Учебное пособие 1360

ek+1,..., en - базис подпространства L2 .

Тогда объединение этих базисов образует базис во всем пространстве L , так как L = L1 L2 и dim L = dim L1 +dim L2 .

Найдем матрицу оператора A в этом базисе. В силу инвариантности подпространств L1 и L2 имеем:

пространстве L1 , A2 - матрица оператора A в подпространстве L2 . ■

Верно и обратное утверждение: если матрица оператора A в некотором базисе имеет клеточно-диагональный вид, то пространство L распадается в прямую сумму инвариантных относительно A подпространств L1 и L2 .

Определение. Матрица вида (13) называется полураспавшейся, а матрица вида (14) - распавшейся на клетки A1 и

A2 . Произвольная квадратная матрица называется приводи-

мой или разложимой, если она подобна соответственно полураспавшейся или распавшейся матрице.

Изучение многих свойств линейного оператора с полураспавшейся или распавшейся матрицей облегчается тем, что сводится к изучению пространств меньших размерностей.

Примером может служить следующее утверждение.

Отсюда в силу одного из свойств определителей (см. теорему Лапласа, п.2.6 части 1 настоящего пособия) получаем:

χU (λ) =| A −λE | | C −λE |= χA (λ) χC (λ) . ■

2.8.Аннулирующий и минимальный многочлены линейного оператора

Введем понятие многочлена от оператора.

f (x) = an xn +an−1xn−1 +... +a0 - многочлен с коэффициентами ai P . Оператор вида

f (A) = an An +an−1An−1 +... +a0I

называется многочленом от оператора A .

Дадим определение аннулирующего многочлена. Определение. Многочлен f (x) P[x] называется ан-

нулирующим многочленом оператора A , если f ( A) = O .

Заметим, что правая часть равенства f (A) = O - это ну-

левой оператор, т.е. такой, что Ox =θ x L .

У каждого линейного оператора есть ненулевой аннулирующий многочлен. Это, например, его характеристический многочлен χA (λ) =| A −λE | . Этот факт вытекает из

следующей теоремы.

Теорема 26 (Гамильтона-Кэли). Любой линейный опе-

ратор является корнем своего характеристического многочлена, т.е. χA ( A) = O .

Заметим, что для одного и того же оператора можно построить несколько аннулирующих многочленов. Действиительно, если f (x) - аннулирующий многочлен, то всякий

многочлен вида f (x)g(x) g(x) P[x] также будет аннулирующим, так как

f (A)g( A) = O g(A) = O .

Введем понятие минимального многочлена. Определение. Аннулирующий многочлен наименьшей

степени со старшим коэффициентом, равным единице, назы-

вается минимальным многочленом оператора.

Обозначение: mA (x) .

Теорема 27. Минимальный многочлен для любого оператора единственный.

Доказательство. Предположим, что m1(x) и m2 (x) -

два минимальных многочлена оператора A . Тогда разность m1(x) −m2 (x) является аннулирующим многочленом опера-

тора A , так как

m1( A) −m2 ( A) = O −O = O .

Причем по условию deg m1(x) =deg m2(x), а значит deg(m1(x) −m2(x)) <degm1(x) . Но это невозможно, так как m1(x) - аннулирующий многочлен наименьшей степени. Следовательно, m1(x) −m2 (x) = 0 (нулевой многочлен), от-

куда m1(x) = m2 (x) . ■

Теорема 28. Минимальный многочлен является делителем аннулирующего многочлена.

Доказательство. Пусть f (x) и m(x) - аннулирующий

и минимальный многочлены для оператора A . Разделим с остатком f (x) на m(x) :

f (x) = m(x)q(x) +r(x) , deg r(x) < deg m(x) .

Тогда

r(A) = f (A) −m(A)q(A) = O −O q(A) = O ,

значит r(x) - аннулирующий многочлен оператора A , причем его степень deg r(x) < deg m(x) . Но m(x) - аннулирую-

щий многочлен наименьшей степени. Следовательно, случай r(x) ≠ 0 невозможен.

Таким образом, r(x) = 0 , тогда f (x) = m(x)q(x) , и m(x) - делитель f (x) . ■

Укажем формулу для построения минимального многочлена.

Рассмотрим характеристический многочлен | A −λE | оператора A и его минимальный многочлен mA (x) . Эти два многочлена связаны следующим соотношением:

Укажем одно из приложений минимальных многочле-

нов.

Теорема 29. Матрица A Mn×n (P) приводима (т.е.

подобна полураспавшейся матрице) тогда и только тогда, когда ее минимальный многочлен приводим над полем P .

