Учебное пособие 1360

УДК 512.8

Майорова С.П. Алгебра: курс лекций: учеб. пособие / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. Ч. 4. 180 с.

В учебном пособии содержится изложение теоретического материала по разделам: линейные пространства и их линейные преобразования, пространства со скалярным произведением, квадратичные формы курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия». Приведены контрольные вопросы по всем темам и задания к типовым расчетам. Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Пособие предназначено для студентов второго курса радиотехнического факультета очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержится в файле Алгебра-4.pdf.

Библиогр.: 7 назв.

Рецензенты: кафедра программного обеспечения и администрирования информационных систем Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф.

М.А. Артемов); д-р физ.-мат. наук, проф. М.И. Каменский

©Майорова С.П., Завгородний М.Г., 2011

©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Развитие компьютерных и информационных технологий требует все большего внимания к вопросам информационной безопасности. Активно развиваются криптографические методы защиты информации, которые, в свою очередь, опираются на ряд алгебраических структур. Широко используются все разделы алгебры при изучении общетехнических

испециальных дисциплин, определяемых Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем». Поэтому алгебра является одной из базовых дисциплин для указанных специальностей.

Данное пособие является составной частью комплекса учебных пособий по курсу «Алгебра» для студентов специальностей 090301 и 090303 радиотехнического факультета Воронежского государственного технического университета. В основу пособия положен теоретический материал по нескольким разделам курса: линейные пространства и их линейные преобразования, пространства со скалярным произведением, квадратичные формы, который излагается на лекциях, а также предлагается студентам для самостоятельного изучения. Большинство рассматриваемых в пособии понятий

ирезультатов иллюстрируется примерами. По всем темам приведены контрольные вопросы и задания на закрепление изложенного материала. В приложении приведены задания к типовым расчетам.

Данное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем» и предназначено для студентов второго курса.

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

В аналитической геометрии изучались векторы на плоскости и в пространстве. В частности, определялись операции сложения векторов и умножения векторов на действительные числа. Аналогичные операции со сходными свойствами можно определить и на других объектах, например на многочленах и матрицах. В связи с этим возникает естественная потребность выделить и изучить в общем виде определенный класс алгебраических структур, называемых линейными пространствами. Различные конкретные линейные пространства широко используются в приложениях, в частности при переработке, хранении, передаче и защите информации.

1.1.Определение линейного пространства, его простейшие свойства

Пусть L - это множество элементов произвольной природы; P - некоторое числовое поле, его элементы будем называть скалярами.

Определение. Множество L называется линейным пространством над полем P , если для любых элементов x, y L определена сумма x + y L ; для любого элемента

x L и любого скаляра α P определено произведение αx L ; и введенные операции сложения и умножения удовлетворяют следующим восьми аксиомам:

1) x + y = y + x x, y L ;

2) (x + y) + z = x +( y + z) x, y, z L ;

3) существует элемент θ L такой, что x +θ = x x L;

4) для любого x L существует противоположный элемент −x L такой, что x +(−x) =θ ;

7) (α +β)x =αx + βx x L и α, β P ; 8) α(x + y) =αx +α y x, y L и α P .

Отметим, что свойства 1 - 4 описывают свойства операции сложения и означают, что алгебраическая структура (L, +) является абелевой группой. Свойства 5 - 6 описывают

свойства операции умножения элементов множества L на скаляры. Свойства 7 - 8 описывают связь введенных операций сложения и умножения между собой.

Элементы любого линейного пространства мы будем называть векторами. По этой причине линейные пространства часто называют векторными.

В приложениях линейной алгебры чаще всего рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел или полем действительных чисел. Если P = , то L будем называть вещественным линейным пространством; если же P = , то L называют комплексным линейным пространством. В теории информации полезными оказываются линейные пространства над конечными полями, особенно над полем Галуа GF(2) , состоящим из двух элементов 0 и 1,

которое изоморфно полю 2 вычетов по модулю 2.

Рассморим простейшие свойства линейных пространств. Обозначим через θ - нулевой вектор пространства L , а через 0 обозначим нуль поля P .

Свойство 1. 0 x =θ x L .

Доказательство. В силу аксиомы 7 определения линейного пространства имеем: 0 x +0 x = (0 +0)x = 0 x . До-

бавим к обеим частям этого равенства элемент, противоположный элементу 0 x . Получим:

0 x +0 x +(−0 x) = 0 x +(−0 x) ,

откуда 0 x =θ . ■

Свойство 2. α θ =θ α P .

Доказательство. В силу аксиомы 8 определения линейного пространства имеем:

α θ +α θ =α (θ +θ) =α θ .

Добавим к обеим частям этого равенства элемент −α θ , получим α θ =θ . ■

Свойство 3. Если αx =θ , то либо α = 0 , либо x =θ .

