Учебное пособие 1432

7. ПРЯМОЙ КРУГЛЫЙ ВАЛ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ

7.1.Краткая теоретическая справка

7.1.2.Применение теорий прочности к расчету при кручении с изгибом

7.1.2.1. Основные понятия о теориях прочности

Теории прочности используют для оценки прочности тел в условиях сложного напряженного состояния.

При выполнении прикладных расчетов наиболее часто используют теорию прочности максимальных касательных напряжений и энергетическую теорию прочности.

Условие прочности по теории максимальных касательных напряжений (третья теория прочности) имеет вид

Условие прочности по энергетической теории (четвертая теория прочности)

Здесь 1 , 2 , 3 главные напряжения 1 2 3 (см. разд. 6); допускаемое напряжение при одноосном растяжении.

Данные теории можно использовать, например, в расчете на прочность валов, подвергаемых изгибу с кручением, и плоско – пространственных стержневых систем.

Плоско – пространственной называют стержневую систему, у которой оси составляющих ее элементов лежат в одной плоскости, а нагрузки действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости.

Особенностью таких конструкций является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости системы, равны нулю.

130

Из условий нагружения плоско – пространственной системы можно определить вид деформирования – изгиб с кручением.

При изгибе с кручением в поперечном сечении действу-

ют изгибающий Ми и крутящий Мк моменты.

Чтобы провести расчет на прочность, необходимо построить эпюры крутящего Мк и изгибающего Ми моментов.

Правила и примеры построения эпюр при кручении и изгибе подробно изложены в разд. 5.

Опасное сечение вала определяется по величине макси-

мального расчетного (приведенного) момента М* . По теории прочности максимальных касательных напряжений (третья теория прочности)

где Wх осевой момент сопротивления поперечного сечения,

который используется для расчета на изгиб ( см. разд. 3).

7.2. Примеры решения задач по теме

Пример 15

Построение эпюр крутящих и изгибающих моментов

всечениях статически определимого вала, определение диаметра вала с использованием четвертой теории прочности (задача № 8)

131

На рисунке 7.1 представлена схема нагружения промежуточного вала механической передачи прибора с установленными на нем зубчатыми колесами с диаметрами d1 и d2 . Каждое из колес может быть цилиндрическим прямозубым или косозубым, коническим, червячным, что определяется

ленные по касательным к окружностям, проходящим через эти точки ; Fr1 и Fr2 - радиальные силы в зацеплениях колес, ли-

нии действия которых проходят через точки K1 и K2 перпен-

дикулярно оси вала; Fa1 и Fa2 - осевые силы в зацеплениях колес, проходящие через точки K1 и K2 и направленные параллельно оси вала.

Втабл. 7.1 силы даны в Ньютонах, момент в Н*мм, угол

в градусах, длины участков – в мм; M Ft1d1 Ft2d2 – вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами; d1 и

132

d2 - диаметры зубчатых колес, которые рассчитываются из условия равномерного вращения вала, которое может быть только при силовом равновесии вала; L1, L2 , L3 - расстояния между опорами и местами установки зубчатых колес.

Таблица 7.1

В соответствии с вариантом задания произвести расчет вала на прочность и жесткость в следующем порядке

1.Из условия равномерного вращения вала определить диаметры зубчатых колес d1 и d2 .

2.Изобразить в масштабе схему нагружения вала.

3.Определить реакции опор вала во взаимно перпендикулярных плоскостях, указанных на схеме нагружения вала.

4.Рассчитать изгибающие и крутящие моменты в сечениях вала, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.

5.Рассчитать диаметры вала на прочность по эквивалент-

ным напряжениям (приведенному моменту M* по 4 теории прочности) в наиболее опасных сечениях вала. Опасным сечением вала считать то, в котором приведенный момент нагрузки на вал максимален.

6. Рассчитать вал на жесткость при кручении.

Решение Определение диаметров d1 и d2

Из условия равномерного вращения вала следует

M1 M2 M ,

или M d1 Ft1 d2 Ft2 .

2 2

133

Отсюда определяем диаметры зубчатых колес d1 2M / Ft1 = 2*1000/120= 16,667 мм;

d2 2M / Ft2 = 2*1000/250= 8 мм.