Пример 41. Построим минимальный многочлен линейного оператора, имеющего матрицу

взаимно простые, поэтому их наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, ∆2 =1 и

ϕ(λ) = (−1)3 | A −λE | =| A −λE |= (λ −1)(λ −2)(λ +1) ,

∆2

т.е. минимальный многочлен ϕ(λ) совпадает с характеристическим многочленом с точностью до знака.

§ 3. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

При изучении векторов плоскости и пространства в аналитической геометрии важную роль играло понятие скалярного произведения векторов

(a,b) =| a | | b | cos(a,b) .

В произвольном линейном пространстве мы не можем таким образом определить скалярное произведение, поскольку у нас нет пока понятий длины вектора и угла между векторами. Попытаемся в общем случае определить скалярное произведение аксиоматически, взяв за основу известные свойства скалярного произведения векторов плоскости.

3.1.Евклидово пространство. Основные свойства, примеры

Пусть L - вещественное линейное пространство. Определение. Говорят, что в вещественном линейном

пространстве L задана операция скалярного произведения, если каждой паре векторов x, y L поставлено в соответст-

вие вещественное число (x, y) так, что выполнены следую-

щие аксиомы:

1) (x, y) = ( y, x) симметричность;

(положительная определенность).

Число (x, y) называется скалярным произведением векторов x и y , аксиомы 1 - 4 называются аксиомами ска-

лярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением, называется евклидовым пространством.

В дальнейшем евклидово пространство будем обозначать E .

Замечание. Из аксиом 1 - 3 скалярного произведения вытекает аддитивность и однородность по второму аргументу. Действительно:

i=1

Покажем это. Проверим аксиомы 1 - 4 скалярного произведения.

1) Докажем симметричность. Имеем:

( y, x) = y1x1 + y2 x2 +... + yn xn .

Так как xi , yi , то yi xi = xi yi , поэтому

( y, x) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn = (x, y) .

2) Докажем аддитивность. Для вектора x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn ) имеем:

(x + y, z) = (x1 + y1)z1 +(x2 + y2 )z2 +... +(xn + yn )zn =

=(x1z1 + y1z1) +(x2 z2 + y2 z2 ) +...+(xn zn + yn zn ) =

=(x1z1 + x2z2 +...+ xnzn ) +(y1z1 + y2z2 +...+ ynzn ) =(x, z) +(y, z) .

(λx, y) = (λx1) y1 +(λx2 ) y2 +... +(λxn ) yn =

=λ(x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ) = λ(x, y) .

4)Проверим свойство положительной определенности.

Имеем:

Кроме того, равенство x12 + x22 +... + xn2 = 0 выполняется тогда

(x, x) = 0 x =θ .

Таким образом, все аксиомы скалярного произведения выполнены, а значит равенство (15) действительно задает

операцию скалярного произведения векторов x, y n .

В дальнейшем скалярное произведение, определенное формулой (15), будем называть каноническим.

Пример 43. В том же (см. пример 42) линейном про-

странстве L = n скалярное произведение можно определить по-другому.

Пусть α1,α2 ,...,αn - положительные действительные

числа. Тогда скалярное произведение можно задать формулой:

(Докажите!)

Пример 44. В пространстве L = n предложим еще одну формулу для скалярного произведения. Для векторов

Докажите, что аксиомы 1 - 4 скалярного произведения будут выполнены.

Таким образом, линейное пространство L = n можно превратить в различные евклидовы пространства, определяя по-разному операцию скалярного произведения векторов, например, формулами (15), (16) или (17), или как-то иначе.

Пример 45. Пусть L = C[a,b] - пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b] . Скалярное произведение век- торов-функций можно задать формулой

a

Действительно, в силу свойств определенного интеграла имеем:

b b

1) ( f , g) = ∫ f (t)g(t)dt = ∫g(t) f (t)dt = (g, f ) .

a a

3) (λ f , g) = ∫λ f (t)g(t)dt = λ∫ f (t)g(t)dt = λ( f , g) .

a a

b

4) Свойство ( f , f ) = ∫ f 2 (t)dt ≥ 0 верно, так как инте-

a

грал от неотрицательной функции всегда неотрицателен. Кроме того,

b

( f , f ) = 0 ∫ f 2 (t)dt = 0 f = 0 ,

a

так как интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен нулю тогда и только тогда, когда функция равна нулю.

Таким образом, все аксиомы скалярного произведения выполнены. Следовательно, формула (18) действительно задает операцию скалярного произведения.