Доказательство. Пусть αx =θ . Рассмотрим два случая: α = 0 и α ≠ 0 . Если α = 0 , то 0 x =θ в силу свойства 1.

Если же α ≠ 0 , то существует обратный элемент α−1 (так как α - это ненулевой элемент поля). Умножим обе части

равенства αx =θ на α−1 :

α−1αx =α−1θ x =θ (в силу свойства 2). ■

Приведем примеры линейных пространств.

Пример 1. Множество комплексных (или действительных) чисел есть линейное пространство над полем относительно операций сложения комплексных (или действительных) чисел и умножения их на действительные числа.

Пример 2. Множество V2 всех векторов плоскости или множество V3 всех векторов пространства есть линейное

пространство над полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения векторов на действительные числа.

Пример 3. Пусть P - произвольное поле и L = Pn - арифметическое пространство над полем P , т.е. множество всевозможных упорядоченных наборов x = (x1, x2 ,..., xn ) , где

xi P , с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр:

Тогда L = Pn является линейным пространством над полем P . Отметим важные частные случаи: n , n , n . Нулевым элементом в пространстве Pn является вектор θ = (0,0,...,0) . Элементом, противоположным к вектору x = (x1, x2 ,..., xn ) , является вектор −x = (−1)x = (−x1, −x2 ,..., −xn ) . Проверку ак-

сиом линейного пространства проведите самостоятельно. Пример 4. Пусть Mm×n (P) - это множество всех мат-

риц размера m×n c элементами из поля P . Относительно обычных операций матричного сложения и умножения матрицы на скаляр α P данное множество Mm×n (P) является

линейным пространством над полем P . (Докажите!) Пример 5. Пусть P[t](n) - множество всех многочленов

над полем P , степень которых не выше n , т.е.

P[t](n) ={ f (t) P[t], deg f (t) ≤ n}.

Относительно операций сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр α P данное множество P[t](n) яв-

ляется линейным пространством. Действительно, для любых f , g P[t](n) имеем

deg( f + g) ≤ n , deg(α f ) ≤ n ,

а значит в P[t](n) определено сложение многочленов и ум-

ножение многочлена на скаляр. Нулевым элементом пространства P[t](n) служит нулевой многочлен. Остальные ак-

сиомы линейного пространства проверьте самостоятельно. Отметим, что множество многочленов, степень кото-

рых равна n , линейным пространством уже не является, так как сумма двух таких многочленов может иметь степень меньше n . Например, для f (t) = tn +1 и g(t) = −tn +1 имеем f (t) + g(t) = 2 . Последнее означает, что операция сложения

во множестве многочленов степени n не определена. Пример 6. Множество векторов плоскости, выходящих

из начала координат, концы которых лежат на прямой y = kx , образует линейное пространство. (Докажите!) Если

же рассмотреть векторы плоскости, концы которых лежат на прямой y = kx +b при b ≠ 0 , то это множество уже не будет

линейным пространством, так как не определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.

Пример 7. Множество, состоящее из одного вектора - нулевого, т.е. L ={θ}, является линейным пространством над

любым полем. Его называют нулевым пространством. Задача 1. Пусть L - это множество всех упорядочен-

ных пар положительных действительных чисел, т.е.

L ={x : x = (x1, x2 ), xi , xi > 0}.

Выясните, является ли L вещественным линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x + y = (x1y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное

число – равенством λx = (x1λ , x2λ ) .

ные операции не выводят из множества L .

Проверим, удовлетворяют ли данные операции аксиомам 1-8 из определения линейного пространства. Имеем:

1) x + y = (x1 y1, x2 y2 ) = ( y1x1, y2 x2 ) = y + x x, y L ; 2) (x + y) + z =(x1y1, x2 y2 ) +(z1, z2 ) =((x1y1)z1,(x2 y2 )z2 ) =

= (x1( y1z1), x2 ( y2 z2 )) = x +( y + z) x, y, z L ;

3) Нулевой вектор θ ищем в виде θ = (t1,t2 ) , где ti ,

Таким образом, нулевой вектор существует и имеет вид

θ= (1,1) .

4)Для любого вектора x = (x1, x2 ) найдем противопо-

Так как по условию x1 ≠ 0 и x2 ≠ 0 , то противоположный элемент −x существует для любого вектора x = (x1, x2 ) и

имеет вид −x = ( 1 , 1 ) . x1 x2

5) 1 x =1 (x1 , x2 ) = (x11, x12 ) = x x L ; 6) (αβ)x = (x1αβ , xαβ2 ) ,

α(βx) =α(x1β , x2β ) = ((x1β )α ,(x2β )α ) = (x1αβ , xαβ2 ) .

