Учебное пособие 1360

Замечание. Матрица перехода всегда невырождена, т.е. | T |≠ 0 . Действительно, в противном случае (если | T |= 0 )

столбцы матрицы перехода будут линейно зависимы, а значит, векторы e1′, e2′ ,..., en′ будут линейно зависимы, а этого не

может быть, так как e1′, e2′ ,..., en′ образуют базис, и поэтому

являются линейно независимыми.

Задача 4. Найти матрицу перехода от базиса B : e1, e2 , e3 к базису B′: e1′, e2′ , e3′ , если

e1 = (0,0,1) , e2 = (0,1,0) , e3 = (1,0,0) ; e1′ = (1,1,1) , e2′ = (1, 2,3) , e3′ = (1,0,1) .

Решение. Разложим сначала векторы нового базиса B′ по старому базису B :

t13 =1 , t23 = 0 , t33 =1.

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим матрицу перехода от базиса B к базису B′:

Рассмотрим аналогичный пример для пространства многочленов.

Задача 5. В линейном пространстве P[t](2) многочле-

нов степени ≤ 2 найти матрицу перехода от базиса

B : e1 =1, e2 =t, e3 =t2 к базису B′: e1′ = 2, e2′ =t −1, e3′ =(t −1)2 .

Решение. Разложим векторы нового базиса B′ по старому базису B . Сразу замечаем, что:

e1′ = 2 e1 +0 e2 +0 e3 ,

e2′ = −1 e1 +1 e2 +0 e3 ,

e3′ = t2 −2t +1 =1 e1 −2 e2 +1 e3 .

Следовательно, матрица перехода имеет вид:

1.4. Преобразование координат вектора при изменении базиса

Пусть (как в п.1.3) в линейном пространстве L заданы два базиса: B : e1, e2 ,..., en - старый базис и B′: e1′, e2′ ,..., en′ - новый базис. Выясним, как связаны координаты одного и

x1

X = и назовем старыми координатами; столбец коор-

xn

x1′

динат вектора x в базисе B′ обозначим X ′ = и назовем

xn′

новыми координатами.

Установим связь между старыми и новыми координатами вектора x .

Рассмотрим равенство (3) и вместо векторов e1′, e2′ ,..., en′

подставим их разложения по старому базису. Эти разложения мы уже записывали в п.1.3 при составлении матрицы перехода:

e1′ = t11e1 +t21e2 +... +tn1en ,

e2′ = t12e1 +t22e2 +... +tn2en ,

. . .

en′ = t1ne1 +t2ne2 +...+tnnen ,

n

или кратко ei′ = ∑tkiek . Тогда равенство (3) примет вид:

k=1

Внесем координаты xi′ под знак внутренней суммы, а затем

поменяем порядок суммирования (т.е. перегруппируем слагаемые). Получим

Итак, мы получили разложение вектора x по старому базису. Сравнивая полученное выражение с равенством (2), получаем, что выражение в скобках - это старые координаты вектора x , т.е.

n

xk = ∑tki xi′ , k =1, n , i=1

или в подробной записи:

x1 = t11x1′ +t12 x2′ +... +t1n xn′ ,

x2 =t21x1′ +t22 x2′ +... +t2n xn′ ,

. . .

xn = tn1x1′ +tn2 x2′ +... +tnn xn′ .

Используя введенные обозначения для столбца старых X и новых X ′ координат, а также для матрицы перехода TB→B′ ,

запишем полученный набор равенств в матричном виде:

X =TB→B′X ′.

Связь между старыми и новыми координатами вектора x L установлена.

Получим теперь выражение новых координат через старые. Умножая обе части полученного матричного равен-

ства слева на TB−→1 B′ (отметим, что обратная матрица T −1

всегда существует, так как матрица перехода T невырождена), имеем:

X ′ =TB−→1 B′X .

Из полученной зависимости между X ′ и X вытекает, что

Контрольные вопросы и задания к п. 1.3-1.4

1.Как составить матрицу перехода от одного базиса к другому?

2.Может ли матрица перехода быть вырожденной? Ответ обоснуйте.

3.Как изменится матрица перехода, если:

а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

4.Напишите формулы преобразования координат вектора при изменении базиса.

5.Найдите матрицу перехода от базиса e1, e2 , e3, e4 к базису:

e1, e2 , e3 к базису f1, f2 , f3 .

1.5.Подпространства линейного пространства

Пусть L - линейное пространство над полем P и L1 -

его подмножество.

Определение. Подпространством линейного про-

странства L называется такое его подмножество L1 , которое

само является пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения их на элементы поля P .