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в

любом евклидовом пространстве геометрическую терминологию - определить понятия длины вектора, ортогональных векторов, угла между векторами. Сделаем это в последующих пунктах.

3.2.Унитарное пространство. Основные свойства, примеры

Пусть L - комплексное линейное пространство. В пространстве L введем операцию скалярного произведения.

Определение. Комплексное число (x, y) называется

скалярным произведением векторов x, y L , если выполня-

ются следующие аксиомы:

1)(x, y) = ( y, x) ;

2)(x + y, z) = (x, z) +( y, z) ;

Определение. Комплексное линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением называется унитарным пространством.

Далее унитарное пространство будем обозначать U . Замечание. Из определения скалярного произведения

вытекает следующее.

1) (x, x) - это всегда действительное число. Покажем

это. В силу аксиомы 1 верно (x, x) = (x, x) , т.е. комплексное число (x, x) совпадает со своим сопряженным, а это свойст-

во выполняется только для действительных чисел, значит

(x, x) .

2) Из свойств 1, 2 вытекает аддитивность по второму аргументу:

(x, y +z) =(y +z, x) =(y, x) +(z, x) =(y, x) +(z, x) =(x, y) +(x, z) .

3) Из свойств 1, 3 не следует однородность по второму аргументу. Действительно, для любого комплексного числа λ имеем:

(x, λy) = (λy, x) = λ( y, x) = λ ( y, x) = λ (x, y) ,

или (x, λy) = λ (x, y) , т.е. из второго аргумента скалярного

произведения выносится не λ , а λ . Поэтому скалярное произведение в унитарном пространстве свойством линейности по второму аргументу не обладает.

Пример 46. В комплексном линейном пространстве L , dim L = n, скалярное произведение векторов x =(x1, x2,..., xn ) ,

y = ( y1, y2 ,..., yn ) , где xi , yi , можно задать следующим образом:

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn . (Докажите!)

3.3.Геометрия евклидовых и унитарных пространств

С помощью скалярного произведения введем геометрическую терминологию в евклидовых и унитарных пространствах.

Определение. Длиной (или нормой) вектора x в евклидовом или унитарном пространстве называется число

x = (x, x) .

Из аксиом скалярного произведения вытекают следующие факты.

1) Любой вектор евклидова или унитарного пространства имеет длину, при этом x ≥ 0 для любого x E(U ) и

x = 0 x =θ .

2) При умножении вектора x на число λ , его длина умножается на | λ | , т.е. λx =| λ | x . Действительно,

на его длину.

Только для евклидовых пространств можно определить понятие угла между векторами.

Определение. В евклидовом пространстве углом меж-

Если среди векторов x , y есть хотя бы одни нулевой,

то угол между такими векторами считается неопределенным. Отметим, что в унитарном пространстве понятие угла между векторами не определено, так как скалярное произведение (x, y) - это комплексное число. Однако, и в евклидо-

вом, и в унитарном пространстве можно ввести обобщение понятия прямого угла.

Определение. Векторы x , y евклидова или унитарно-

го пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (x, y) = 0 .

Обозначение ортогональных векторов: x y .

Вевклидовом пространстве ортогональность векторов

xи y означает, что либо один из них нулевой, либо угол

между ними равен π2 .

Контрольные вопросы и задания к п. 3.1-3.3

1.Сформулируйте определение евклидова пространства. Приведите пример такого пространства.

2.Каким образом можно ввести скалярное произведение в пространстве:

а) n ,

б) C[a,b] ?

3. Можно ли в вещественном линейном пространстве 2

(Ответ: нет.)

4.Сформулируйте определение унитарного пространства. Приведите пример такого пространства.

5.Докажите следующие свойства скалярного произведения в унитарном пространстве:

а) (x, λy) = λ(x, y) ;

б) (x, y + z) = (x, y) +(x, z) .

6.Как определяются длина (норма) вектора и угол между двумя ненулевыми векторами в евклидовом пространстве?

7.Докажите, что в пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2, скалярное произведение элементов f (x) и g(x) можно ввести по формуле

( f , g) = f (−1) g(−1) + f (0) g(0) + f (1) g(1) .

Вычислите нормы многочленов f (x) =1− x + x2 и g(x) =1+ x и угол между ними.

8.Можно ли в комплексном линейном пространстве квадратных матриц второго порядка ввести скалярное произведение по формуле:

а) ( A, B) = a1 a2 −b1 b2 +c1 c2 −d1 d2 , б) ( A, B) = a1 a2 +b1 b2 +c1 c2 +d1 d2 ,

9. Пусть u - фиксированный ненулевой вектор евклидова пространства, α - фиксированное число. Является ли множество всех векторов x , для которых (x,u) =α , подпространством данного евклидова пространства?

