Учебное пособие 1360

1.8. Изоморфизм линейных пространств

Введем новое понятие - изоморфизм линейных пространств.

Рассмотрим множество всех линейных пространств, заданных над одним и тем же полем P . Естественно спросить, чем же похожи и чем различаются между собой все эти пространства? Каждое линейное пространство в своем описании содержит две части. Во-первых, линейное пространство есть совокупность конкретных объектов, называемых векторами. Во-вторых, над этими конкретными объектами определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, и эти операции обладают определенными свойствами. Природа векторов нас интересовала лишь при введении операций и установлении их свойств. Дальнейшее исследование линейных пространств опиралось лишь на свойства операций. Пространства, обладающие одинаковыми свойствами (размерность, базис и т.д.), называют изоморфными. Отвлекаясь от природы векторов, изоморфные пространства можно рассматривать как одно и то же пространство. Перейдем к строгим определениям.

Определение. Линейные пространства L и M , заданные над одним и тем же полем скаляров P , называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ϕ : L → M такое, что

ϕ : L → M называют изоморфизмом линейных пространств.

Свойства изоморфизма.

1)L L , т.е. всякое линейное пространство изоморфно

ссобой.

2)Если L M , а M K , то L K (транзитивность).

3)Если L M , то M L (симметричность).

4)При изоморфизме нулевому вектору одного пространства соответствует нулевой вектор другого:

ϕ(θL ) =θM .

Доказательство. Пусть ϕ : L → M - изоморфизм. В си-

ϕ(θL ) =θM . ■

5)При изоморфизме образом линейно независимой совокупности векторов будет также линейно независимая совокупность, а значит базис одного пространства отображается в базис другого пространства.

Укажем на одно принципиальное значение координат векторов для теории линейных пространств и ее приложений.

Теорема 9. Любое n -мерное линейное пространство над полем P изоморфно арифметическому пространству

Pn .

Доказательство. Пусть L - конечномерное линейное пространство над полем P , dim L = n . Зафиксируем в L ка- кой-нибудь базис e : e1, e2 ,..., en . Тогда любой вектор x L

можно разложить по этому базису:

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen ,

где координаты xi P .

а значит

Итак, отображение ϕ удовлетворяет условиям ϕ(x + y) =ϕ(x) +ϕ( y) и ϕ(λx) = λϕ(x) . Следовательно, ϕ

является изоморфизмом линейных пространств L и Pn , поэтому L Pn . ■

Непосредственно из теоремы 9 следует критерий изоморфизма пространств.

Теорема 10. Конечномерные линейные пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

Подчеркнем, что теорема 9 сводит изучение любых конечномерных линейных пространств к изучению арифметических пространств.

Пример 25. Рассмотрим два вещественных линейных

вительными элементами. Размерность каждого из этих пространств равна 4; следовательно, в силу теоремы 9 каждое из

них изоморфно арифметическому пространству 4 :

Поэтому и многочлены, и матрицы можно рассматривать как

(1, 2, 3, 4) ; в каноническом базисе пространства M2×2 ( )

тересоваться конкретной природой векторов, образующих P[t](3) и M2×2 ( ) , то эти пространства можно не различать

и рассматривать как одно и то же арифметическое пространство 4 .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.8

1.Какие линейные пространства называются изоморфными?

2.Может ли образом нулевого вектора быть ненулевой вектор?

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Предметом исследования многих математических дисциплин является изучение отображений множеств. Так, в математическом анализе изучают, например, действительные функции одной или нескольких переменных, т.е. отображе-

ния → или n → . В аналитической геометрии рассматривают переход от одной системы координат на плоскости или в пространстве к другой, т.е. отображения D2 → D2

или D3 → D3 . В алгебре изучают множества с операциями, а

внутренняя бинарная операция на множестве G - это отображение G ×G →G .

В этом параграфе мы рассмотрим важный класс отображений векторных пространств – это линейные отображения. Наиболее подробно будут изучены линейные отображения данного векторного пространства в себя – это линейные операторы.

2.1. Понятие линейного оператора

Пусть L и K - два линейных пространства над одним и тем же полем скаляров P .

Определение. Отображение A : L → K называется линейным отображением, если выполнены следующие условия:

A : L → L называют линейным оператором, действующим в пространстве L .