Теорема 2 (критерий быть подпространством). Не-

пустое подмножество L1 пространства L является подпространством тогда и только тогда, когда L1 замкнуто

относительно операций сложения векторов и умножения их на элементы поля P , т.е. когда

Доказательство. 1) Пусть L1 - подпространство, тогда L1 является линейным пространством, а поэтому замкнуто

относительно указанных операций в силу определения линейного пространства.

2) Обратно. Пусть множество L1 замкнуто относитель-

но сложения векторов и умножения их на элементы поля P . Докажем, что L1 является линейным пространством относи-

тельно этих операций

Покажем, что в L1 выполняются все восемь аксиом ли-

нейного пространства (см. определение в п.1.1). Аксиомы 1, 2, 5-8 заведомо выполнены в L1 , так как они выполняются во

всем линейном пространстве L . Проверим аксиомы 3 и 4 о

нулевом и противоположном векторах. По условию L1 замк-

нуто относительно операции умножения векторов на скаляры; следовательно, для произвольного вектора x L1 верно

0 x =θ L1 , (−1) x = −x L1 .

Таким образом, нулевой вектор θ из L будет лежать в L1 , и вместе с каждым вектором x L1 противоположный к нему вектор также лежит в L1 . Следовательно, L1 является линей-

ным пространством. ■

Теорема 3. Пусть L1 - подпространство линейного пространства L . Тогда dim L1 ≤ dim L .

Доказательство. Размерность пространства равна числу векторов базиса. Но L1 - более узкое множество, чем L .

Следовательно, число линейно независимых векторов в L1

должно быть меньше или равно числа линейно независимых векторов в L , т.е. базис L1 содержится в базисе L , а значит

dim L1 ≤ dim L . ■

Приведем примеры подпространств.

Пример 13. Само пространство L является своим подпространством.

Множество, состоящее из одного нулевого вектора θ пространства L , является подпространством в L . Оно называется нулевым подпространством.

Пример 14. В линейном пространстве V2 двумерных

геометрических векторов подпространство образуют:

1) множество всех векторов, лежащих на одной из координатных осей;

2) множество всех векторов, лежащих на прямой y = kx ( k ≠ 0 ). Размерность каждого из указанных подпро-

странств равна 1.

Множество векторов с концами на прямой y = kx +b ,

где b ≠ 0 , не является подпространством. Это следует уже из того, что нулевой вектор θ (это начало координат) не принадлежит прямой y = kx +b .

Пример 15. В линейном пространстве V3 трехмерных геометрических векторов подпространство образуют:

1)множество всех векторов, лежащих на прямой, проходящей через начало координат (это одномерное подпространство);

2)множество всех векторов, лежащих в плоскости, проходящей через начало координат (это двумерное подпространство).

Пример 16. В арифметическом пространстве Pn над полем P подпространство образуют:

1) множество векторов вида (x1,..., xn−1,0) , где x1,..., xn−1 P ;

2)множество векторов вида (α,α,...,α) , где α P ;

3)множество всех решений произвольной системы линейных однородных уравнений с n неизвестными над полем P .

Во всех приведенных примерах подпространства задавались путем описания всех их векторов. Другой распространенный способ задания подпространств основан на перечислении порождающей системы векторов.

Пример 17. Пусть L - пространство над полем P ,

dim L = n . Пусть e1, e2 ,..., en - базис в L . Тогда множество

векторов L1 ={x : x =αek α P} , где ek - фиксированный базисный вектор, является подпространством. Действительно, для любых x, y L1 и произвольного скаляра λ P

имеем: x + y =αek + βek = (α + β)ek L1 ;

λx = λ(αek ) = (λα)ek L1 .

Следовательно, L1 - подпространство и вектор ek служит базисом этого подпространства; dim L1 =1.

Аналогично, подпространством является совокупность всех векторов вида x =αek + βem , где ek , em - это фиксиро-

ванные базисные векторы. (Докажите!) Базис этого подпространства состоит из векторов ek , em и размерность равна

двум.

Пример 18. Пусть L - пространство над полем P , dim L = n . Пусть u1,u2 ,...,um ( m < n ) - система линейно не-

зависимых векторов в L . Рассмотрим множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов:

L1 ={x : x =α1u1 +α2u2 +... +αmum},

где α1,α2 ,...,αm P - произвольные скаляры. Множество L1

является подпространством в L (докажите!), его называют подпространством, порожденным векторами u1,u2 ,...,um .

нейной оболочкой векторов u1,...,um , а также подпространством, натянутым на векторы u1,...,um .

нейно зависимой, и тогда для получения базиса нужно удалить из нее векторы, линейно выражающиеся через оставшиеся векторы.