Определение проекций сил, действующих в зацеплениях, на оси координат

Силы, приложенные в точках K1 и K2 расположены в разных плоскостях. В общем виде учет их воздействий на вал можно произвести на основании правил и формул теоретической механики. В технике используется способ расчленения воздействия на вал на три части – воздействие в вертикальной плоскости, воздействие в горизонтальной плоскости и кручение. При таком подходе используются соотношения, описывающие косой изгиб и кручение вала.

Для реализации такого подхода силы , приложенные в точках K1 и K2 приводятся методами теоретической механики в точки продольной оси вала, расположенные в тех же сечениях,

что и точки K1 и K2 , то есть силы перено-

сятся из точек K1 и

K2 в указанные тоски оси вала параллельно самим себе и добавляются соответствующие моменты этих сил. Приводя силы в зацеплениях колес к

точкам C и D, и заменяя действие опор реакциями, RA , RB получим схему нагружения вала, показанную на рис. 7.2.

134

Силы Ft2 и Fr2 , приложенные в точке K2 удобно заме-

нить их равнодействующей F Fx Fy Ft2 Fr2 . В таком случае проекции силы R определятся по формулам

Рассмотрим раздельное воздействие на вал сил, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Вертикальная плоскость (zy )

В вертикальной плоскости действуют силы Fr1 , Fy , Fa1,

Fa2 а также пары сил, образующих моменты Mx1 и Mx2 . 135

Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид

MAx 0,

RBy ( L2 L3 ) Fr1L1 M1x Fy L2 M2x 0 ,

MBx 0,

RAy( L2 L3 ) Fr1(L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x 0 ,

Тогда

RAy ( Fr1( L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x )/(L2 L3 ), RBy ( Fr1L1 M1x Fy L2 M2x )/( L2 L3 ),

или

RAy (44*(8+5+12)+0+92*12+0)/(5+12)= 129,647 Н,

RBy -(44*8+0-92*5+0)/(5+12)= 6,353 Н.

Проверка

Yi RAy RBy Fr1 Fy 129,647+6,353-44-92= 0.

Рис. 7.3

136

Следовательно, реакции RAy и RBy определены правиль-

но.

Горизонтальная плоскость (zx)

В горизонтальной плоскости действуют силы Ft1 , Fx ,

RAx , RBx а также пара сил, образующих момент M y2 .

Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид

M Ay 0 ,

RBx (L2 L3 ) kt Ft1L1 Fx L2 M2y 0,

MBy 0,

Рис. 7.4

RAx (L2 L3 ) kt Ft1( L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y 0 ,

или

RAx ( kt Ft1(L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y )/(L2 L3 ), RBx ( kt Ft1L1 Fx L2 M2y )/(L2 L3 ).

Тогда,

137

RAx -(-120*(8+5+12)+250*12+0)/(5+12)= 0 Н,

RBx (-120*8-250*5+0)/(5+12)= -130 Н.

Проверка

Xi RAx RBx kt Ft1 Fx 0-130-120+250= 0.

Следовательно, реакции RAx и RBx определены правиль-

но.

Суммарные реакции опор вала определяются по формуле

Осевая реакция подшипника В определится из уравнения равновесия вала в проекциях на ось z

RBz Fa1 Fa2 0.

Отсюда следует RBz Fa1 Fa2 0.

Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов Вертикальная плоскость (zy )

Изгибающие моменты M x равны:

Вточке С M xC 0;

Вточке А M xA M xC Fr1L1 M1x -44*8+0= -352

Н*мм;

Вточке D справа M xD RBy L3 M2x 6,353*12+0=

76,235 Н*мм.

В точке D слева

M xD RBy L3 6,353*12= 76,235 Н*мм В точке В M xB 0.

Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости приведена на рис. 7.3.

Горизонтальная плоскость (zx)

Изгибающие моменты M y равны:

138

В точке С M yc 0;

В точке А M yA Kt Ft1L1 M1x 120*8= 960 Н*мм;

В точке D справа

M yD RBx L3 -(-130)*12= 1560 Н*мм.

В точке D слева

M yD RBx L3 M2y 130*12+0= 1560 Н*мм.

В точке В M yB 0

Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости приведена на рис. 7.4.

Крутящие моменты в поперечных сечениях вала равны: На участке AC Mкр kt M 1000 Н*мм;

На участке AD = 1000 Н*мм; На участке BD Mкр 0.

Эпюра крутящих моментов в горизонтальной плоскости приведена на рис. 7.5.

Суммарный изгибающий момент в сечении вала определя-

В точке B MiB 0.

Эквивалентный момент в поперечных сечениях вала по

139