Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1432

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

li j ei ( jx eix jy eiy ),

где j - вектор базового перемещения с номером j; ei - орт

оси стержня с номером i, направленный от подвижного узла стержня к неподвижному узлу.

Удлинения стержней с обоими подвижными узлами опре-

деляются по формулам

li 1 ei 2 ei .

Проекции ортов осей стержней определяются матрицами


eˆ1	cos			sin 0,7071				0,7071 ;
eˆ2	0	1 , eˆ3		cos	sin 0,8321				0,5547 ;
eˆ4	cos			sin 0,8321			0,5547 ;
eˆ5	cos		sin 0,7071			0,7071 .

Проекции орта базовых перемещений на оси координат определяются матрицами

ˆ 1 0		1 , ˆ 2 0			1 .
Для рассматриваемой системы
l1	1		e1	1y	e1y	-1*(-0,7071)= 0,7071 1 ;
l2 2 e2 1 e1 2 1 ,
l3	1		e3	1y	e3y	-1*0,5547= -0,5547 2 ,
l4	1		e4	1y	e4y	-1*0,5547=-0, 0,5547 2 ,
l5		ˆ		1y	e5y	-1*(-0,7071)= 0,7071 1 .
	1		e5

Матрица D связи деформаций стержней и базовых перемещений имеет вид

	0,7071	0,0000
	-1,0000	1,0000
	-1,0000	1,0000
	0,0000	-0,5547
D	0,0000	-0,5547	.
	0,0000	-0,5547
	0,7071	0,0000
	0,7071	0,0000

	50

Уравнения равновесия системы, с учетом ее симметрии относительно оси у, сводятся одному уравнению в проекциях всех сил на ось y для узлов А и D

-N10,7071+N2 - N5 0,7071=0,

-N2 +N3 0,5547+ N4 0,5547+Py =0.

Матрица R системы уравнений равновесия стержневой системы

-0,7071				1,0000			0,0000				0,0000			-0,7071
R	0,0000			-1,0000				0,5547			0,5547			.
	0,0000			-1,0000				0,5547			0,5547			0,0000
Матрица	ˆ
Матрица	P – матрица правых частей уравнений равнове-
сия					0
				ˆ	0					0
				P							.
					Py					25
В результате перемножения получается
	M RCD EF						-1,9428				1,0000
	M RCD EF							1,0000						.
где								1,0000			- 2,0241
где							0,6667				0,0000
							0,6667				0,0000
						-1,0000
						-1,0000					1,0000

		CD EF					0,0000 -0,9231 .
							0,0000			-0,9231
							0,6667				0,0000
							0,6667				0,0000

Уравнения для определения базовых перемещений в мат-
ричной форме имеют вид									1,0000 ˆ
	ˆ			-1,9428					1,0000 ˆ				0
	Mu		EF		1,0000						u			.
					1,0000			- 2,0241					25
Обратная матрица системы
	M 1				-0,6902				-0,3410			/ EF .
	M 1				-0,3410							/ EF .
					-0,3410				-0,6625
								51

Решение системы
ˆ	1 ˆ	-0,6902		-0,3410 0						1		0,1188
M	P	-0,3410					/ EF							.
M	P						/ EF							.
				-0,6625 25							EF 0,5974
Матрица нормальных сил в стержнях
				0,6667		0,0000
						1,0000
			-1,0000			1,0000					0,1188
								1			0,1188
	N CDˆ EF			0,0000		-0,9231
	N CDˆ EF			0,0000		-0,9231
				0,0000		-0,9231 EF 0,5974
				0,6667		0,0000
				0,6667		0,0000

-5,6837		-8,0380			15,2894		15,2894				-5,6837 T кН .
Проверка решения уравнений равновесия
									- 5,683

	-0,707	1,000	0,000 0,000						- 8,038				0
	-0,707	1,000	0,000 0,000				-0,707			15,289			0
RN										15,289				.
	0,000-1,000		0,554		0,554		0,000			15,289			25
										- 5,683
										- 5,683

Как видно, решение верно.

Для определения площадей стрежней используем условия прочности стержней

				i				Ni	[ ] .

