Учебное пособие 1360

Контрольные вопросы и задания к п. 5.1-5.8

1. Составьте матрицу квадратичной формы

f(x1, x2 , x3 ) = 6x1x2 −(x2 )2 +4x1x2 − x2 x3 .

2.Запишите квадратичную форму в виде

n

∑ aij xi x j , i, j=1

если дана ее матрица

3. Запишите в матричном виде X T AX квадратичную форму из задания 1.

4.Как преобразуется матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису?

5.Что такое канонический вид квадратичной формы?

6.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.

7.Приведите квадратичную форму

f(x1, x2 , x3 ) = 3(x2 )2 +3(x3 )2 +4x1x2 +4x1x3 −2x2 x3

кканоническому виду. Найдите соответствующий канонический базис.

8.Сформулируйте определение положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы.

9.Сформулируйте критерии знакоопределенности квадратичных форм.

10.Приведите примеры положительно и отрицательно определенных квадратичных форм. Приведите пример знакопеременной квадратичной формы.

Приложение ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЗАДАЧА 1. Выясните, является ли вещественным линейным пространством данное множество:

1)множество всех векторов трехмерного пространства, лежащих на одной из осей;

2)множество всех векторов плоскости, лежащих на одной из осей;

3)множество всех векторов плоскости, являющихся линейными комбинациями данных векторов x и y ;

4)множество всех многочленов третьей степени, принадле-

жащих кольцу [x] ;

8) множество всех диагональных матриц над порядка n ;

10) множество всех положительных действительных чисел, где сумма и произведение на число определены следующим образом: a +b = ab и λa = aλ (a,b ; a,b > 0) ;

11)множество всех векторов плоскости, концы которых лежат во второй четверти;

12)множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями двух данных векторов

xи y ;

13)множество всех многочленов четной степени с коэффи-

xi , удовлетворяющих условию x1 + x2 +... + xn = 0 ;

15)множество векторов n − мерного пространства, у которых совпадают первая и последняя координаты;

16)множество векторов n − мерного пространства, у которых координаты с четными номерами равны нулю;

17)множество векторов n − мерного пространства с коорди-

натами (α, β,α, β,...) , α, β ;

18)множество векторов n − мерного пространства, у которых последние две координаты совпадают;

19)множество всех n − мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) , удовлетворяющих условию x1xn =1;

20)множество всех n − мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) , удовлетворяющих условию x1 = x2 =... = xn .

ЗАДАЧА 2. Выясните, образуют ли векторы e1 ,e2 ,e3 базис в пространстве 3 :

10)e1 = (7,3, −5), e2 = (2, −1,8), e3 = (1, −4,1);

11)e1 = (5, −6,1), e2 = (3, −5, −2), e3 = (2, −1,3);

ЗАДАЧА 3. Найдите координаты вектора x в базисе B′: e1′, e2′, e3′ , если он задан в базисе B : e1 , e2 , e3 .

6) e1′ = −7e1 −4e2 +e3 , e2′ =12e1 +8e2 −3e3 , e3′ = 5e1 +3e2 −e3 ,

8) e1′ = 7e1 −5e2 −3e3 , e2′ = −4e1 +3e2 +2e3 , e3′ = 3e1 −2e2 −2e3 , x = (11, −8, −1) ;

9) e1′ = −2e1 +5e2 −11e3 , e2′ =3e1 −7e2 +16e3 , e3′ = −e1 +3e2 −7e3 ,

x= (6,9,5) ;

18)e1′ = 2e1 −6e2 −5e3 , e2′ = −3e1 +8e2 +7e3 , e3′ = −e1 +5e2 +4e3 ,

x= (−2,11,9) ;

19) e1′ = 4e1 +4e2 −3e3 , e2′ = 5e1 +7e2 −4e3 , e3′ = e1 + 2e2 −e3 ,

x= (8, 7, −6) ;

20)e1′ = 3e1 +5e2 +4e3 , e2′ = 2e1 +7e2 +4e3 , e3′ = e1 +6e2 +3e3 ,

x= (2,9,5) .

ЗАДАЧА 4. Выясните, является ли подпространством соответствующего линейного пространства данная совокупность векторов:

странстве квадратных матриц второго порядка;

5)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в начале координат;

6)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на данной прямой;

7)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых не лежат на данной прямой;

9)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат в третьей четверти;

10)векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов u1, u2 , ... , uk ;

четными номерами равны нулю;

14)невырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;

15)вырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;

16) множество многочленов вида a1x +a0 в пространстве P[x](3) многочленов не выше третьей степени;

17)множество многочленов вида b0 x4 +b1x2 +b2 в пространстве P[x](5) многочленов не выше пятой степени;

18)множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами;

19)векторы плоскости, параллельные данной прямой;

20)векторы плоскости, ортогональные данной прямой.

