ) N( 0) P3 3qa P3 3qa 3qa 0, Q(0 ) 0 ,

Q(a3 ) 0,

99