Следовательно, (αβ)x =α(βx) x L , α, β P .

7)(α + β)x = (x1α+β , xα2 +β ) ,

αx +βx = (x1α , xα2 ) +(x1β , x2β ) = (x1α x1β , xα2 x2β ) = (x1α+β , xα2 +β ) .

Следовательно, (α +β)x =αx + βx .

8)α(x + y) =α(x1 y1, x2 y2 ) = ((x1 y1)α , (x2 y2 )α ) ,

αx +α y = (x1α , xα2 ) +( y1α , yα2 ) =

= (x1α y1α , xα2 yα2 ) = ((x1 y1)α ,(x2 y2 )α ) .

Следовательно, α(x + y) =αx +α y .

Таким образом, все восемь аксиом выполнены, и данное множество L является линейным пространством.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.1

1.Сформулируйте определение линейного пространства.

2.Приведите примеры линейных пространств.

3.Как называют элементы линейного пространства?

4.В чем отличие вещественного линейного пространства от комплексного линейного пространства? Приведите при-

меры таких пространств.

5.Является ли вещественным линейным пространством множество, состоящее из одного нулевого вектора?

6.Могут ли в вещественном линейном пространстве существовать:

а) два нулевых вектора; б) два противоположных вектора для некоторого данного

вектора x ?

7.Справедливо ли равенство θ = −θ ?

8.Является ли вещественным линейным пространством

множество всех векторов (x1,..., xn ) n , удовлетворяю-

9.Являются ли следующие множества матриц вещественными линейными пространствами:

10. Является ли вещественным линейным пространством: а) множество отрицательных действительных чисел; б) множество векторов плоскости, выходящих из начала

координат, с концами на прямой y = kx +b ;

в) множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, с концами на прямой y = kx +b , где b ≠ 0 ;

г) множество многочленов степени ≤ n (включая нулевой многочлен) с комплексными коэффициентами;

д) множество многочленов степени n с действительными коэффициентами;

е) множество функций вида α cos x + β sin x , где α, β - произвольные вещественные числа?

1.2.Базис и размерность линейного пространства

Пусть L - линейное пространство над полем P . Определение. Система векторов u1,...,um пространства

L называется линейно независимой, если для любых скаляров α1,...,αm P из равенства α1u1 +... +αmum =θ следуют

равенства α1 = 0,...,αm = 0 .

Определение. Система векторов u1,...,um пространства

L называется линейно зависимой, если существуют скаляры α1,...,αm P , не все одновременно равные нулю, такие, что

α1u1 +... +αmum =θ .

Для произвольных линейных пространств остаются в силе формулировки и доказательства свойств и теорем о линейной зависимости и независимости систем векторов (см. п.2.13 части 1 настоящего пособия). Напомним их.

Критерий линейной зависимости векторов. Система векторов u1,...,um линейно зависима тогда и только тогда,

когда хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов:

1)Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2)Любая система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

3)Если система векторов u1,...,um линейно зависима,

то всякая большая система векторов u1,...,um ,um+1,...,uk так

же будет линейно зависима.

4) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Рассмотрим линейное пространство L . Пусть в нем существует n линейно независимых векторов, и любая большая совокупность векторов будет линейно зависима. Тогда пространство L называют n -мерным, а число n называют размерностью пространства и обозначают n = dim L .

Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Пространства, имеющие конечную размерность, называются конечномерными. Если же в линейном пространстве существует линейно независимая система из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В дальнейшем бесконечномерные пространства подробно не рассматриваются.

Введем понятие базиса.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2 ,..., en линейного пространства L называется базисом

этого пространства, если:

1)векторы e1, e2 ,..., en линейно независимы;

2)любой вектор x L может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.

Равенство (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2 ,..., en , а коэффициенты этого разложения

α1,α2 ,...,αn - координатами вектора x в базисе e1, e2 ,..., en .

Отметим, что все базисы конечномерного линейного пространства равномощны, т.е. состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание. Как видно из определения, размерность линейного пространства равна числу векторов базиса. По-

этому часто линейное пространство L называют n -мерным, если в нем существует базис из n векторов.

Справедливо следующее свойство базиса:

Теорема 1. Разложение вектора по данному базису единственно.

Доказательство. Пусть вектор x L допускает два разложения по базису e1, e2 ,..., en линейного пространства L :

x =α1e1 +α2e2 +... +αnen , x = β1e1 + β2e2 +... + βnen .

Рассмотрим разность

x − x = (α1 −β1)e1 +(α2 −β2 )e2 +... +(αn −βn )en =θ .

Откуда в силу линейной независимости векторов базиса e1, e2 ,..., en получаем, что все коэффициенты равны нулю:

α1 −β1 = 0 , α2 −β2 = 0 , … , αn −βn = 0 ,

а значит α1 = β1 , α2 = β2 , … , αn = βn . ■

Рассмотрим несколько примеров линейных пространств, укажем в них базисы и выясним их размерность.