								F
				\| Ni		\|		i
Отсюда F	k	Fi	F	\| Ni		\|	.
Отсюда F	k		F				.
i				[	]
				[	]

Для определения площади F получаем систему неравенств

F	\|N1 \|	, F	\|N3 \|	, F	\|N4 \|	, F	\|N5 \|	,
F	kF1 [ ]	, F	kF3 [ ]	, F	kF4 [ ]	, F		,
	kF1 [ ]		kF3 [ ]		kF4 [ ]		kF5 [ ]
или
				52

|N1 |

= 5,6837*10

/2*160= 17,761 мм ,

kF1 [ ]

|N2 |

= 8,0380*10

/2*160= 25,118 мм ,

kF2 [ ]

|N3 |

= 15,284*10

/3*160= 31,853 мм ,

kF3 [ ]

|N4 |

= 15,284*10

/3*160= 31,853 мм ,

kF4 [ ]

|N5 |

= 5,6837*10

/2*160= 17,761 мм ,

kF5 [ ]

Тогда F= 31,853 мм2.

Диаметры стержней

4F1

4kF1F

d1 d5

4 2 31,853

9,0063мм,

4F2

4kF2 F

4 2 31,853

9,0063мм,

d3 d4

4F3

4kF3F

4 3 31,853

11,030мм.

Определение температурных напряжений При определении температурных напряжений внешние

нагрузки считаются отсутствующими Уравнения равновесия системы, с учетом ее симметрии

относительно оси у, сводятся двум уравнениям в проекциях всех сил на ось y для узлов А и D

-N10,7071+N2 - N5 0,7071=0,

-N2 +N3 0,5547+ N4 0,5547=0.

Матрица R –системы уравнений равновесия стержневой системы остается прежней.

Матрица Pˆ – матрица правых частей уравнений равнове-

сия

Pˆ 0 .0

Удлинение стержня определяется по формуле

li Nili tli Ci 1Ni tli .

EFi

где Ni - нормальная сила в поперечном сечении стержня; li -

длина участка стержня; Е – модуль упругости стержня; F – площадь поперечного сечения стержня на участке с номером i; - коэффициент линейного расширения материала стержня.

В матричном виде получается

						Dˆ C 1N tl ,
где C 1-		матрица, обратная к матрице жесткости системы;
ˆ		4 ,l	T		- матрицастолбец длин стержней.
l	l1 ,l3 ,l	4 ,l	5		- матрицастолбец длин стержней.
	Умножение этого выражения на RC дает
					RCDˆ RCC 1N tRCl .
	По определению CC 1 I , где I - единичная матрица.
						ˆ
	Поскольку RI R и RN 0 , получается
						ˆ
						RCD tRCl .
	В результате перемножения получается
	RC EF		-0,6667			1,0000	0,0000	0,0000	-0,6667
	RC EF				0,0000	-1,0000	0,9231 0,9231		.
					0,0000	-1,0000	0,9231 0,9231		0,0000
						-1,9428		1,0000
				M RCD EF				.
						1,0000		- 2,02411

Уравнения для определения базовых перемещений в матричной форме имеют вид

Mˆ tRCl , 54

	или	1,00 u1
EF	-1,94	1,00 u1				-0,666		1,0		0,000 0,000 -0,67
EF					tEF
	1,00- 2,02 u			2		0,000-1,0 0,923 0,923 0,00
			2,1213
			2
						-0,8284
						-0,8284
			x 1,8028					tEF .
			1,8028			1,3282

			2,1213

	Обратная матрица системы
			M 1		-0,6902		-0,3410			/ EF .
			M 1							/ EF .
	Решение системы				-0,3410		-0,6625
	Решение системы
1		-0,6902			-0,3410 0,8284					0,1188
	t		-0,3410		-0,6625		1,3282		t		0,5974	.
			-0,3410		-0,6625		1,3282				0,5974
2
	Пусть
	g E tF 2 105 125 10 7 (+35)31,853= 2787,12 Н.
	Матрица нормальных сил в стержнях
					N CDˆ tCl ,
		0,9428		0,0000		0,0000	0,0000			0,0000
				1,0000		0,0000	0,0000
		0,0000		1,0000		0,0000	0,0000			0,0000
				0,0000		1,6641	0,0000
	N g	0,0000		0,0000		1,6641	0,0000			0,0000 x
		0,0000		0,0000		0,0000	1,6641			0,0000
				0,0000		0,0000	0,0000
		0,0000		0,0000		0,0000	0,0000			0,9428