Замечание. Из определения вытекает:

1) Свойство аддитивности означает, что линейное отображение A является гомоморфизмом абелевых групп

(L, +) и (K, +) .

2) Из свойства однородности следует, что

A(θL ) = A(0 x) = 0 Ax =θK ,

т.е. линейное отображение нулевой вектор пространства L переводит в нулевой вектор пространства K .

3) Требование, чтобы линейные пространства L и K рассматривались над одним и тем же полем P , связано с корректностью формулировки свойства однородности.

В соответствии с определением равенства отображений введем определение равных операторов.

Определение. Операторы A и B называются равными, если

Ax = Bx x L .

Обозначение: A = B . Рассмотрим несколько примеров.

Пример 26. Пусть L - линейное пространство над полем P . Зафиксируем скаляр α P и зададим оператор A : L → L следующим образом:

Ax =αx ,

т.е. каждому вектору x L поставим в соответствие вектор αx L . Построенный таким образом оператор A будет линейным. Действительно:

1) A(x + y) =α(x + y) =αx +α y = Ax + Ay x, y L ;

2) A(λx) =α(λx) = (λα)x = λ(αx) = λAx x L , λ P .

Пример 27. Рассмотрим оператор A : L → L такой, что Ax = x +u , где u - фиксированный вектор пространства L . Проверим, будет ли A линейным оператором. Для любых x, y L имеем:

A(x + y) = (x + y) +u ,

Ax + Ay = (x +u) +( y +u) = (x + y) +2u .

Откуда получаем, что A(x + y) ≠ Ax + Ay , а значит, данный оператор A не является линейным.

Пример 28. Пусть L = L1 L2 , т.е. любой вектор x L однозначно представим в виде x = x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 . Отображение A : L → L , определенное правилом

Ax = x1 ,

является линейным оператором и называется оператором проектирования пространства L на подпространство L1 .

Пример 29. Отображение O : L → K , которое каждый вектор x L переводит в нулевой вектор θ пространства K ,

называется нулевым оператором, т.е.

Ox =θ x L .

Нулевой оператор является линейным отображением. (Докажите!)

Пример 30. Отображение I : L → L , которое каждому вектору x L ставит в соответствие этот же вектор, называ-

ется единичным оператором, т.е.

Ix = x x L .

В силу примера 26 единичный оператор является линейным (он получается при α =1 ).

Верно и обратное: если задана квадратная матрица, то ей соответствует в некотором базисе линейный оператор.

Пример 31. Для нулевого оператора O в любом базисе e1, e2 ,..., en имеем:

Oe j =θ = 0e1 +0e2 +... +0en , j =1, n .

Следовательно, матрица такого оператора - это нулевая матрица.

Пример 32. Для единичного оператора I имеем:

Ie j = e j = 0e1 +... +0e j−1 +1e j +0e j+1 +... +0en , j =1, n .

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим единичную матрицу E .

A на базисных векторах e1 = (1, 0,0) , e2 = (0,1, 0) , e3 = (0, 0,1) .

Имеем:

Ae1 = (1,3,1) ,

Ae2 = (2,0,0) ,

Ae3 = (0,0, −1) .

Следовательно, матрица оператора A имеет вид:

Контрольные вопросы и задания к п. 2.1-2.2

1.Объясните, что называется оператором, действующим в линейном пространстве.

2.Какой оператор называется линейным? Приведите примеры линейных операторов.

3.Как определяется матрица линейного оператора в данном базисе?

4.Какой вид имеет в любом базисе матрица:

а) нулевого оператора; б) единичного оператора?

A : L → L - линейный оператор. Выясните, как изменится матрица оператора A , если:

а) поменять местами векторы ei и e j ; б) вектор ei умножить на число α ≠ 0 ; в) вектор ei заменить на вектор ei +e j ;

г) перейти к базису en , e1,..., en−1 ?

8. Справедливы ли следующие утверждения:

а) всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;

б) всякий линейный оператор переводит линейно независимую систему векторов в линейно независимую?

2.3.Кольцо и линейное пространство операторов

Пусть L - линейное пространство, заданное над полем скаляров P . Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из L в L . В этом множестве введем операции сложения операторов и умножения оператора на скаляры из P , превратив тем самым его в линейное пространство. Затем введем еще одну операцию - умножение операторов, и, изучив ее свойства, получим кольцо операторов.

Множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L , обозначим Φ(L) .

На множестве Φ(L) введем операции сложения опера-

Доказательство. Покажем сначала, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Пусть A, B Φ(L) . Обозначим C = A + B , тогда для любых x, y L , λ P в силу линейности операторов A , B и аксиом линейного пространства имеем:

1) C(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = Ax + Ay + Bx + By =

= ( Ax + Bx) +( Ay + By) = ( A + B)x +( A + B) y = Cx +Cy ,

т.е. свойство аддитивности выполнено.

2) C(λx) = A(λx) + B(λx) = λAx +λBx = λ( Ax + Bx) =

= λ(A + B)x = λCx ,

т.е. свойство однородности также выполнено.

Следовательно, A + B - линейный оператор, или

A + B Φ(L) .

Аналогично доказывается, что αA Φ(L) . (Докажи-

те!) ■ Изучим свойства введенных операций.

Теорема 12. Множество Φ(L) является линейным

пространством над полем P относительно введенных операций сложения и умножения на элементы поля P .

Доказательство. В силу теоремы 11 для любых линейных операторов A, B Φ(L) верно:

A + B Φ(L) , αA Φ(L) α P .

Покажем, что операции сложения операторов и умножения оператора на скаляр удовлетворяют всем восьми аксиомам из определения линейного пространства (см. п.1.1).

1) Операция сложения операторов коммутативна. Действительно, для любых операторов A, B Φ(L) и любого

вектора x L верно:

( A + B)x = Ax + Bx = Bx + Ax = (B + A)x ,

что означает A + B = B + A .

2) Операция сложения операторов является ассоциативной. Действительно, для любых операторов A, B,C Φ(L) и любого вектора x L верно:

((A + B) +C)x = (A + B)x +Cx = ( Ax + Bx) +Cx =

= Ax +(Bx +Cx) = Ax +(B +C)x = ( A +(B +C))x ,

Свойства 5-8 проверьте самостоятельно.

Таким образом, множество Φ(L) всех линейных опе-

раторов, действующих в пространстве L , образует линейное пространство. ■

Введем еще одну операцию - умножение операторов. Определение. Произведением линейных операторов

A, B Φ(L) называется оператор AB , определяемый равен-

ством:

( AB)x = A(Bx) x L .

Теорема 13. Произведение линейных операторов так же является линейным оператором.

Доказательство. Пусть операторы A, B Φ(L) . Покажем, что произведение AB Φ(L) .

Для любых x, y L и любого λ P имеем:

1)( AB)(x + y) = A(B(x + y)) = A(Bx + By) =

=A(Bx) + A(By) = ( AB)x +(AB) y ;

2)( AB)(λx) = A(B(λx)) = A(λBx) = λA(Bx) = λ( AB)x .

Из свойств 1), 2) следует, что AB - линейный оператор, или AB Φ(L) . ■

Теорема 13 означает, что умножение операторов - это бинарная операция на множестве Φ(L) . Напомним, что вы-

ше была введена еще одна бинарная операция - это сложение операторов.

Теорема 14. Множество Φ(L) относительно введен-

ных операций сложения и умножения операторов является кольцом с единицей.

Доказательство. Относительно сложения операторов множество Φ(L) является абелевой группой - это уже уста-

новлено выше (см. доказательство теоремы 12, проверка аксиом 1 - 4 линейного пространства).

Кроме того, операция умножения операторов ассоциативна:

( AB)C = A(BC) ;

операции сложения и умножения операторов связаны между собой законами дистрибутивности:

( A + B)C = AC + BC ;

A(B +C) = AB + AC . (Докажите!)

Следовательно, алгебраическая структура (Φ(L), +, )

является кольцом. Единицей этого кольца служит единичный оператор I . ■

Ниже будет показано, что кольцо операторов является

некоммутативным, т.к. в общем случае AB ≠ BA .

Определение. Оператор B называется обратным для оператора A , если AB = BA = I , где I - единичный оператор.

Обозначение: B = A−1 .

Не для каждого оператора существует обратный. Например, нулевой оператор O не имеет обратного, так как A O = O A = O для любого оператора A . Поэтому кольцо операторов не является полем.