Пример 8. В пространствах V2 и V3 базисами являются

соответственно любая пара неколлинеарных векторов и любая тройка некомпланарных векторов. Размерность этих пространств определяем по числу векторов базиса: dimV2 = 2 , dimV3 = 3 .

Пример 9. В арифметическом пространстве L = Pn , где P - произвольное поле, базис образуют векторы

e1 = (1,0,0...,0) , e2 = (0,1,0,...,0) , … , en = (0,0,0...,1) .

Таким образом, L = Pn является конечномерным пространством и его размерность dim Pn = n .

Пример 10. В линейном пространстве многочленов P[t](n) , степень которых не выше n , базис образуют много-

члены

1, t ,t2 , ... , tn .

Поэтому P[t](n) - конечномерное пространство, его размер-

ность dim P[t](n) = n +1.

Пример 11. В линейном пространстве матриц Mm×n (P) базис образуют матрицы

Eij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ,

где Eij - матрица, в которой на пересечении i -ой строки и j -го столбца стоит единица, а остальные ее элементы - нулевые. Тогда dim Mm×n (P) = mn .

Базисы, указанные в примерах 9-11, называют каноническими (т.е. простейшими) базисами соответствующих линейных пространств.

Пример 12. Базисом нулевого пространства L ={θ}

считается пустая система векторов (или говорят, что нулевое пространство не имеет базиса), размерность этого пространства считается равной нулю.

Задача 2. Найдите координаты вектора x = (1,3,1) в ба-

зисе e1 = (1,0,0) , e2 = (1,1,0) , e3 = (1,1,1) .

Решение. Обозначим координаты вектора x в данном базисе через α1,α2 ,α3 , т. е.

x =α1e1 +α2e2 +α3e3 .

Последнее равенство запишем покоординатно:

откуда, приравнивая соответствующие координаты, получим

= (1+t2 )(1−5t) в каноническом базисе пространства P[t](3) . Решение. Канонический базис пространства многочленов P[t](3) имеет вид 1, t, t2 , t3 . Найти координаты данного многочлена f (t) в каноническом базисе - это значит найти

коэффициенты αi в разложении

f (t) =α1 1+α2 t +α3 t2 +α4 t3 .

Преобразуем данный многочлен - раскроем скобки и упорядочим слагаемые по возрастающим степеням переменной t . Получим:

f (t) = (1+t2 )(1−5t) =1−5t +t2 −5t3 .

Отсюда видно, что α1 =1, α2 = −5 , α3 =1, α4 = −5 . А значит, многочлен f (t) в данном базисе можно записать в виде

вектора, заданного своими координатами: f (t) = (1, −5,1, −5).

Контрольные вопросы и задания к п. 1.2

1.Сформулируйте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.

2.Перечислите свойства линейной зависимости.

3.Что называется базисом линейного пространства?

4.Может ли базис содержать нулевой вектор?

5.Как найти координаты вектора в данном базисе?

6.Что называется размерностью линейного пространства?

7.Как связаны между собой размерность пространства и число векторов базиса?

9. Установите линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в соответствующих линей-

стве матриц размера 2×2 .

10. Выясните, при каких значениях параметров данные сис-

образуют базис в линейном пространстве матриц второго порядка.

14. Найдите координаты вектора x = (6,0, −5) пространст-

15. Покажите, что в пространстве многочленов степени ≤ 3 следующие системы многочленов образуют базисы:

а) −2 , −x , 2x2 , x3 ;

б) 1, x −1, (x −1)2 , (x −1)3 .

Найдите координаты вектора f (x) = x2 −5x +6 в каждом из этих базисов.

1.3. Матрица перехода

Пусть L - линейное пространство, dim L = n . Пусть в пространстве L заданы два базиса B и B′:

B : e1, e2 ,..., en - старый базис, B′: e1′, e2′ ,..., en′ - новый базис.

Каждый из векторов нового базиса B′ разложим по старому базису B :

e1′ = t11e1 +t21e2 +... +tn1en , e2′ = t12e1 +t22e2 +... +tn2en ,

. . .

en′ = t1ne1 +t2ne2 +... +tnnen .

Из коэффициентов полученных разложений составим матрицу. Причем коэффициенты первой строки запишем в первый столбец матрицы, второй строки - во второй столбец и так далее. В результате получим матрицу:

Матрицу TB→B′ называют матрицей перехода от базиса B к

базису B′.

Сформулируем правило составления матрицы перехо-

да.

1)Новый базис разложить по старому.

2)Коэффициенты полученных разложений записать в матрицу столбцами.