Учебное пособие 1360

Например, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Контрольные вопросы и задания к п. 4.4

1.Сформулируйте определение ортогонального оператора.

2.Перечислите свойства ортогонального (унитарного) оператора.

3.Может ли собственное значение ортогонального операто-

ра быть равным 2, 0, 1, -1?

4.Верно ли, что ортогональный оператор любой ортонормированный базис переводит в ортонормированный?

5.Какому соотношению должна удовлетворять матрица ортогонального (унитарного) оператора в любом ортонормированном базисе?

§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Рассмотрим сначала случай вещественного линейного пространства, а затем результаты обобщим на случай комплексного пространства.

5.1.Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве

Пусть L - вещественное линейное пространство.

1)A(x + y, z) = A(x, z) + A( y, z) ,

2)A(λx, y) = λA(x, y) ,

3)A(x, y + z) = A(x, y) + A(x, z) ,

4)A(x, λy) = λA(x, y) .

Определение. Билинейная форма A(x, y) называется

симметричной, если A(x, y) = A( y, x) x, y L .

Пример 55. Скалярное произведение в евклидовом пространстве

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn

является симметричной билинейной формой.

Пусть A(x, y) - симметричная билинейная форма. Положим x = y . Тогда получим квадратичную форму A(x, x) .

Или строго:

Определение. Квадратичной формой называется вы-

ражение A(x, x) , где A(x, y) - симметричная билинейная форма.

5.2.Выражение квадратичной формы в координатах. Матрица квадратичной формы

Пусть в пространстве L задан базис e1,..., en и пусть известно разложение вектора x по этому базису:

x = x1e1 +... + xnen .

Найдем выражение квадратичной формы A(x, x) в ко-

где обозначено aij = A(ei , e j ) . Замечаем, что коэффициенты aij зависят от базиса и не зависят от вектора x .

Таким образом, в заданном базисе квадратичная форма имеет вид:

e1,..., en .

Укажем свойства матрицы квадратичной формы.

1)A = (aij ) - квадратная матрица n -го порядка;

2)A = (aij ) - симметричная матрица, так как билинейная форма A(x, y) - симметричная, а значит

aij = A(ei , e j ) = A(e j , ei ) = a ji .

Получим вид квадратичной формы при n = 2 , т.е. при x = (x1, x2 ) . Имеем:

= a11x12 +a12 x1x2 +a21x2 x1 +a22 x22 .

Отсюда в силу условия a12 = a21 получаем

Поэтому при составлении матрицы квадратичной формы

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j

i=1 j=1

все ее внедиагональные элементы aij ( i ≠ j ) мы должны разделить на два, а элементы aii записать на главной диагонали

без изменения.

Пример 56. Матрица квадратичной формы

A(x, x) = x12 +3x1x2 +4x22

5.3. Матричная запись квадратичной формы

Пусть в линейном пространстве L задан базис e1,..., en и пусть в этом базисе задана квадратичная форма

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j .

i=1 j=1

Эта квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения.

Обозначим:

A = (aij ) - матрица квадратичной формы,

x1

X = - столбец координат вектора x .

xn

Теорема 42. Для любой квадратичной формы A(x, x) в заданном базисе справедлива формула

A(x, x) = X T AX .

Доказательство. Формула проверяется непосредственными вычислениями.

Найдем сначала AX . По правилу умножения матриц получим

=x1(a11x1 +...+a1nxn)+x2(a21x1 +...+a2nxn)+...+xn(an1x1 +...+annxn) =

= ∑∑aij xi x j = A(x, x) . ■

i=1 j=1

5.4.Изменение матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису

Как было показано выше (см. п.5.2) матрица квадратичной формы зависит от базиса пространства. Выясним, как будет меняться эта матрица при изменении базиса.

Найдем вид квадратичной формы в новом базисе. Используя матричную запись квадратичной формы, в

базисе B имеем

A(x, x) = X T AX .

Обозначим через P =TB→B′ матрицу перехода от базиса B к

5.5. Канонический вид квадратичной формы

В различных базисах пространства выражения квадратичной формы в координатах, вообще говоря, различны. Нас будет интересовать задача: привести квадратичную форму к максимально простому (каноническому) виду с диагональной матрицей.

Определение. Каноническим видом квадратичной фор-

мы называется представление

A(x, x) = λ1x12 +λ2 x22 +... +λn xn2 .

Базис, в котором квадратичная форма имеет такой вид, называется каноническим базисом квадратичной формы.

Теорема 43. Любая квадратичная форма приводима к каноническому виду.

Укажем способ построения канонического вида квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы - это симметричная матрица с действительными элементами. Следовательно (в силу свойств самосопряженного оператора) существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором эта матрица имеет диагональный вид

где λi - собственные значения матрицы A . Тогда в таком

базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет вид

Таким образом, квадратичная форма приведена к каноническому виду - сумме квадратов.

Сформулируем правило нахождения канонического базиса и канонического вида квадратичной формы.