Выше (см. п.2.2) было показано, что каждому линейному оператору, действующему в конечномерном линейном пространстве, при некотором фиксированном базисе соответствует квадратная матрица.

Можно показать, что действиям с линейными операторами соответствуют те же действия с их матрицами.

Пусть Ae , Be - матрицы линейных операторов A и B

в некотором фиксированном базисе e пространства L . Тогда матрицы операторов A + B , λA , AB определяются из равенств:

( A + B)e = Ae + Be , (λA)e = λ Ae ,

( AB)e = Ae Be ,

т.е. сумме операторов соответствует сумма их матриц, произведению операторов - произведение матриц.

Указанное соответствие между линейными операторами, действующими в n -мерном пространстве, и элементами кольца Mn (P) всех квадратных матриц n -го порядка с эле-

ментами из поля P означает, что:

1) кольцо линейных операторов изоморфно кольцу мат-

риц;

2) линейное пространство Φ(L) операторов изоморфно линейному пространству матриц Mn (P) , и значит dim Φ(L) = n2 .

Заметим, что поскольку умножение матриц не коммутативно, значит и умножение линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно.

Оператор A−1 , обратный к оператору A , имеет матрицу ( Ae )−1 . Следовательно, обратный оператор существует

тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном базисе обратима, т.е. | Ae |≠ 0 .

Контрольные вопросы и задания к п. 2.3

1.Какие операторы называются равными?

2.Как определяется сумма двух линейных операторов?

3.Чему равна в данном базисе матрица суммы A + B линейных операторов?

4.Как определяется произведение линейного оператора на число?

5.Чему равна в данном базисе матрица произведения линейного оператора A на число λ ?

6.Какова размерность линейного пространства линейных операторов, действующих в линейном пространстве размерности n ?

7.Как определяется произведение двух линейных операторов?

8.Чему равна в данном базисе матрица произведения линейных операторов?

9.Приведите пример линейных операторов A и B , для которых верно равенство AB = BA. Верно ли это равенство для любых операторов A и B ?

10.Какой оператор называется обратным к данному линейному оператору?

11.Для каких линейных операторов существует обратный оператор?

12.Как связаны между собой матрицы линейных операторов

Aи A−1 в данном базисе?

2.4.Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах

e : e1, e2 ,..., en - некоторый базис в L (старый базис), и оператор A в этом базисе имеет матрицу Ae . Выберем в L новый базис e′: e1′, e2′ ,..., en′ . В этом базисе оператор A имеет другую матрицу Ae′ . Выясним, как связаны между собой матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах.

Ae′ =T −1AeT ,

где T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′.

Доказательство. По условию A : L → L , т.е. Ax = y ,

где x, y L . При переходе от старого базиса e к новому базису e′ координаты векторов x , y изменяются (см. п.1.4) так, что

X =TX ′, Y =TY ′,

где X , Y - это координаты векторов x , y в базисе e (старые координаты); X ′, Y ′ - координаты в базисе e′ (новые координаты); T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′. Тогда операторное равенство y = Ax в базисе e примет вид:

Y = Ae X .

Заменяя Y и X на TY ′ и TX ′ соответственно, получим:

TY ′ = AeTX ′.

Умножим обе части этого матричного равенства на T −1 слева:

тельно, Ae′X ′ =T −1AeTX ′. Откуда получаем Ae′ =T −1AeT . ■ Определение. Квадратные матрицы A , B называются подобными, если существует такая невырожденная матрица

T , что A =T −1BT . При этом T называется трансформирующей матрицей.

Обозначение: A ≈ B .

Следствие. Матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах подобны. При этом трансформирующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

Отметим одно из важных свойств подобных матриц.

Теорема 16. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.

Доказательство. Пусть A и B - подобные матрицы, т.е. A =T −1BT , где | T |≠ 0 . Тогда

| A |=| T −1BT |=| T −1 | | B | | T |= | T1 | | B | | T |=| B | ,

или | A |=| B | . ■

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, т.е. | Ae |=| Ae′ |.

Переход к другому базису пространства позволяет иногда существенно упростить вид матрицы линейного оператора, например, матрица содержит побольше нулей или имеет диагональный вид. Способы выбора таких базисов будут