Таким образом, в любом n -мерном пространстве существуют нетривиальные подпространства всех возможных размерностей от 1 до (n −1) .

1.6.Сумма и пересечение подпространств. Теорема Грассмана

Введем операции, которые позволяют из данных подпространств некоторого линейного пространства L строить новые подпространства.

Пусть L1 и L2 - подпространства в L .

Определение. Суммой подпространств L1 и L2 назы-

вается множество, состоящее из векторов вида x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 , т.е.

скаляра λ .

Таким образом, операции сложения и умножения на скаляр не выводят из множества L1 + L2 , значит L1 + L2 явля-

ется подпространством. ■

Пример 19. Пусть L =V3 - пространство трехмерных геометрических векторов, L1 - ось Ox , L2 - ось Oy (здесь

координатные оси рассматриваются как множества всех лежащих на них векторов). Тогда

L1 + L2 ={u : u = x + y; x L1, y L2} ={u : u =αe1 + βe2},

т.е. L1 + L2 - это множество всевозможных линейных комбинаций базисных векторов e1 и e2 , а это вся координатная плоскость Oxy .

Пример 20. Пусть L =V3 , L1 - плоскость Oxy , L2 - плоскость Oxz . Тогда

L1 + L2 ={u : u = x + y; x L1, y L2} =

={u : u = (αe1 + βe2 ) +(γe1 +δe3 )} =

={u : u = µe1 + βe2 +δe3} =V3 = L ,

т.е. L1 + L2 совпадает с исходным линейным пространством.

L1 ∩L2 ={x L : x L1 и x L2} .

Как видно из определения, пересечение подпространств определяется как и пересечение произвольных множеств.

Теорема 5. Пересечение подпространств является подпространством.

Доказательство. Пусть L1 и L2 - два подпространства линейного пространства L . Пусть векторы x, y L1 ∩L2 , т.е. x, y L1 и x, y L2 . Так как L1 и L2 - подпространства, то в силу теоремы 2 (критерий быть подпространством) имеем:

Откуда вытекает, что x + y L1 ∩L2 и λx L1 ∩L2 . Следовательно, L1 ∩L2 - подпространство. ■

Пример 21. Пусть L =V3 , L1 = Oxy , L2 =Oxz . Тогда

L1 ∩L2 = Ox .

Теорема 6 (теорема Грассмана о размерности суммы подпространств). Пусть L1 и L2 - подпространства конеч-

номерного линейного пространства. Тогда

dim(L1 + L2 ) = dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) .

Доказательство. В подпространстве L1 ∩L2 выберем

произвольный базис

e1, e2 ,..., er .

Так как пересечение L1 ∩L2 содержится как в L1 , так и в L2 ,

то этот базис можно дополнить до базиса подпространства L1 и до базиса подпространства L2 .

Пусть

является базисом подпространства L1 + L2 , т.е. докажем, что:

1)система векторов (4) линейно независима;

2)любой вектор x L1 + L2 можно записать в виде ли-

нейной комбинации системы векторов (4).

а значит, любой вектор x L1 + L2 линейно выражается через

векторы системы (4).

Осталось показать, что система векторов (4) линейно независима. Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов, равную нулю:

Докажем, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Из (5) получаем:

m

Замечаем, что вектор u = − ∑ γi gi из правой части равенст-

i=r+1

ва (6) принадлежит подпространству L2 , так как он записы-

вается в виде линейной комбинации векторов базиса L2 . Но

вместе с тем, равный ему вектор из левой части равенства (6) принадлежит L1 . Следовательно, u L1 ∩L2 , а значит, век-

тор u можно разложить по базису этого подпространства, т.е. по векторам e1, e2 ,..., er :

r

u= ∑αi′ei .

i=1

Приравнивая это представление вектора u к его представлению через векторы базиса L2 - см. правую часть равенства (6), получим:

или, перенося все слагаемые влево, имеем:

Но векторы e1,..., er , gr+1,..., gm образуют базис в L2 , и по-

этому линейно независимы. Следовательно, все коэффициенты в равенстве (7) должны быть равны нулю: αi′ = 0

( i =1, r ) и γi = 0 ( i = r +1, m ). Тогда равенство (5) примет вид:

Левая часть полученного равенства есть линейная комбинация векторов базиса L1 ; в силу линейной независимости этих

векторов получаем, что все αi = 0 ( i =1, r ) и все βi = 0 ( i = r +1, p ).

Таким образом, все коэффициенты линейной комбинации (5) оказались равны нулю. Следовательно, система векторов (4) линейно независима.