(Ответ: да, если α = 0 ; нет, если α ≠ 0 ) 10. Докажите, что:

а) если (x, y) = 0 для любого вектора x , то y =θ ;

б) если (x, y) = (x, z) для любого вектора x ( y и z - фиксированные векторы), то y = z .

3.4.Основные равенства и неравенства в пространствах со скалярным произведением

В пространствах со скалярным произведением справедливы неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника и теорема Пифагора.

Теорема 29 (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов x , y евклидова или унитарного простран-

ства справедливо неравенство

| (x, y) |≤ x y .

Доказательство. Доказательство утверждения проведем отдельно для евклидова и унитарного пространств.

1)Пусть x , y - векторы евклидова пространства; пусть

α- произвольное действительное число. Рассмотрим вектор x −αy . В силу аксиомы 4 (положительная определенность)

скалярного произведения имеем:

(x −α y, x −α y) ≥ 0 α ,

откуда в силу аксиом 1 - 3 получаем:

(x −α y, x −α y) = (x, x −αy) −α( y, x −α y) =

=(x, x) −α(x, y) −α( y, x) +α2 ( y, y) =

=(x, x) −2α(x, y) +α2 ( y, y) ≥ 0 ,

или

x2 −2α(x, y) +α2 y2 ≥ 0 α .

Влевой части получили квадратный трехчлен относительно

α, причем он должен быть неотрицателен при всех значениях α , а значит его дискриминант D должен быть ≤ 0 :

D = (2(x, y))2 −4 x2 y2 = 4((x, y)2 − x2 y2 ) ≤ 0 ,

откуда (x, y)2 ≤ x2 y2 , или | (x, y) |≤ x y , что и требова-

лось доказать.

2) Пусть теперь x , y - векторы унитарного простран-

ства и α - произвольное комплексное число. Тогда в силу аксиомы 4 скалярного произведения верно

(x −αy, x −αy) ≥ 0 α .

Преобразуем скалярное произведение в левой части этого неравенства. В силу аксиом 1 - 3 скалярного произведения имеем:

(x −α y, x −α y) = (x, x −αy) +(−α y, x −α y) =

=(x, x) +(x, −α y) +(−α y, x) +(−α y, −α y) =

=(x, x) −α (x, y) −α ( y, x) +α α ( y, y) =

= x2 −α (x, y) −α (x, y) +α α y2 ≥ 0 α .

x2 y2 ≥ (x, y) (x, y) =| (x, y) |2 .

Откуда вытекает

| (x, y) |≤ x y . ■

Неравенство Коши-Буняковского позволяет утверждать, что в евклидовом пространстве косинус угла между

единицы.

Теорема 30 (неравенство треугольника). Для любых векторов x , y евклидова или унитарного пространства

справедливо неравенство

x + y ≤ x + y .

Другими словами, в пространствах со скалярным произведением длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон.

Доказательство. 1) Проведем доказательство сначала для евклидова пространства. В силу аксиом скалярного произведения имеем:

x + y2 = (x + y, x + y) = (x, x) +2(x, y) +( y, y) =

= x2 +2(x, y) + y2 .

Всилу неравенства Коши-Буняковского для скалярного про-

изведения (x, y) верно (x, y) ≤| (x, y) |≤ x y . Тогда

x + y2 ≤ x2 +2 x y + y2 = ( x + y)2 ,

откуда

x + y ≤ x + y .

2) Рассмотрим теперь унитарное пространство. Имеем:

x + y2 = (x + y, x + y) = (x, x) +(x, y) +( y, x) +( y, y) .

Здесь скалярное произведение (x, y) - это комплексное чис-

ло. Пусть (x, y) = a +ib , тогда ( y, x) = (x, y) = a −ib , и верно соотношение

(x, y) +( y, x) = 2a ≤ 2 a2 +b2 = 2 | (x, y) |.

Следовательно,

x + y2 ≤ (x, x) +2 | (x, y) | +( y, y) = x2 +2 | (x, y) | + y2 .

Отсюда, в силу неравенства Коши-Буняковского получаем

x + y2 ≤ x2 +2 x y + y2 = ( x + y)2 ,

тогда

x + y ≤ x + y . ■

Теорема 31 (Пифагора). Для любых ортогональных векторов x , y евклидова или унитарного пространства

верно

x + y2 = x2 + y2 .

x + y2 = (x + y, x + y) = (x, x) +(x, y) +( y, x) +( y, y) = = (x, x) +( y, y) = x2 + y2 . ■