				0,7071				0,0000						2,1213
								1,0000
				-1,0000				1,0000			0,1188			2
		x			0,0000		-0,5547				0,1188			1,8028		H,

										0,5974
										0,5974
					0,0000		-0,5547							1,8028
					0,0000		-0,5547							1,8028
					0,7071			0,0000						2,1213

						-7570,81 -6824,23 -6824,23 -5353,37 T Н.
	N -5353,37					-7570,81 -6824,23 -6824,23 -5353,37 T Н.
	Проверка решения уравнений равновесия
													- 5353,37
														-7570,81
	-0,707				1,0	0,000			0,000 -0,707					-7570,81		0
	-0,707				1,0	0,000			0,000 -0,707					-6824,23		0
RN														-6824,23		.
		0,000 -1,0				0,554			0,554		0,000			-6824,23		0

														- 5353,37

	Результат подтверждает правильность решения.
	Температурные напряжения определяются по формулам
i Ni		/ kFi F .
вид	Матрица нормальных температурных напряжений имеет
вид
							- 5353,3724/2					- 84,0328
								-7570,8118/2
		1			1			-7570,8118/2				-118,8403
		1			1
			N					-6824,2375/3				-71,4141			МПа.
			N					-6824,2375/3				-71,4141			МПа.
		F			31,853			-6824,2375/3					-71,4141
								-6824,2375/3					-71,4141
													- 84,0328
								- 5353,3724/2					- 84,0328

Пример 4

Подбор сечений стержней плоской статически неопределимой системы с жестким телом

Для заданной стержневой системы (рис. 2.10), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если

известны: соотношение площадей, величина действующей нагрузки и допускаемое напряжение.

Исходные данные:

а = 0,7м; Р = 50 кН; = 160 МПа.

Решение

Так как диск может совершать только вращательное движение, система один раз кинематически определима. В качестве базового перемещения выберем пе-

ремещение точки D. В таком случае перемещение точки В будет равно

Рис. 2.10	B 3a / a 3 .
	Выразим	удлинения

стержней через базовое перемещение

l1 , l2 B cos 3 cos 3 0,6 1,8 ,

где cos 2a / (2a)2 (1,5a )2 2 / 2,5 0,8 ;

sin 1,5a / (2a)2 (1,5a)2 1,5 / 2,5 0,6 ; cos cos( 0,5 ) sin 0,6.

Таким образом, матрица связи деформации стержней с базовыми перемещениями будет иметь вид:

	1
D		.
1,8

Рассмотрим равновесие диска, заменив действия на него со стороны стержней нормальными силами. В качестве уравнения равновесия системы возьмем уравнения равновесия моментов относительно точки С

N1 a N2 1,8a P3a 0,

или

N1 1,8N2 3P .

Таким образом, матрица системы уравнений равновесия

имеет вид:	1,8 .
R 1

Как видно, в данном случае матрицу D можно было бы получить простым транспонированием матрицы R.

Жесткости стержней:

2EF

1,333

1,5a

2EF

0,4

2,5a

Матрица жесткостей системы

1,333

0,4

Система уравнений равновесия диска в матричной форме имеет вид

RCDˆ Pˆ ,

где Pˆ 3P - матрица – столбец правой части системы урав-

нений; ˆ - матрица – столбец базового перемещения. Очевидно, что

	EF		1,333		0	1
RCD		1	1,8
				0
	a				0,4 1,8

	EF			1,333							EF
		1		1,8				2,629				.

	a					0,72					a
Тогда система уравнений принимает вид
			2,629		EF		3P,

				3Pa		a			Pa
откуда следует, что							1,141			.

				2,629EF					EF
						58