Итак, доказано, что система векторов (4) образует базис пространства L1 + L2 ; но число векторов базиса равно

размерности пространства, тогда

dim(L1 + L2 ) = p +m −r = dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) . ■

1.7. Прямая сумма подпространств

Заметим, что в определении суммы L1 + L2 двух подпространств:

L1 + L2 ={x : x = x1 + x2; x1 L1, x2 L2}

вектор x может неоднозначно представляться в виде суммы x = x1 + x2 . Эта неоднозначность исчезает, если L1 и L2 пе-

ресекаются только по нулевому элементу. Перейдем к строгим формулировкам.

Определение. Сумма подпространств L1 и L2 назы-

вается прямой суммой, если представление любого вектора x L1 + L2 в виде x = x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 , единственно.

Прямая сумма обозначается L1 L2 .

Теорема 7. Сумма L1 + L2 является прямой тогда и

только тогда, когда L1 ∩L2 ={θ} .

Доказательство. 1) Пусть сумма подпространств L1 и

L2 - прямая. Покажем, что L1 ∩L2 ={θ} .

Рассмотрим элемент z L1 ∩L2 , тогда противоположный элемент −z L1 ∩L2 (так как L1 ∩L2 является подпро-

странством). Поэтому нулевой элемент θ L1 + L2 допускает два представления вида:

θ =θ +θ и θ = z +(−z) .

Отсюда в силу единственности представления любого вектора из L1 + L2 получаем, что z =θ , т.е. L1 ∩L2 ={θ} .

2) Докажем обратное. Пусть L1 ∩L2 ={θ} и элемент z L1 + L2 допускает два представления:

z = x1 + y1 и z = x2 + y2 , где x1, y1 L1 и x2 , y2 L2 .

Отсюда получаем, что x1 + y1 = x2 + y2 , или x1 − x2 = y2 − y1 . Причем вектор x1 − x2 L1, а вектор y2 − y1 L2 . Значит, оба вектора x1 − x2 и y2 − y1 принадлежат пересечению L1 ∩L2 .

Но L1 ∩L2 ={θ} ; следовательно, x1 − x2 =θ и y2 − y1 =θ , т.е. x1 = x2 и y1 = y2 .

Таким образом, представление вектора z в виде суммы единственно, и сумма L1 + L2 является прямой. ■

Замечание. Аналогично определяется прямая сумма любого конечного числа подпространств.

Пример 22. Пространство V3 трехмерных геометрических векторов является прямой суммой своих подпро-

Пример 24. Любое n -мерное пространство L с базисом e1, e2 ,..., en разлагается в прямую сумму одномерных подпространств

dim(L1 +L2) =dim L1 +dim L2 −dim(L1 ∩L2 ) =dim L1 +dim L2 .■

Следствие. Базис в пространстве L = L1 L2 получается как объединение базисов подпространств L1 и L2 .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.5-1.7

1.Сформулируйте определение подпространства линейного пространства.

2.Является ли подпространством линейного пространства

само ?

3.Докажите, что любое подпространство само является линейным пространством.

4.Сформулируйте определения суммы и пересечения подпространств.

5.Докажите, что если L1 и L2 - подпространства линейного

пространства L , то L1 ∩L2 также является подпространством.

6.Сформулируйте теорему Грассмана.

7.Сформулируйте определение и критерий прямой суммы подпространств.

8. Докажите, что множества функций

{ϕ C[a,b]:ϕ(a) = 0} и {ϕ C[a,b]:ϕ(a) =ϕ(b)}

образуют подпространства линейного пространства

C[a,b] .

9.Докажите, что множество векторов (x1, x2 , x3 ) 3 , удовлетворяющих условию x1 + x2 − x3 = 0 , образует подпро-

странство линейного пространства 3 . Покажите, что размерность этого подпространства равна двум.

принадлежит вектор x = (2,0, −1) .

12. Выясните, является ли подпространством данного линейного пространства L :

а) множество векторов, параллельных данной плоскости,

L = Pn (x) ;

в) множество симметричных квадратных матриц n -го порядка, L = Mn ( ) ;

13. Пусть L1 - пространство решений системы уравнений

x1 − x2 + x3 = 0 ;x1 −2x2 − x3 = 0

L2 - пространство решений системы уравнений

L3 - линейная оболочка системы векторов

(1,1, 2) , (1, 2, 2) , (2,3, 4) ;

L4 - линейная оболочка системы векторов

(0,1,1) , (1,1,1) , (1, 0, 0) .

Найдите базис пересечения и базис суммы каждой пары подпространств Li и Lj , где i, j =1, 2,3, 4 , i ≠ j . Какие

из этих сумм являются прямыми?