8)a1 = (1, 2, 0,1), b1 = (1, 0,1, 0),

9)a1 = (3,1,3,1), b1 = (1,1,1,1),

10)a1 = (1,1, 0, 0), b1 = (1, 2,1, 2),

11)a1 = (1, −1, −1,1), b1 = (1,1,1,1),

12)a1 = (5, 2, −3,1), b1 = (1,1,1,1),

13)a1 = (1, 2, −1,1), b1 = (1, 2, −4, 0),

14)a1 = (2,1, −3, 2), b1 = (1, 0,1, 0),

15)a1 = (1,1,1,1),

b1 = (1, 2,3, 4),

16)a1 = (1,1,1, 0), b1 = (1,1,5, 2),

17)a1 = (0,3, 0,3), b1 = (1,1,1, 2),

18)a1 = (5, −1,15, 4), b1 = (1,1,1,3),

19)a1 = (1, 2,1,3),

b1 = (1, 4, −1,5), 20) a1 = (1,1,1,1),

b1 = (1,1, 2, 2),

a2 = (1,1,1, 0), b2 = (1,3, 0,1), a2 = (1, −1,1, −1), b2 = (1, 2,1, 2), a2 = (0,1,1, 0), b2 = (0, 2,1,1), a2 = (2, −2, 0, 0), b2 = (1,1, −1, −1), a2 = (4,1, −2,3), b2 = (1, 0,1, 0), a2 = (2,1, 0, −1), b2 = (1,1,1,1),

a2 = (4, 2, −6, 2), b2 = (0,1, 0,1), a2 = (2,1,1, 0), b2 = (0,1, 2,3),

a2 = (1, −1, −1, −1), b2 = (1, −1, 0, −1), a2 = (1,1,1,1),

b2 = (1, 0,1,1),

a2 = (2,5, −6, −5), b2 = (2,1, −2, −1), a2 = (−1,8, −6,5), b2 = (3, −2, 6,3), a2 = (1,1,1,3),

b2 = (1,1,1, 2),

a3 = (3,7,1, 2); b3 = (0, −3,1, −1); a3 = (1, 2,0, 2); b3 = (1,3,1,3); a3 = (0,0,1,1); b3 = (1,0,1,0); a3 = (3, −1,1,1); b3 = (1, −1,1, −1); a3 = (1,1, −1, −2); b3 = (1, 2,1, 2); a3 = (3,3, 2,1); b3 = (3, −1,1,1); a3 = (6,3, −9,3); b3 = (1,1,1,1);

a3 = (1,0,0, −1); b3 = (3,1,1, −1); a3 = (2, 2,0, −1); b3 = (2,0,5,1); a3 = (4, 2,3,5); b3 = (0,1,0,1);

a3 = (−1, 2, −7, −3); b3 = (1,0, −1,1);

a3 = (0,10, −5,8); b3 = (4, 2,5,8); a3 = (1, 2,1,3);

b3 = (3,3,3,3).

ЗАДАЧА 6. Докажите, что данное преобразование A вектора x = (x1, x2 , x3 ) является линейным, найдите его мат-

рицу в каноническом базисе пространства 3 . Существует

ли обратное преобразование A−1 ? В случае положительного ответа укажите его явный вид.

1)Ax = (5x1 −4x2 −3x3, 2x1 − x2 + x3, x2 +2x3 ) ;

2)Ax = (6x1 −5x2 −4x3, 3x1 −2x2 , x3 ) ;

3)Ax = (4x1 −3x2 −2x3, x1, x1 +2x2 ) ;

4)Ax = (3x1 +2x2 + x3, x1, 2x1 −3x2 ) ;

5)Ax = (x1, x2 −3x3, 4x1 −5x2 +6x3 ) ;

6)Ax = (2x1 + x2 , x2 −2x3, 3x1 −4x2 +5x3 ) ;

7)Ax = (x1, x1 +2x2 +3x3, 4x1 +5x2 +6x3 ) ;

8)Ax = (3x1 −2x2 − x3, x2 , x1 +2x2 +3x3 ) ;

9)Ax = (2x1 − x2 , x3, x1 +2x2 +3x3 ) ;

10)Ax = (x3, 2x1 +3x2 +4x3, 5x1 +6x2 +7x3 ) ;

11)Ax = (2x1, 5x1 − x2 −2x3, x2 +4x3 ) ;

12)Ax = (5x1 −4x2 −3x3, 2x1 − x2 , x3 ) ;

13)Ax = (4x1 −3x2 −2x3, x1, x2 +2x3 ) ;

14) Ax = (3x1 +2x3 + x2 , − x2 , x1 −2x2 −5x3 ) ;

15)Ax = (2x1 + x2 , x3, 2x1 −3x2 −4x3 ) ;

16)Ax = (x1, x2 +2x3, 3x1 +4x2 +5x3 ) ;

17)Ax = (3x1 −2x2 − x3, x3, x1 +2x2 +3x3 ) ;

18)Ax = (2x1 − x2 , 2x3 , 3x1 −4x2 +5x3 ) ;

19)Ax = (x2 +2x3, 3x1 + x3, 5x1 − x2 + x3 ) ;

20)Ax = (x1 −5x2 +4x3, x1 +2x2 +3x3, 4x2 ) .