1)Найти собственные значения матрицы квадратичной

формы.

2)Найти соответствующие собственные векторы.

3)Ортогонализировать и нормировать систему собственных векторов - получим канонический базис.

4)Выписать канонический вид квадратичной формы

A(x, x) = λ1(x1′)2 +... +λ1(xm′1 )2 +

+λ2 (xm′1+1)2 +... +λ2 (xm′1+m2 )2 +... +

+λk (xm′1+m2 +...+mk −1+1)2 +... +λk (xn′ )2 ,

где λ1 ,…, λk - различные собственные значения; ms ( s =1, k ) - число собственных векторов, соответствующих λs .

Операция построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, назы-

вается приведением квадратичной формы к главным осям.

Пример 57. Квадратичную форму

A(x, x) = x12 −2x22 + x32 +4x1x2 −8x1x3 −4x2 x3

приведем к каноническому виду и найдем соответствующий канонический базис.

1) Составим матрицу квадратичной формы:

2) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим характеристическое уравнение | A −λE |= 0 :

откуда находим: λ1,2 = −3 , λ3 = 6 .

3) Найдем собственные векторы. Для этого при каждом λk решим систему уравнений (A −λE)X = 0 .

а) Для λ1,2 = −3 имеем:

2x1 + x2 −2x3 = 0 ,

откуда

x1 = − 12 x2 + x3 .

Полагая x2 , x3 - свободные переменные, находим фундаментальную систему решений:

При α = −2 получаем собственный вектор X3 = (2,1, −2) .

ортогонален этим векторам). Применяя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, получим

f1 = X1 = (−12,1,0) ,

f2 = X2 +α f1 , где α = 25 ,

откуда находим

f2 = (4 5, 2 5,1) .

Тогда ортогональный базис из собственных векторов имеет вид

f1 = (−12,1,0) , f2 = (4 5, 2 5,1) , f3 = X3 = (2,1, −2) .

Нормируем эти векторы, получим канонический базис:

приводится к каноническому виду

A(x, x) = −3(x1′)2 −3(x2′ )2 +6(x3′)2 .

5.6. Закон инерции квадратичных форм

Как уже отмечалось, канонический базис и канонический вид квадратичной формы не определены однозначно. Однако число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом каноническом виде одно и то же.

Теорема 44 (закон инерции). Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора канонического базиса.

Доказательство. Пусть в вещественном линейном пространстве L , dim L = n , задана квадратичная форма A(x, x) .

Пусть B : e1,..., en и B′: e1′,..., en′ - два канонических базиса

тельных коэффициентов в разных формах записи квадратич-

и подпространство L2 , порожденное векторами ek′+1,..., en′ . Тогда dim L1 = p , dim L2 = n −k . В силу теоремы Грассмана

(см. п.1.6) имеем:

dim(L1 ∩L2 ) = dim L1 +dim L2 −dim(L1 + L2 ) =

= p +(n −k) −dim(L1 + L2 ) = (n −dim(L1 + L2 )) + p −k .

этот вектор можно разложить как по базису подпространства L1 , так и по базису подпространства L2 :

x0 =α1e1 +... +αpep ,

x0 = βk+1ek′+1 +... + βnen′ ,

причем среди чисел α1,...,αp и βk+1,..., βn есть ненулевые. Подставим вектор x0 в равенство (24), получим:

A(x0 , x0 ) = λ1α12 +... +λpα2p > 0 ,

так как все λi > 0 и среди чисел αi есть отличные от нуля. С другой стороны, подставляя x0 в (25), получим:

так как k +m ≤ n и поэтому все βi могут оказаться равными нулю.

Таким образом, A(x0 , x0 ) > 0 , и в то же время A(x0 , x0 ) ≤ 0 . Полученное противоречие означает, что предположение p > k неверно, а значит p ≤ k .

Аналогично доказывается, что p ≥ k (достаточно предположить, что p < k ).

Итак, условия p ≤ k и p ≥ k должны выполняться одновременно. Следовательно, p = k , т.е. число положитель-

ных коэффициентов в (24) и (25) должно быть одинаковым. Таким же образом доказывается, что q = m . ■

Определение. Число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется поло-

жительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов называется отрицательным индексом инерции.

Положительный и отрицательный индекс инерции обозначают соответственно ρ+ и ρ− .

Доказанная теорема означает, что положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы не зависят от выбора канонического базиса.

5.7.Знакоопределенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма A(x, x) называется

положительно определенной, если A(x, x) > 0 для любого

вектора x ≠θ .

Определение. Квадратичная форма A(x, x) называется

отрицательно определенной, если A(x, x) < 0 для любого

вектора x ≠θ .

Такие формы называют знакоопределенными.

Если известен канонический вид квадратичной формы, то для выяснения вопроса о ее знакоопределенности удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 45. Квадратичная форма A(x, x) положи-

тельно определена тогда и только тогда, когда ее положительный индекс инерции совпадает с размерностью пространства.