ЗАДАЧА 7. В пространстве 3 заданы два линейных оператора A и B :

Ax = (x2 − x3, x1, x1 + x3 ) , Bx = (x2 , 2x3, x1) .

Найдите матрицу и явный вид следующего оператора:

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

ЗАДАЧА 10. Применяя процесс ортогонализации, постройте ортонормированный базис подпространства, порож-

денного данными векторами пространства 4 :

3)(1,1, −1, −2), (5,8, −2, −3), (3,9,3,8);

4)(1,1, −1, −2), (−2,1,5,11), (0,3,3,7);

5)(1,1,1,1), (−2,0,6,8), (3,3, −1, −1);

9)(1,3,1, 2), (−2,1,1, 2), (2,1,0,1);

10)(1, 2,1,3), (4,1,1,1), (3,1,1,0);

11)(2,1,3, −1), (7, 4,3, −3), (5,7,7,8);

12)(6,7,7,8), (2,1,3, −1), (1,1, −6,0);

13)(1,3,3,5), (1,3, −5, −3), (1, −5,3, −3);

ЗАДАЧА 12. Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Выясните, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной. Найдите положительный и отрицательный индекс инерции.

1)3x12 +3x22 −2x1x2 +4x1x3 +4x2 x3 ;

2)x12 + x22 − x32 −4x1x3 +4x2 x3 ;

3)4x12 +5x22 +6x32 −4x1x2 +4x2 x3 ;

4)2x12 +9x22 +2x32 −4x1x2 +4x2x3 ;

5)6x12 +5x22 +7x32 −4x1x2 +4x1x3 ;

6)4x22 −3x32 −4x1x2 −4x1x3 +8x2 x3 ;

7)5x12 +13x22 +5x32 +4x1x2 +8x2 x3 ;

8)−2x12 +5x22 −2x32 +4x1x2 +4x2 x3 ;

9)5x12 +2x22 +2x32 −2x1x2 −4x2 x3 +2x1x3 ;

10)x12 −5x22 + x32 +4x1x2 +2x1x3 +4x2 x3 ;

11)x12 + x22 +5x32 −6x1x2 −2x1x3 +2x2 x3 ;

12)2x12 +2x22 +2x32 +8x1x2 +8x1x3 −8x2 x3 ;

13)−4x12 −4x22 +2x32 −4x1x2 +8x1x3 −8x2 x3 ;

14)4x12 +4x22 + x32 +2x1x2 −4x1x3 +4x2 x3 ;

15)−x12 − x22 −3x32 −2x1x2 −6x1x3 +6x2 x3 ;

16)x12 −7x22 + x32 −4x1x2 −2x1x3 −4x2 x3 ;

17)3x12 −7x22 +3x32 +8x1x2 −8x1x3 −8x2 x3 ;

18)−2x12 +2x22 −2x32 +4x1x2 −6x1x3 +4x2 x3 ;

19)−4x12 + x22 −4x32 +4x1x2 −4x1x3 +4x2 x3 ;

20)−3x12 +9x22 +3x32 +2x1x2 +8x1x3 +4x2 x3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложение материала в данном пособии ориентируется на требования Государственного образовательного стандарта для специалистов в области информационной безопасности и содержит ряд специфических разделов из утвержденных программ по специальностям 090301 и 090303.

Данное пособие является составной частью комплекса учебно-методических пособий, изданных ранее авторами в Воронежском государственном техническом университете. Надеемся, что настоящее пособие будет способствовать качественному усвоению материала лекций, а также окажет помощь в самостоятельной работе студентов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Глухов М.М. Алгебра / М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. В 2 т. – М.: Гелиос АРВ, 2003.

2.Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия / М.М. Глухов. – М.: Гелиос АРВ, 2005.

3.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фаддеев. –

М.: Наука, 1984.

4.Бутузов В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин.

–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

5.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчёты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов – М.:

Лань, 2005.

6.Майорова С.П. Алгебра: учеб. пособие / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. Часть 4.

7.Майорова С.П. Практикум по алгебре / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж: ВГТУ, 2006.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………..…… 3

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА …... 4

1.1. Определение линейного пространства, его простейшие свойства ……………………..…... 4

1.2.Базис и размерность линейного пространства …....12

1.3.Матрица перехода ………………………..…..….. 19

1.4.Преобразование координат вектора при изменении базиса …………………………….….. 22

1.5.Подпространства линейного пространства ……... 26

1.6.Сумма и пересечение подпространств.

Теорема Грассмана ……………………….......… 30

1.7.Прямая сумма подпространств …..…….…..….… 35

1.8.Изоморфизм линейных пространств …………….. 40

§2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ………………………………..…..... 45

2.1.Понятие линейного оператора ………….…….… 45

2.2.Матрица линейного оператора …………..……… 48

2.3.Кольцо и линейное пространство операторов ... 51

2.4.Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах ………. 57

2.5.Собственные векторы и собственные

значения линейного оператора ………………….. 61

2.6.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду ………………………..… 66

2.7.Инвариантные подпространства линейных пространств ……………………………….......… 76

2.8.Аннулирующий и минимальный многочлены линейного оператора ………………………..…. 82