Доказательство. 1) Пусть квадратичная форма A(x, x) задана в n -мерном пространстве и является положительно определенной, т.е. A(x, x) > 0 x ≠θ . Покажем, что ρ+ = n .

Предположим противное. Пусть ρ+ < n . Это означает, что в каноническом виде квадратичной формы

A(x, x) = λ1x12 +... +λn xn2

есть коэффициент λi ≤ 0 . Рассмотрим вектор x0 , у которого

в каноническом базисе i -ая координата равна единице, а все остальные координаты равны нулю, т.е. x0 = (0,...,0,1,0,...,0) . Тогда

A(x0 , x0 ) = λi x02i = λi ≤ 0 ,

но последнее неравенство противоречит положительной определенности квадратичной формы. Следовательно, предпо-

Следствие. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда ρ− = n .

Доказательство. Пусть A(x, x) - положительно определенная квадратичная форма, значит ρ+ = n . Тогда квадратичная форма B(x, x) = −A(x, x) будет отрицательно опреде-

лена, и для нее ρ− = n . ■

Если канонический вид квадратичной формы неизвестен, то для выяснения знакоопределенности удобно пользоваться другой теоремой. Предварительно введем необходимые обозначения.

Рассмотрим квадратичную форму A(x, x) в некотором базисе:

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j .

i=1 j=1

Пусть A = (aij ) - матрица этой квадратичной формы. Обо-

Теорема 46 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма A(x, x) является положительно определенной тогда

и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны, т.е. ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , … , ∆n > 0 .

Следствие. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров ее матрицы чередуются, причем ∆1 < 0 .

Пример 58. Определим, какие из данных квадратичных форм являются положительно (отрицательно) определенными:

A(x, x) = 9x12 +6x22 +6x32 +12x1x2 −10x1x3 −2x2 x3 ,

B(x, x) =12x1x2 −12x1x3 +6x2 x3 −11x12 −6x22 −6x32 ,

C(x, x) = x12 −15x22 +4x1x2 −2x1x3 +6x2 x3 .

1) Матрица квадратичной формы A(x, x) имеет вид:

Откуда находим

∆1 = 9 > 0 ,

96

∆2 = 6 6 =18 > 0 ,

Таким образом, все угловые миноры положительны. Следовательно, A(x, x) - положительно определенная квадратич-

ная форма.

б) Для квадратичной формы B(x, x) находим

откуда

∆1 = −11 < 0 ,

∆2 = 30 > 0 ,

∆3 = −81 < 0 .

Таким образом, знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса. Следовательно, B(x, x) - отрицательно определен-

ная квадратичная форма.

в) Для квадратичной формы C(x, x) получаем:

откуда находим

∆1 =1 > 0 , ∆2 = −19 < 0 .

Таким образом, знаки угловых миноров ∆1 и ∆2 ме-

няются с + на − . Следовательно, данная квадратичная форма C(x, x) не является знакоопределенной, это форма общего

вида.

5.8.Квадратичные формы в комплексном пространстве

В комплексном пространстве аналогом вещественных квадратичных форм являются так называемые эрмитовы квадратичные формы.

Пусть L - комплексное линейное пространство. Определение. Отображение A : L ×L → называется

полуторалинейной формой в пространстве L , если для лю-

бых x, y, z L и любого λ верно:

1)A(x + y, z) = A(x, z) + A( y, z) ,

2)A(λx, y) = λA(x, y) ,

3)A(x, y + z) = A(x, y) + A(x, z) ,

4)A(x, λy) = λ A(x, y) .

Определение. Полуторалинейная форма A(x, y) назы-

вается эрмитовой, если A(x, y) = A( y, x) для любых x, y L .

Пример 59. Скалярное произведение в унитарном пространстве

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn

является эрмитовой полуторалинейной формой.

Пусть A(x, y) - эрмитова полуторалинейная форма.

Положим x = y . Получим A(x, x) - эрмитову квадратичную форму.

Замечаем, что в этом случае верно A(x, x) = A(x, x) при

всех x L , значит эрмитова квадратичная форма принимает только действительные значения.

Эрмитовы квадратичные формы обладают свойствами, аналогичными свойствам вещественных квадратичных форм. Сформулируем их.

1) Эрмитова квадратичная форма в координатах записывается в виде

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j ,

i=1 j=1

где A = (aij ) - матрица эрмитовой формы, и эта матрица обладает свойством:

aij = A(ei , e j ) = A(e j , ei ) = a ji ( i, j =1, n ).

2) Канонический вид эрмитовой квадратичной формы:

A(x, x) = λ1x1x1 +λ2 x2 x2 +... +λn xn xn =

= λ1 | x1 |2 +λ2 | x2 |2 +... +λn | xn |2 ,

где λi .

3)Верен закон инерции: Если эрмитова квадратичная форма в двух разных базисах приведена к каноническому виду, то число положительных и отрицательных коэффициентов в обоих случаях одно и то же.

4)Понятие положительно определенной формы и критерий Сильвестра также переносятся на комплексный случай без изменения.